Physics For Scientists And Engineers 6E - part 264

I

1

!

V

1

supplied by the source is equal to the power I

2

!

V

2

in the secondary circuit.

That is,

I

1

!

V

1

"

I

2

!

V

2

(33.42)

The  value  of  the  load  resistance  R

L

determines  the  value  of  the  secondary  current

because  I

2

" !

V

2

/R

L

. Furthermore,  the  current  in  the  primary  is  I

1

" !

V

1

/R

eq

,

where

(33.43)

is  the  equivalent  resistance  of  the  load  resistance  when  viewed  from  the  primary
side.  From  this  analysis  we  see  that  a  transformer  may  be  used  to  match  resis-
tances between the primary circuit and the load. In this manner, maximum power
transfer  can  be achieved  between  a  given  power  source  and  the  load  resistance.
For example,  a  transformer  connected  between  the  1-k( output  of  an  audio
amplifier  and  an  8-( speaker  ensures  that  as  much  of  the  audio  signal  as  possible
is transferred  into  the  speaker.  In  stereo  terminology,  this  is  called  impedance
matching.

We  can  now  also  understand  why  transformers  are  useful  for  transmitting  power

over  long  distances.  Because  the  generator  voltage  is  stepped  up,  the  current  in  the
transmission line is reduced, and hence I

2

R losses are reduced. In practice, the voltage

is stepped up to around 230 000 V at the generating station, stepped down to around
20 000 V at a distributing station, then to 4 000 V for delivery to residential areas, and
finally to 120–240 V at the customer’s site.

There is a practical upper limit to the voltages that can be used in transmission

lines.  Excessive  voltages  could  ionize  the  air  surrounding  the  transmission  lines,
which could result in a conducting path to ground or to other objects in the vicinity.
This,  of  course,  would  present  a  serious  hazard  to  any  living  creatures.  For  this
reason, a long string of insulators is used to keep high-voltage wires away from their
supporting metal towers. Other insulators are used to maintain separation between
wires.

Many  common  household  electronic  devices  require  low  voltages  to  operate

properly. A small transformer that plugs directly into the wall, like the one illustrated
in  Figure  33.23,  can  provide  the  proper  voltage.  The  photograph  shows  the  two
windings  wrapped  around  a  common  iron  core  that  is  found  inside  all  these  little
“black boxes.” This particular transformer converts the 120-V AC in the wall socket to
12.5-V  AC.  (Can  you  determine  the  ratio  of  the  numbers  of  turns  in  the  two  coils?)
Some black boxes also make use of diodes to convert the alternating current to direct
current. (See Section 33.9.)

R

eq

"

"

N

 

1

N

 

2

#

2

 R

L

S E C T I O N   3 3 . 8 •  The Transformer and Power Transmission

1053

Nikola Tesla

American Physicist (1856–1943)

Tesla was born in Croatia but

spent most of his professional life

as an inventor in the United

States. He was a key figure in the

development of alternating current

electricity, high-voltage

transformers, and the transport of

electrical power using AC

transmission lines. Tesla’s

viewpoint was at odds with the

ideas of Thomas Edison, who

committed himself to the use

of direct current in power

transmission. Tesla’s AC approach

won out. (UPI/CORBIS)

Figure 33.23 The primary winding in this

transformer is directly attached to the prongs

of the plug. The secondary winding is

connected to the power cord on the right,

which runs to an electronic device. Many of

these power-supply transformers also convert

alternating current to direct current.

This transformer is smaller than

the one in the opening photograph

for this chapter. In addition, it is a

step-down transformer. It drops the

voltage from 4 000 V to 240 V for

delivery to a group of residences.

George Semple

George Semple

33.9 Rectifiers and Filters

Portable electronic devices such as radios and compact disc (CD) players are often
powered  by  direct  current  supplied  by  batteries.  Many  devices  come  with  AC–DC
converters  such  as  that  in  Figure  33.23.  Such  a  converter  contains  a  transformer
that steps  the  voltage  down  from  120 V  to  typically  9 V  and  a  circuit  that  converts
alternating  current  to  direct  current.  The  process  of  converting  alternating
current to direct current is called 

rectification, and the converting device is called

a 

rectifier.

The most important element in a rectifier circuit is a 

diode, a circuit element that

conducts  current  in  one  direction  but  not  the  other.  Most  diodes  used  in  modern
electronics  are  semiconductor  devices.  The  circuit  symbol  for  a  diode  is 

,

where the arrow indicates the direction of the current in the diode. A diode has low
resistance to current in one direction (the direction of the arrow) and high resistance
to current in the opposite direction. We can understand how a diode rectifies a current
by  considering  Figure  33.24a,  which  shows  a  diode  and  a  resistor  connected  to  the
secondary  of  a  transformer.  The  transformer  reduces  the  voltage  from  120-V  AC  to
the lower  voltage  that  is  needed  for  the  device  having  a  resistance  R (the  load  resis-
tance).  Because  the  diode  conducts  current  in  only  one  direction,  the  alternating
current in the load resistor is reduced to the form shown by the solid curve in Figure
33.24b.  The  diode  conducts  current  only  when  the  side  of  the  symbol  containing
the arrowhead has a positive potential relative to the other side. In this situation, the
diode  acts  as  a  half-wave  rectifier because  current  is  present  in  the  circuit  during  only
half of each cycle.

When  a  capacitor  is  added  to  the  circuit,  as  shown  by  the  dashed  lines  and  the

capacitor symbol in Figure 33.24a, the circuit is a simple DC power supply. The time
variation in the current in the load resistor (the dashed curve in Fig. 33.24b) is close to

1054

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

Example 33.8 The Economics of AC Power 

An electricity-generating station needs to deliver energy at a
rate of 20 MW to a city 1.0 km away.

(A)

If  the  resistance  of  the  wires  is  2.0  ( and  the  energy

costs about 10¢/kWh, estimate what it costs the utility com-
pany  for  the  energy  converted  to  internal  energy  in  the
wires  during  one  day.  A  common  voltage  for  commercial
power generators is 22 kV, but a step-up transformer is used
to boost the voltage to 230 kV before transmission.

Solution Conceptualize by noting that the resistance of the
wires  is  in  series  with  the  resistance  representing  the  load
(homes and businesses). Thus, there will be a voltage drop
in  the  wires,  which  means  that  some  of  the  transmitted
energy  is  converted  to  internal  energy  in  the  wires  and
never  reaches  the  load.  Because  this  is  an  estimate,  let  us
categorize  this  as  a  problem  in  which  the  power  factor  is
equal to 1. To analyze the problem, we begin by calculating
I

rms

from Equation 33.31:

Now, we determine the rate at which energy is delivered to
the resistance in the wires from Equation 33.32:

!

av

"

I

2

rms

R " (87 A)

2

(2.0 () " 15 kW

I

 

rms

"

!

av

!

V

 

rms

"

20 + 10

6

 W

230 + 10

3

 V

"

87 A

Over  the  course  of  a  day,  the  energy  loss  due  to  the
resistance  of  the  wires  is  (15 kW)(24 h) " 360 kWh,  at  a
cost of

(B)

Repeat  the  calculation  for  the  situation  in  which  the

power  plant  delivers  the  energy  at  its  original  voltage
of 22 kV.

Solution Again using Equation 33.31, we find

and, from Equation 33.32,

!

av

"

I

2

rms

R " (910 A)

2

(2.0 () " 1.7 + 10

3

kW

Cost per day " (1.7 + 10

3

kW)(24 h)($0.10/kWh)

"

To  finalize  the  example,  note  the  tremendous  savings  that
are  possible  through  the  use  of  transformers  and  high-
voltage  transmission  lines.  This,  in  combination  with  the
efficiency  of  using  alternating  current  to  operate  motors,
led to the universal adoption of alternating current instead
of direct current for commercial power grids.

$4 100

I

 

rms

"

!

av

!

V

 

rms

"

20 + 10

6

 W

22 + 10

3

 V

"

910 A

$36.

being zero, as determined by the RC time constant of the circuit. As the current in the
circuit  begins  to  rise  at  t " 0  in  Figure  33.24b,  the  capacitor  charges  up.  When  the
current  begins  to  fall,  however,  the  capacitor  discharges  through  the  resistor,  so  that
the current in the resistor does not fall as fast as the current from the transformer.

The RC circuit in Figure 33.24a is one example of a 

filter circuit, which is used to

smooth out or eliminate a time-varying signal. For example, radios are usually powered
by a 60-Hz alternating voltage. After rectification, the voltage still contains a small AC
component at 60 Hz (sometimes called ripple), which must be filtered. By “filtered,” we
mean  that  the  60-Hz  ripple  must  be  reduced  to  a  value  much  less  than  that  of  the
audio  signal  to  be  amplified,  because  without  filtering,  the  resulting  audio  signal
includes an annoying hum at 60 Hz.

We  can  also  design  filters  that  will  respond  differently  to  different  frequencies.

Consider the simple series RC circuit shown in Figure 33.25a. The input voltage is across
the series combination of the two elements. The output is the voltage across the resistor. A
plot of the ratio of the output voltage to the input voltage as a function of the logarithm
of angular frequency (see Fig. 33.25b) shows that at low frequencies !V

out

is much smaller

than  !V

in

,  whereas  at  high  frequencies  the  two  voltages  are  equal.  Because  the  circuit

S E C T I O N   3 3 . 9 •  Rectifiers and Filters

1055

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the resistance and

the capacitance of the circuit in

part (a). You can then

determine the output voltage

for a given frequency or sweep

through the frequencies to

generate a curve like that in

part (b).

Figure 33.24 (a) A half-wave rectifier with an optional filter capacitor. (b) Current

versus time in the resistor. The solid curve represents the current with no filter

capacitor, and the dashed curve is the current when the circuit includes the capacitor.

(b)

i

t

(a)

Primary

(input)

Diode

C

R

(a)

(b)

∆V

out

/

∆V

in

ω

1

C

R

∆V

out

∆V

in

log

Active Figure 33.25 (a) A simple RC high-pass filter. (b) Ratio of output voltage to

input voltage for an RC high-pass filter as a function of the angular frequency of the

AC source.

preferentially passes signals of higher frequency while blocking low-frequency signals, the
circuit is called an RC high-pass filter. (See Problem 51 for an analysis of this filter.)

Physically,  a  high-pass  filter  works  because  a  capacitor “blocks  out”  direct  current

and AC current at low frequencies. At low frequencies, the capacitive reactance is large
and much of the applied voltage appears across the capacitor rather than across the
output resistor. As the frequency increases, the capacitive reactance drops and more of
the applied voltage appears across the resistor.

Now consider the circuit shown in Figure 33.26a, where we have interchanged the

resistor  and  capacitor  and  the  output  voltage  is  taken  across  the  capacitor.  At  low
frequencies, the reactance of the capacitor and the voltage across the capacitor is high.
As the frequency increases, the voltage across the capacitor drops. Thus, this is an RC
low-pass filter. The ratio of output voltage to input voltage (see Problem 52), plotted as
a function of the logarithm of # in Figure 33.26b, shows this behavior.

You  may  be  familiar  with  crossover  networks,  which  are  an  important  part  of  the

speaker  systems  for  high-fidelity  audio  systems.  These  networks  use  low-pass filters  to
direct low frequencies to a special type of speaker, the “woofer,” which is designed to
reproduce  the  low  notes  accurately.  The  high  frequencies  are  sent  to  the  “tweeter”
speaker.

1056

C H A P T E R   3 3 •  Alternating Current Circuits

(a)

(b)

∆V

out

/

∆V

in

1

R

C

∆V

out

∆V

in

ω

log

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the resistance and

the capacitance of the circuit in

part (a). You can then

determine the output voltage

for a given frequency or sweep

through the frequencies to

generate a curve like that in

part (b).

Active Figure 33.26 (a) A simple RC low-pass filter. (b) Ratio of output voltage to

input voltage for an RC low-pass filter as a function of the angular frequency of the

AC source.

Quick  Quiz  33.11

Suppose  you  are  designing  a  high-fidelity  system

containing  both  large  loudspeakers  (woofers)  and  small  loudspeakers  (tweeters).  If
you wish to deliver low-frequency signals to a woofer, what device would you place in
series with it? (a) an inductor (b) a capacitor (c) a resistor. If you wish to deliver high-
frequency  signals  to  a  tweeter,  what  device  would  you  place  in  series  with  it?  (d)  an
inductor (e) a capacitor (f) a resistor.

If  an  AC  circuit  consists  of  a  source  and  a  resistor,  the  current  is  in  phase  with  the
voltage. That is, the current and voltage reach their maximum values at the same time.

The 

rms  current and  rms  voltage in  an  AC  circuit  in  which  the  voltages  and

current vary sinusoidally are given by the expressions

(33.4)

(33.5)

where I

max

and !V

max

are the maximum values.

∆V

 

rms

"

∆V

 

max

√

2

"

0.707 

∆V

 

max

I

 

rms

"

I

 

max

√

2

"

0.707I

 

max

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.