Physics For Scientists And Engineers 6E - part 248

(31.13)

(31.14)

(31.15)

Equation 31.12 is Gauss’s law: 

the total electric flux through any closed surface

equals the net charge inside that surface divided by #

0

. This law relates an electric

field to the charge distribution that creates it.

Equation 31.13, which can be considered Gauss’s law in magnetism, states that 

the

net  magnetic  flux  through  a  closed  surface  is  zero. That  is,  the  number  of
magnetic field lines that enter a closed volume must equal the number that leave that
volume. This implies that magnetic field lines cannot begin or end at any point. If they
did, it would mean that isolated magnetic monopoles existed at those points. The fact
that isolated magnetic monopoles have not been observed in nature can be taken as a
confirmation of Equation 31.13.

Equation  31.14  is  Faraday’s  law  of  induction,  which  describes  the  creation  of  an

electric field by a changing magnetic flux. This law states that 

the emf, which is the

line  integral  of  the  electric  field  around  any  closed  path,  equals  the  rate  of
change  of  magnetic  flux  through  any  surface  area  bounded  by  that  path. One
consequence of Faraday’s law is the current induced in a conducting loop placed in a
time-varying magnetic field.

Equation 31.15, usually called the Ampère–Maxwell law, is the generalized form of

Ampère’s  law,  and  describes  the  creation  of  a  magnetic field  by  an  electric field  and
electric currents: 

the line integral of the magnetic field around any closed path is

the sum of $

0

times the net current through that path and #

0

$

0

times the rate of

change of electric flux through any surface bounded by that path.

Once the electric and magnetic fields are known at some point in space, the force

acting on a particle of charge q can be calculated from the expression

F " qE 2 qv " B

(31.16)

This relationship is called the 

Lorentz force law. (We saw this relationship earlier as

Equation 29.16.) Maxwell’s equations, together with this force law, completely describe
all classical electromagnetic interactions.

It is interesting to note the symmetry of Maxwell’s equations. Equations 31.12 and

31.13 are symmetric, apart from the absence of the term for magnetic monopoles in
Equation 31.13. Furthermore, Equations 31.14 and 31.15 are symmetric in that the line
integrals of 

E and B around a closed path are related to the rate of change of magnetic

flux and electric flux, respectively. Maxwell’s equations are of fundamental importance
not only to electromagnetism but to all of science. Heinrich Hertz once wrote, “One
cannot escape the feeling that these mathematical formulas have an independent exis-
tence and an intelligence of their own, that they are wiser than we are, wiser even than
their discoverers, that we get more out of them than we put into them.”

'

 

B&ds " /

0

I 2 1

0

 

/

0

 

d!

E

dt

'

 

E&ds " %

d!

B

dt

'

S

 

B&dA " 0

Summary

989

Faraday’s  law  of  induction states  that  the  emf  induced  in  a  circuit  is  directly
proportional to the time rate of change of magnetic flux through the circuit:

(31.1)

where !

B

"

&B & d A is the magnetic flux.

$

" %

d!

B

dt

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on the
Practice Test link at
http://www.pse6.com.

Faraday’s law

Ampère–Maxwell law

The Lorentz force law

Gauss’s law in magnetism

When  a  conducting  bar  of  length  ! moves  at  a  velocity 

v through  a  magnetic

field

B , where B is perpendicular to the bar and to v, the motional emf induced in

the bar is

$

" %

B!v

(31.5)

Lenz’s law states that the induced current and induced emf in a conductor are in

such a direction as to set up a magnetic field that opposes the change that produced
them.

A general form of 

Faraday’s law of induction is

(31.9)

where 

E is  the  nonconservative  electric  field  that  is  produced  by  the  changing

magnetic flux.

When  used  with  the  Lorentz  force  law, 

F " qE 2 q v " B,  Maxwell’s  equations

describe all electromagnetic phenomena:

(31.12)

(31.13)

(31.14)

(31.15)

'

 

B&ds " /

0

I 2 1

0

/

0

 

d!

E

dt

 

'

 

E&ds " %

d!

B

dt

 

'

S

 

B&d A " 0

 

'

S

 

E&d A "

q

1

0

$

"

'

 

E&ds " %

d!

B

dt

990

CHAPTE R 31 •  Faraday’s Law

1. What is the difference between magnetic flux and magnetic

field?

2. A loop of wire is placed in a uniform magnetic field. For

what  orientation  of  the  loop  is  the  magnetic  flux  a  maxi-
mum? For what orientation is the flux zero?

3. As the bar in Figure Q31.3 moves to the right, an electric

field is set up directed downward in the bar. Explain why

E

B

in

+

+

+

−

−

−

v

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

v

B

out

the electric field would be upward if the bar were moving
to the left.

4. As  the  bar  in  Figure  Q31.3  moves  perpendicular  to  the

field, is an external force required to keep it moving with
constant speed?
The bar in Figure Q31.5 moves on rails to the right with a
velocity  v,  and  the  uniform,  constant  magnetic  field  is
directed  out  of  the  page.  Why  is  the  induced  current
clockwise? If the bar were moving to the left, what would
be the direction of the induced current?

5.

Q U E S T I O N S

Figure Q31.5 Questions 5 and 6.

Figure Q31.3 Questions 3 and 4.

R

S

N

v

6. Explain why an applied force is necessary to keep the bar

in Figure Q31.5 moving with a constant speed.

7. Wearing  a  metal  bracelet  in  a  region  of  strong  magnetic

field could be hazardous. Explain.

8. When a small magnet is moved toward a solenoid, an emf is

induced  in  the  coil.  However,  if  the  magnet  is  moved
around  inside  a  toroid,  no  measurable  emf  is  induced.
Explain.
How  is  energy  produced  in  dams  that  is  then  transferred
out by electrical transmission? (That is, how is the energy
of  motion  of  the  water  converted  to  energy  that  is  trans-
mitted by AC electricity?)

10. Will dropping a magnet down a long copper tube produce

a current in the walls of the tube? Explain.

11. A  piece  of  aluminum  is  dropped  vertically  downward

between the poles of an electromagnet. Does the magnetic
field affect the velocity of the aluminum?

12. What  happens  when  the  rotational  speed  of  a  generator

coil is increased?

13. When the switch in Figure Q31.13a is closed, a current is

set up in the coil and the metal ring springs upward (Fig.
Q31.13b). Explain this behavior.

9.

14. Assume  that  the  battery  in  Figure  Q31.13a  is  replaced

by an  AC  source  and  the  switch  is  held  closed.  If  held
down,  the  metal  ring  on  top  of  the  solenoid  becomes
hot. Why?

15. A bar magnet is held above a loop of wire in a horizontal

plane,  as  shown  in  Figure  Q31.15.  The  south  end  of  the
magnet is toward the loop of wire. The magnet is dropped
toward the loop. Find the direction of the current through
the resistor (a) while the magnet is falling toward the loop
and (b) after the magnet has passed through the loop and
moves away from it.

16. Find the direction of the current in the resistor in Figure

Q31.16 (a) at the instant the switch is closed, (b) after the
switch has been closed for several minutes, and (c) at the
instant the switch is opened.

17. Quick  Quiz  31.4  describes  the  emf  induced  between  the

wingtips  of  an  airplane  by  its  motion  in  the  Earth’s
magnetic  field.  Can  this  emf  be  used  to  power  a  light  in
the passenger compartment? Explain your answer.

18. Do Maxwell’s equations allow for the existence of magnetic

monopoles? Explain.

19. Induction  welding has  many  important  industrial  applica-

tions.  One  example  is  the  manufacture  of  airtight  tubes,
represented  in  Figure  Q31.19.  A  sheet  of  metal  is  rolled
into a cylinder and forced between compression rollers to
bring  its  edges  into  contact.  The  tube  then  enters  a  coil
carrying a time-varying current. The seam is welded when
induced  currents  around  the  tube  raise  its  temperature.
Typically, a sinusoidal current with a frequency of 10 kHz
is used. (a) What causes a current in the tube? (b) Why is a
high frequency like 10 kHz chosen, rather than the 120 Hz
commonly  used  for  power  transmission?  (c)  Why  do  the
induced  currents  raise  the  temperature  mainly  of  the
seam, rather than all of the metal of the tube? (d) Why is it
necessary to bring the edges of the sheet together with the
compression rollers before the seam can be welded?

Questions

991

(a)

Iron core

Metal ring

S

(b)

R

S

ε

Figure Q31.15

Figure Q31.16

Figure Q31.19

Figure Q31.13 Questions 13 and 14.

Courtesy of Central Scientific Company

992

CHAPTE R 31 •  Faraday’s Law

produced by the solenoid is half as strong as at the center
of the solenoid. Assume the solenoid produces negligible
field  outside  its  cross-sectional  area.  The  current  in  the
solenoid  is  increasing  at  a  rate  of  270 A/s.  (a)  What  is
the induced current in the ring? At the center of the ring,
what  are  (b)  the  magnitude  and  (c)  the  direction  of  the
magnetic  field  produced  by  the  induced  current  in  the
ring?

8.

An aluminum ring of radius r

1

and resistance R is placed

around the top of a long air-core solenoid with n turns per
meter  and  smaller  radius  r

2

as  shown  in  Figure  P31.7.

Assume that the axial component of the field produced by
the  solenoid  over  the  area  of  the  end  of  the  solenoid  is
half as strong as at the center of the solenoid. Assume that
the  solenoid  produces  negligible  field  outside  its  cross-
sectional area. The current in the solenoid is increasing at
a  rate  of  'I/'t.  (a)  What  is  the  induced  current  in  the
ring?  (b)  At  the  center  of  the  ring,  what  is  the  magnetic
field  produced  by  the  induced  current  in  the  ring?
(c) What is the direction of this field?

9.

(a) A loop of wire in the shape of a rectangle of width w
and length L and a long, straight wire carrying a current I
lie on a tabletop as shown in Figure P31.9. (a) Determine
the magnetic flux through the loop due to the current I.
(b) Suppose the current is changing with time according
to I " a 2 bt, where a and b are constants. Determine the
emf  that  is  induced  in  the  loop  if  b " 10.0 A/s,  h "
1.00 cm, w " 10.0 cm, and L " 100 cm. What is the direc-
tion of the induced current in the rectangle?

Section 31.1 Faraday’s Law of Induction
Section 31.3 Lenz’s Law

1. A  50-turn  rectangular  coil  of  dimensions  5.00 cm +

10.0 cm is allowed to fall from a position where B " 0 to a
new position where B " 0.500 T and the magnetic field is
directed perpendicular to the plane of the coil. Calculate
the  magnitude  of  the  average  emf  that  is  induced  in  the
coil if the displacement occurs in 0.250 s.

2. A  flat  loop  of  wire  consisting  of  a  single  turn  of  cross-

sectional  area  8.00 cm

2

is  perpendicular  to  a  magnetic

field that increases uniformly in magnitude from 0.500 T
to 2.50 T in 1.00 s. What is the resulting induced current if
the loop has a resistance of 2.00 (?

3. A  25-turn  circular  coil  of  wire  has  diameter  1.00 m.  It  is

placed  with  its  axis  along  the  direction  of  the  Earth’s
magnetic field of 50.0 /T, and then in 0.200 s it is flipped
180°.  An  average  emf  of  what  magnitude  is  generated  in
the coil?

4.

A  rectangular  loop  of  area  A is  placed  in  a  region  where
the  magnetic  field  is  perpendicular  to  the  plane  of  the
loop.  The  magnitude  of  the  field  is  allowed  to  vary  in
time according  to  B " B

max

e

%

t/-

,  where  B

max

and  - are

constants. The field has the constant value B

max

for t 0 0.

(a) Use Faraday’s law to show that the emf induced in the
loop is given by

(b)  Obtain  a  numerical  value  for 

$

at  t " 4.00 s  when

A " 0.160 m

2

, B

max

"

0.350 T, and - " 2.00 s. (c) For the

values of A, B

max

, and - given in (b), what is the maximum

value of 

$

?

A  strong  electromagnet  produces  a  uniform  mag-

netic  field  of  1.60 T  over  a  cross-sectional  area  of
0.200 m

2

.  We  place  a  coil  having  200 turns  and  a  total

resistance  of  20.0 ( around  the  electromagnet.  We  then
smoothly reduce the current in the electromagnet until it
reaches  zero  in  20.0 ms.  What  is  the  current  induced  in
the coil?

6. A  magnetic  field  of  0.200 T  exists  within  a  solenoid  of

500 turns and a diameter of 10.0 cm. How rapidly (that is,
within what period of time) must the field be reduced to
zero, if the average induced emf within the coil during this
time interval is to be 10.0 kV?

An  aluminum  ring  of  radius  5.00 cm  and  resistance

3.00 + 10

%

4

(

is  placed  on  top  of  a  long  air-core  sole-

noid with  1 000  turns  per  meter  and  radius  3.00 cm,  as
shown  in  Figure  P31.7.  Over  the  area  of  the  end  of  the
solenoid,  assume  that  the  axial  component  of  the  field

7.

5.

$

"

AB

 

max

-

 e

%

t/-

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

5.00 cm

3.00 cm

I

I

Figure P31.7 Problems 7 and 8.