Physics For Scientists And Engineers 6E - part 240

Problems

957

27. Explain  why  it  is  desirable  to  use  hard  ferromagnetic

materials to make permanent magnets.

28. Would  you  expect  the  tape  from  a  tape  recorder  to  be

attracted to a magnet? (Try it, but not with a recording you
wish to save.)

29. Given only a strong magnet and a screwdriver, how would

you first magnetize and then demagnetize the screwdriver?

30. Which way would a compass point if you were at the north

magnetic pole of the Earth?

31. Figure Q30.31 shows two permanent magnets, each having

a  hole  through  its  center.  Note  that  the  upper  magnet  is
levitated  above  the  lower  one.  (a)  How  does  this  occur?
(b) What purpose does the pencil serve? (c) What can you
say about the poles of the magnets from this observation?
(d)  If  the  upper  magnet  were  inverted,  what  do  you
suppose would happen?

Figure Q30.31

Courtesy of Central Scientific Company

Section 30.1 The Biot–Savart Law

1.

In  Niels  Bohr’s  1913  model  of  the  hydrogen  atom,  an
electron circles the proton at a distance of 5.29 & 10

'

11

m

with a speed of 2.19 & 10

6

m/s. Compute the magnitude

of  the  magnetic  field  that  this  motion  produces  at  the
location of the proton.

2. A lightning bolt may carry a current of 1.00 & 10

4

A for a

short period of time. What is the resulting magnetic field
100 m  from  the  bolt?  Suppose  that  the  bolt  extends  far
above and below the point of observation.

(a)  A  conductor  in  the  shape  of  a  square  loop  of  edge
length  ! " 0.400 m  carries  a  current  I " 10.0 A  as  in
Fig. P30.3.  Calculate  the  magnitude  and  direction  of  the
magnetic field at the center of the square. (b) What If? If
this  conductor  is  formed  into  a  single  circular  turn  and
carries the same current, what is the value of the magnetic
field at the center?

3.

4. Calculate  the  magnitude  of  the  magnetic  field  at  a  point

100 cm from a long, thin conductor carrying a current of
1.00 A.

Determine  the  magnetic  field  at  a  point  P located  a

distance x from the corner of an infinitely long wire bent
at a right angle, as shown in Figure P30.5. The wire carries
a steady current I.

5.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

I

!

Figure P30.3

Figure P30.5

x

P

I

I

6.

A conductor consists of a circular loop of radius R and two
straight, long sections, as shown in Figure P30.6. The wire

Figure P30.6

I = 7.00 A

958

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

10.

A very long straight wire carries current I. In the middle of
the  wire  a  right-angle  bend  is  made.  The  bend  forms

Figure P30.7

Figure P30.9

Figure P30.10

Figure P30.12

I

R

x

×

I

2

I

1

2a

–2a

0

r

I

60

°

b

a

P

I

lies in the plane of the paper and carries a current I. Find
an expression for the vector magnetic field at the center of
the loop.

7.

The  segment  of  wire  in  Figure  P30.7  carries  a  current
of I " 5.00 A,  where  the  radius  of  the  circular  arc  is
R " 3.00 cm. Determine the magnitude and direction of
the magnetic field at the origin.

8.

Consider a flat circular current loop of radius R carry-

ing current I. Choose the x axis to be along the axis of the
loop,  with  the  origin  at  the  center  of  the  loop.  Plot  a
graph of the ratio of the magnitude of the magnetic field
at coordinate x to that at the origin, for x " 0 to x " 5R. It
may  be  useful  to  use  a  programmable  calculator  or  a
computer to solve this problem.

9.

Two  very  long,  straight,  parallel  wires  carry  currents  that
are directed perpendicular to the page, as in Figure P30.9.
Wire  1  carries  a  current  I

1

into  the  page  (in  the  ' z

direction) and passes through the x axis at x " * a. Wire 2
passes  through  the  x axis  at  x " ' 2a and  carries  an
unknown current I

2

. The total magnetic field at the origin

due  to  the  current-carrying  wires  has  the  magnitude
2#

0

I

1

/(2$a).  The  current  I

2

can  have  either  of  two

possible  values.  (a)  Find  the  value  of  I

2

with  the  smaller

magnitude, stating it in terms of I

1

and giving its direction.

(b) Find the other possible value of I

2

.

an arc  of  a  circle  of  radius  r,  as  shown  in  Figure  P30.10.
Determine the magnetic field at the center of the arc.

11.

One  very  long  wire  carries  current  30.0 A  to  the  left
along the x axis. A second very long wire carries current
50.0 A  to  the  right  along  the  line  (y " 0.280 m,  z " 0).
(a)  Where  in  the  plane  of  the  two  wires  is  the  total
magnetic  field  equal  to  zero?  (b)  A  particle  with
a charge  of  ' 2.00 #C  is  moving  with  a  velocity  of
150ˆ

i Mm/s  along  the  line  (y " 0.100 m,  z " 0).

Calculate  the  vector  magnetic  force  acting  on  the
particle. (c) What If? A uniform electric field is applied
to  allow  this  particle  to  pass  through  this  region
undeflected. Calculate the required vector electric field.

12.

Consider  the  current-carrying  loop  shown  in  Figure
P30.12,  formed  of  radial  lines  and  segments  of  circles
whose  centers  are  at  point  P.  Find  the  magnitude  and
direction of

B at P.

13.

A  wire  carrying  a  current  I is  bent  into  the  shape  of  an
equilateral  triangle  of  side  L.  (a)  Find  the  magnitude  of
the  magnetic  field  at  the  center  of  the  triangle.  (b)  At  a
point  halfway  between  the  center  and  any  vertex,  is  the
field stronger or weaker than at the center?

14.

Determine the magnetic field (in terms of I, a, and d) at
the origin due to the current loop in Figure P30.14.

15.

Two  long,  parallel  conductors  carry  currents  I

1

"

3.00 A

and  I

2

"

3.00 A,  both  directed  into  the  page  in  Figure

P30.15.  Determine  the  magnitude  and  direction  of  the
resultant magnetic field at P.

– a

+ a

O

d

I

I

y

x

Figure P30.14

Problems

959

Wire  3  is  located  such  that  when  it  carries  a  certain
current, each wire experiences no net force. Find (a) the
position of wire 3, and (b) the magnitude and direction of
the current in wire 3.

20.

The  unit  of  magnetic  flux  is  named  for  Wilhelm  Weber.
The  practical-size  unit  of  magnetic  field  is  named  for
Johann  Karl  Friedrich  Gauss.  Both  were  scientists  at
Göttingen,  Germany.  Along  with  their  individual
accomplishments, together they built a telegraph in 1833.
It  consisted  of  a  battery  and  switch,  at  one  end  of  a
transmission line 3 km long, operating an electromagnet at
the  other  end.  (André  Ampère  suggested  electrical
signaling  in  1821;  Samuel  Morse  built  a  telegraph  line
between Baltimore and Washington in 1844.) Suppose that
Weber and Gauss’s transmission line was as diagrammed in
Figure P30.20. Two long, parallel wires, each having a mass
per unit length of 40.0 g/m, are supported in a horizontal
plane  by  strings  6.00 cm  long.  When  both  wires  carry  the
same current I, the wires repel each other so that the angle
!

between  the  supporting  strings  is  16.0°.  (a)  Are  the

currents  in  the  same  direction  or  in  opposite  directions?
(b) Find the magnitude of the current.

Section 30.2 The Magnetic Force Between Two

Parallel Conductors

16. Two long, parallel conductors, separated by 10.0 cm, carry

currents  in  the  same  direction.  The  first  wire  carries
current  I

1

"

5.00 A  and  the  second  carries  I

2

"

8.00 A.

(a) What is the magnitude of the magnetic field created by
I

1

at  the  location  of  I

2

?  (b)  What  is  the  force  per  unit

length exerted by I

1

on I

2

? (c) What is the magnitude of

the  magnetic  field  created  by  I

2

at  the  location  of  I

1

?

(d) What is the force per length exerted by I

2

on I

1

?

In Figure P30.17, the current in the long, straight wire is
I

1

"

5.00 A and the wire lies in the plane of the rectangu-

lar loop, which carries the current I

2

"

10.0 A. The dimen-

sions are c " 0.100 m, a " 0.150 m, and ! " 0.450 m. Find
the  magnitude  and  direction  of  the  net  force  exerted  on
the loop by the magnetic field created by the wire.

17.

Section 30.3 Ampère’s Law

Four long, parallel conductors carry equal currents of

I " 5.00 A. Figure P30.21 is an end view of the conductors.
The  current  direction  is  into  the  page  at  points  A and  B
(indicated by the crosses) and out of the page at C and D
(indicated  by  the  dots).  Calculate  the  magnitude  and
direction  of  the  magnetic  field  at  point  P,  located  at  the
center of the square of edge length 0.200 m.

21.

18.

Two  long,  parallel  wires  are  attracted  to  each  other  by  a
force  per  unit  length  of  320 #N/m  when  they  are  sepa-
rated by a vertical distance of 0.500 m. The current in the
upper wire is 20.0 A to the right. Determine the location
of the line in the plane of the two wires along which the
total magnetic field is zero.

19.

Three  long  wires  (wire  1,  wire  2,  and  wire  3)  hang  verti-
cally.  The  distance  between  wire  1  and  wire  2  is  20.0 cm.
On the left, wire 1 carries an upward current of 1.50 A. To
the  right,  wire  2  carries  a  downward  current  of  4.00 A.

Figure P30.15

13.0 cm

5.00 cm

12.0 cm

I

2

I

1

P

×

×

Figure P30.17

I

1

!

c

a

I

2

Figure P30.20

16.0

°

x

6.00 cm

z

y

θ

Figure P30.21

0.200 m

0.200 m

A

B

C

P

D

×

×

22.

A long straight wire lies on a horizontal table and carries a
current of 1.20 #A. In a vacuum, a proton moves parallel
to the wire (opposite the current) with a constant speed of
2.30 & 10

4

m/s at a distance d above the wire. Determine

the value of d. You may ignore the magnetic field due to
the Earth.

960

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

of the can and I the upward current, uniformly distributed
over its curved wall. Determine the magnetic field (a) just
inside  the  wall  and  (b)  just  outside.  (c)  Determine  the
pressure on the wall.

28. Niobium  metal  becomes  a  superconductor  when  cooled

below  9 K.  Its  superconductivity  is  destroyed  when  the
surface  magnetic  field  exceeds  0.100 T.  Determine  the
maximum  current  a  2.00-mm-diameter  niobium  wire  can
carry and remain superconducting, in the absence of any
external magnetic field.

A long cylindrical conductor of radius R carries a current I
as shown in Figure P30.29. The current density J, however,
is not uniform over the cross section of the conductor but
is a function of the radius according to J " br, where b is a
constant.  Find  an  expression  for  the  magnetic  field  B
(a) at  a  distance  r

1

.

R and  (b)  at  a  distance  r

2

,

R,

measured from the axis.

29.

23. Figure  P30.23  is  a  cross-sectional  view  of  a  coaxial  cable.

The  center  conductor  is  surrounded  by  a  rubber  layer,
which  is  surrounded  by  an  outer  conductor,  which  is
surrounded  by  another  rubber  layer.  In  a  particular
application,  the  current  in  the  inner  conductor  is  1.00 A
out of the page and the current in the outer conductor is
3.00 A  into  the  page.  Determine  the  magnitude  and
direction of the magnetic field at points a and b.

30.

In Figure P30.30, both currents in the infinitely long wires
are  in  the  negative  x direction.  (a)  Sketch  the  magnetic
field pattern in the yz plane. (b) At what distance d along
the z axis is the magnetic field a maximum?

Section 30.4 The Magnetic Field of a Solenoid

What  current  is  required  in  the  windings  of  a  long

solenoid that has 1 000 turns uniformly distributed over a
length of 0.400 m, to produce at the center of the solenoid
a magnetic field of magnitude 1.00 & 10

'

4

T?

32.

Consider a solenoid of length ! and radius R, containing
N closely  spaced  turns  and  carrying  a  steady  current
I. (a) In  terms  of  these  parameters,  find  the  magnetic
field at  a  point  along  the  axis  as  a  function  of  distance
a from  the  end  of  the  solenoid.  (b)  Show  that  as  !
becomes very long, B approaches #

0

NI/2! at each end of

the solenoid.

31.

b

a

1.00 A

1 mm 1 mm 1 mm

3.00 A

.

.

×

×

×

×

×

×

×

×

Figure P30.23

Figure P30.29

Figure P30.30

R

r

1

I

r

2

x

y

a

a

I

I

z

24.

The magnetic field 40.0 cm away from a long straight wire
carrying current 2.00 A is 1.00 #T. (a) At what distance is
it  0.100 #T?  (b)  What  If?  At  one  instant,  the  two
conductors  in  a  long  household  extension  cord  carry
equal 2.00-A currents in opposite directions. The two wires
are 3.00 mm apart. Find the magnetic field 40.0 cm away
from the middle of the straight cord, in the plane of the
two  wires.  (c)  At  what  distance  is  it  one  tenth  as  large?
(d) The  center  wire  in  a  coaxial  cable  carries  current
2.00 A  in  one  direction  and  the  sheath  around  it  carries
current  2.00 A  in  the  opposite  direction.  What  magnetic
field does the cable create at points outside?

A  packed  bundle  of  100  long,  straight,  insulated  wires

forms  a  cylinder  of  radius  R " 0.500 cm.  (a)  If  each  wire
carries 2.00 A, what are the magnitude and direction of the
magnetic  force  per  unit  length  acting  on  a  wire  located
0.200 cm from the center of the bundle? (b) What If ? Would
a  wire  on  the  outer  edge  of  the  bundle  experience  a  force
greater or smaller than the value calculated in part (a)?

26.

The magnetic coils of a tokamak fusion reactor are in the
shape of a toroid having an inner radius of 0.700 m and an
outer radius of 1.30 m. The toroid has 900 turns of large-
diameter wire, each of which carries a current of 14.0 kA.
Find the magnitude of the magnetic field inside the toroid
along (a) the inner radius and (b) the outer radius.

27.

Consider  a  column  of  electric  current  passing  through
plasma  (ionized  gas).  Filaments  of  current  within  the
column  are  magnetically  attracted  to  one  another.  They
can  crowd  together  to  yield  a  very  great  current  density
and  a  very  strong  magnetic  field  in  a  small  region.
Sometimes the current can be cut off momentarily by this
pinch  effect.  (In  a  metallic  wire  a  pinch  effect  is  not
important,  because  the  current-carrying  electrons  repel
one another with electric forces.) The pinch effect can be
demonstrated by making an empty aluminum can carry a
large current parallel to its axis. Let R represent the radius

25.