Physics For Scientists And Engineers 6E - part 237

SECTION 3 0.8 •  Magnetism in Matter

945

and  the  magnetic  moment  of  the  electron  is  associated  with  this  orbital  motion.
Although this  model  has  many  deficiencies,  some  of  its  predictions  are  in 
good agreement  with  the  correct  theory,  which  is  expressed  in  terms  of  quantum
physics.

In our classical model, we assume that an electron moves with constant speed v in a

circular  orbit  of  radius  r about  the  nucleus,  as  in  Figure  30.27.  Because  the  electron
travels  a  distance  of  2$

r (the  circumference  of  the  circle)  in  a  time  interval  T,  its

orbital  speed  is  v " 2$r/T.  The  current  I associated  with  this  orbiting  electron  is  its
charge e divided by T. Using T " 2$/4 and 4 " v/r, we have

The magnitude of the magnetic moment associated with this current loop is # " IA,
where A " $r

2

is the area enclosed by the orbit. Therefore,

(30.24)

Because the magnitude of the orbital angular momentum of the electron is L " m

e

vr

(Eq. 11.12 with 6 " 90°), the magnetic moment can be written as

(30.25)

This result demonstrates that 

the magnetic moment of the electron is proportional

to  its  orbital  angular  momentum. Because  the  electron  is  negatively  charged,
the vectors " and 

L point in opposite directions. Both vectors are perpendicular to the

plane of the orbit, as indicated in Figure 30.27.

A  fundamental  outcome  of  quantum  physics  is  that  orbital  angular  momentum

is quantized  and  is  equal  to  multiples  of  " h/2$ " 1.05 & 10

'

34

J ( s,  where  h is

Planck’s  constant  (introduced  in  Section  11.6).  The  smallest  nonzero  value  of  the
electron’s magnetic moment resulting from its orbital motion is

(30.26)

We shall see in Chapter 42 how expressions such as Equation 30.26 arise.

Because all substances contain electrons, you may wonder why most substances

are  not  magnetic.  The  main  reason  is  that  in  most  substances,  the  magnetic
moment of one electron in an atom is canceled by that of another electron orbiting
in the opposite direction. The net result is that, for most materials, 

the magnetic

effect  produced  by  the  orbital  motion  of  the  electrons  is  either  zero  or  very
small.

In  addition  to  its  orbital  magnetic  moment,  an  electron  (as  well  as  protons,

neutrons,  and  other  particles)  has  an  intrinsic  property  called 

spin that  also

contributes  to  its  magnetic  moment.  Classically,  the  electron  might  be  viewed  as

# "

√

2 

e

2m

e

 

 7

7

# "

&

e

2m

e

'

 

 L

# "

IA "

&

ev

2$r

'

 $r

 

2

"

1

2

evr

I "

e

T

"

e4

2$

"

ev

2$r

Orbital magnetic moment

r

µ

L

Figure 30.27 An electron moving in the direction of the gray

arrow in a circular orbit of radius r has an angular momentum

L in one direction and a magnetic moment 

"

in the opposite

direction. Because the electron carries a negative charge, the

direction of the current due to its motion about the nucleus is

opposite the direction of that motion.

▲

PITFALL PREVENTION 

30.3 The Electron Does

Not Spin

Do not be misled; the electron is
not  physically  spinning.  It  has  an
intrinsic angular momentum as if
it were spinning, but the notion of
rotation  for  a  point  particle  is
meaningless.  Rotation  applies
only  to  a  rigid  object,  with  an
extent in space, as in Chapter 10.
Spin angular momentum is actu-
ally a relativistic effect.

spinning about its axis as shown in Figure 30.28, but you should be very careful with
the  classical  interpretation.  The  magnitude  of  the  angular  momentum 

S associated

with spin is on the same order of magnitude as the magnitude of the angular momen-
tum 

L due to the orbital motion. The magnitude of the spin angular momentum of an

electron predicted by quantum theory is

The magnetic moment characteristically associated with the spin of an electron has the
value

(30.27)

This combination of constants is called the 

Bohr magneton "

B

:

(30.28)

Thus, atomic magnetic moments can be expressed as multiples of the Bohr magneton.
(Note that 1 J/T " 1 A ( m

2

.)

In  atoms  containing  many  electrons,  the  electrons  usually  pair  up  with  their

spins opposite  each  other;  thus,  the  spin  magnetic  moments  cancel.  However,  atoms
containing an odd number of electrons must have at least one unpaired electron and
therefore some spin magnetic moment. The total magnetic moment of an atom is the
vector sum of the orbital and spin magnetic moments, and a few examples are given in
Table  30.1.  Note  that  helium  and  neon  have  zero  moments  because  their  individual
spin and orbital moments cancel.

The nucleus of an atom also has a magnetic moment associated with its constituent

protons and neutrons. However, the magnetic moment of a proton or neutron is much
smaller than that of an electron and can usually be neglected. We can understand this
by inspecting Equation 30.28 and replacing the mass of the electron with the mass of a
proton or a neutron. Because the masses of the proton and neutron are much greater
than  that  of  the  electron,  their  magnetic  moments  are  on  the  order  of  10

3

times

smaller than that of the electron.

Magnetization Vector and Magnetic Field Strength

The magnetic state of a substance is described by a quantity called the 

magnetization

vector M. The magnitude of this vector is defined as the magnetic moment per
unit volume of the substance. As you might expect, the total magnetic field B at a
point  within  a  substance  depends  on  both  the  applied  (external)  field 

B

0

and  the

magnetization of the substance.

Consider a region in which a magnetic field 

B

0

is produced by a current-carrying

conductor. If we now fill that region with a magnetic substance, the total magnetic field
B in  the  region  is  B " B

0

*

B

m

,  where 

B

m

is  the  field  produced  by  the  magnetic

substance.

Let us determine the relationship between 

B

m

and 

M. Imagine that the field B

m

is

created by a solenoid rather than by the magnetic material. Then, B

m

"

#

0

nI, where I

is the current in the imaginary solenoid and n is the number of turns per unit length.
Let us manipulate this expression as follows:

where N is the number of turns in length !, and we have multiplied the numerator
and denominator by A, the cross sectional area of the solenoid in the last step. We
recognize  the  numerator  NIA  as  the  total  magnetic  moment  of  all  the  loops  in

B

m

"

#

0

nI " #

0

 

N

!

 I " #

0

 

NIA

!

A

#

B

"

e

 

7

2m

e

"

9.27 & 10

'

24

 

 

J/T

#

 

spin

"

e

 

7

2m

e

S "

√

3

2

  

 7

946

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

Magnetization vector M

spin

µ

Figure 30.28 Classical model of a

spinning electron. We can adopt

this model to remind ourselves that

electrons have an intrinsic angular

momentum. The model should not

be pushed too far, however—it

gives an incorrect magnitude for

the magnetic moment, incorrect

quantum numbers, and too many

degrees of freedom.

Magnetic

Moment

Atom or Ion

(10

#

24

J/T)

H

9.27

He

0

Ne

0

Ce

3*

19.8

Yb

3*

37.1

Magnetic Moments of Some
Atoms and Ions

Table 30.1

length ! and the denominator !A as the volume of the solenoid associated with this
length:

The ratio of total magnetic moment to volume is what we have defined as magnetiza-
tion in the case where the field is due to a material rather than a solenoid. Thus, we
can express the contribution 

B

m

to the total field in terms of the magnetization vector

of  the  substance  as 

B

m

"

#

0

M.  When  a  substance  is  placed  in  a  magnetic  field,  the

total magnetic field in the region is expressed as

(30.29)

When analyzing magnetic fields that arise from magnetization, it is convenient to

introduce a field quantity called the 

magnetic field strength H within the substance.

The  magnetic  field  strength  is  related  to  the  magnetic  field  due  to  the  conduction
currents in wires. To emphasize the distinction between the field strength 

H and the

field 

B, the latter is often called the magnetic flux density or the magnetic induction. The

magnetic field strength is the magnetic moment per unit volume due to currents; thus,
it is similar to the vector 

M and has the same units.

Recognizing  the  similarity  between 

M and  H,  we  can  define  H as  H ) B

0

/#

0

.

Thus, Equation 30.29 can be written

(30.30)

The quantities 

H and M have the same units. Because M is magnetic moment per unit

volume, its SI units are (ampere)(meter)

2

/(meter)

3

, or amperes per meter.

To better understand these expressions, consider the torus region of a toroid that

carries a current I. If this region is a vacuum, 

M " 0 (because no magnetic material is

present), the total magnetic field is that arising from the current alone, and 

B " B

0

"

#

0

H. Because B

0

"

#

0

nI in the torus region, where n is the number of turns per unit

length of the toroid, H " B

0

/#

0

"

#

0

nI/#

0

or

(30.31)

In  this  case,  the  magnetic  field  in  the  torus  region  is  due  only  to  the  current  in  the
windings of the toroid.

If the torus is now made of some substance and the current I is kept constant,

H in the torus region remains unchanged (because it depends on the current only)
and  has  magnitude  nI.  The  total  field 

B,  however,  is  different  from  that

when the torus  region  was  a  vacuum.  From  Equation  30.30,  we  see  that  part  of
B arises from the term #

0

H associated with the current in the toroid, and part arises

from  the  term  #

0

M due  to  the  magnetization  of  the  substance  of  which  the  torus

is made.

Classification of Magnetic Substances

Substances  can  be  classified  as  belonging  to  one  of  three  categories,  depending  on
their  magnetic  properties. 

Paramagnetic and  ferromagnetic materials  are  those

made of atoms that have permanent magnetic moments. 

Diamagnetic materials are

those made of atoms that do not have permanent magnetic moments.

For  paramagnetic  and  diamagnetic  substances,  the  magnetization  vector 

M is

proportional  to  the  magnetic  field  strength 

H.  For  these  substances  placed  in  an

external magnetic field, we can write

(30.32)

where 8 (Greek letter chi) is a dimensionless factor called the 

magnetic susceptibil-

ity. It can be considered a measure of how susceptible a material is to being magnetized.
For  paramagnetic  substances,  8 is  positive  and 

M is  in  the  same  direction  as  H.  For

M " 8

 

H

H " nI

B " #

0

(

H * M)

B " B

0

*

#

0

M

B

m

"

#

0

 

#

V

SECTION 3 0.8 •  Magnetism in Matter

947

Magnetic field strength H

Magnetic susceptibility 

#

diamagnetic substances, 8 is negative and 

M is opposite H. The susceptibilities of some

substances are given in Table 30.2.

Substituting Equation 30.32 for 

M into Equation 30.30 gives

or

(30.33)

where  the  constant  #

m

is  called  the 

magnetic  permeability of  the  substance  and  is

related to the susceptibility by

(30.34)

Substances  may  be  classified  in  terms  of  how  their  magnetic  permeability  #

m

compares with #

0

(the permeability of free space), as follows:

Paramagnetic

#

m

,

#

0

Diamagnetic

#

m

.

#

0

Because 8 is very small for paramagnetic and diamagnetic substances (see Table 30.2),
#

m

is nearly equal to #

0

for these substances. For ferromagnetic substances, however,

#

m

is typically several thousand times greater than #

0

(meaning that 8 is very large for

ferromagnetic substances).

Although Equation 30.33 provides a simple relationship between 

B and H, we must

interpret it with care when dealing with ferromagnetic substances. We find that 

M is not a

linear function of 

H for ferromagnetic substances. This is because the value of #

m

is not

only  a  characteristic  of  the  ferromagnetic  substance  but  also  depends  on  the  previous
state of the substance and on the process it underwent as it moved from its previous state
to its present one. We shall investigate this more deeply after the following example.

#

m

"

#

0

(1 * 8)

B " #

m

 

H

B " #

0

(

H * M) " #

0

(

H * 8H) " #

0

(1 * 8)

H

948

CHAPTE R 3 0 •  Sources of the Magnetic Field

Paramagnetic

Diamagnetic

Substance

#

Substance

#

Aluminum

2.3 & 10

'

5

Bismuth

'

1.66 & 10

'

5

Calcium

1.9 & 10

'

5

Copper

'

9.8 & 10

'

6

Chromium

2.7 & 10

'

4

Diamond

'

2.2 & 10

'

5

Lithium

2.1 & 10

'

5

Gold

'

3.6 & 10

'

5

Magnesium

1.2 & 10

'

5

Lead

'

1.7 & 10

'

5

Niobium

2.6 & 10

'

4

Mercury

'

2.9 & 10

'

5

Oxygen 

2.1 & 10

'

6

Nitrogen 

'

5.0 & 10

'

9

Platinum

2.9 & 10

'

4

Silver

'

2.6 & 10

'

5

Tungsten

6.8 & 10

'

5

Silicon

'

4.2 & 10

'

6

Magnetic Susceptibilities of Some Paramagnetic
and Diamagnetic Substances at 300 K

Table 30.2

Magnetic permeability

A toroid wound with 60.0 turns/m of wire carries a current
of  5.00 A.  The  torus  is  iron,  which  has  a  magnetic  perme-
ability of #

m

"

5 000#

0

under the given conditions. Find H

and B inside the iron.

Solution Using Equations 30.31 and 30.33, we obtain

300 A(turns/m

"

H " nI " (60.0 turns/m)(5.00 A)

This  value  of  B is  5 000  times  the  value  in  the  absence
of iron!

1.88 T

"

"

5 000(4$ & 10

'

7

 T(m/A)(300 A(turns/m)

B " #

m

H " 5 000#

0

H

Example 30.10 An Iron-Filled Toroid