Physics For Scientists And Engineers 6E - part 193

SECTION 25.3 •  Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges

769

Figure 25.8 shows a plot of the electric potential on the vertical axis for a positive

charge located in the xy plane. Consider the following analogy to gravitational poten-
tial: imagine trying to roll a marble toward the top of a hill shaped like the surface in
Figure  25.8.  Pushing  the  marble  up  the  hill  is  analogous  to  pushing  one  positively
charged object toward another positively charged object. Similarly, the electric poten-
tial graph of the region surrounding a negative charge is analogous to a “hole’’ with
respect to any approaching positively charged objects. A charged object must be infi-
nitely distant from another charge before the surface in Figure 25.8 is “flat’’ and has an
electric potential of zero.

We obtain the electric potential resulting from two or more point charges by apply-

ing the superposition principle. That is, the total electric potential at some point P due
to several point charges is the sum of the potentials due to the individual charges. For
a group of point charges, we can write the total electric potential at P in the form

(25.12)

where the potential is again taken to be zero at infinity and r

i

is the distance from the

point P to the charge q

i

. Note that the sum in Equation 25.12 is an algebraic sum of

scalars rather than a vector sum (which we use to calculate the electric field of a group
of charges). Thus, it is often much easier to evaluate V than to evaluate 

E. The electric

potential  around  a  dipole  is  illustrated  in  Figure  25.9.  Notice  the  steep  slope  of  the
potential between the charges, representing a region of strong electric field.

V # k

e

  

 

&

i

 

 

q

i

r

i

y

x

2

1

0

Electric potential (V)

Figure 25.8 The electric potential in the

plane around a single positive charge is

plotted on the vertical axis. (The electric

potential function for a negative charge

would look like a hole instead of a hill.) The

red line shows the 1/r nature of the electric

potential, as given by Equation 25.11.

2

1

0

–1

–2

Electric potential (V)

Figure 25.9 The electric

potential in the plane

containing a dipole.

Electric potential due to several

point charges

We now consider the potential energy of a system of two charged particles. If V

2

is

the electric potential at a point P due to charge q

2

, then the work an external agent

must  do  to  bring  a  second  charge  q

1

from  infinity  to  P without  acceleration  is  q

1

V

2

.

This work represents a transfer of energy into the system and the energy appears in the
system  as  potential  energy  U when  the  particles  are  separated  by  a  distance  r

12

(Fig.

25.10a). Therefore, we can express the potential energy of the system as

2

(25.13)

Note that if the charges are of the same sign, U is positive. This is consistent with the
fact that positive work must be done by an external agent on the system to bring the
two charges near one another (because charges of the same sign repel). If the charges
are of opposite sign, U is negative; this means that negative work is done by an external
agent  against  the  attractive  force  between  the  charges  of  opposite  sign  as  they  are
brought  near  each  other—a  force  must  be  applied  opposite  to  the  displacement  to
prevent q

1

from accelerating toward q

2

.

In Figure 25.10b, we have removed the charge q

1

. At the position that this charge pre-

viously occupied, point P, we can use Equations 25.2 and 25.13 to define a potential due
to charge q

2

as V # U/q

1

#

k

e

q

2

/r

12

. This expression is consistent with Equation 25.11.

If the system consists of more than two charged particles, we can obtain the total

potential  energy  by  calculating  U for  every  pair  of  charges  and  summing  the  terms
algebraically. As an example, the total potential energy of the system of three charges
shown in Figure 25.11 is

(25.14)

Physically,  we  can  interpret  this  as  follows:  imagine  that  q

1

is  fixed  at  the  position

shown in Figure 25.11 but that q

2

and q

3

are at infinity. The work an external agent

must do to bring q

2

from infinity to its position near q

1

is k

e

q

1

q

2

/r

12

, which is the first

term  in  Equation  25.14.  The  last  two  terms  represent  the  work  required  to  bring  q

3

from infinity to its position near q

1

and q

2

. (The result is independent of the order in

which the charges are transported.)

U # k

e

  

 

'

q

 

1

 

q

  

2

r

 

12

)

q

 

1

 

q

 

3

r

 

13

)

q

 

2

 

q

 

3

r

  

23

(

U # k

e

  

 

q

 

1

 

q

 

2

r

 

12

770

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

Active Figure 25.10 (a) If two

point charges are separated by a

distance r

12

, the potential energy of

the pair of charges is given by

k

e

q

1

q

2

/r

12

. (b) If charge q

1

is

removed, a potential k

e

q

2

/r

12

exists

at point P due to charge q

2

.

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can

move charge q

1

or point P and

see the result on the electric po-

tential energy of the system for

part (a) and the electric poten-

tial due to charge q

2

for part (b).

2

The expression for the electric potential energy of a system made up of two point charges, Equa-

tion 25.13, is of the same form as the equation for the gravitational potential energy of a system made
up of two point masses, !Gm

1

m

2

/r (see Chapter 13). The similarity is not surprising in view of the fact

that both expressions are derived from an inverse-square force law.

▲

PITFALL PREVENTION 

25.5 Which Work?

There  is  a  difference  between
work  done  by  one  member  of  a
system on another member and work
done  on a  system  by  an  external
agent.  In  the  present  discussion,
we  are  considering  the  group  of
charges  to  be  the  system  and  an
external  agent  is  doing  work  on
the  system  to  move  the  charges
from  an  infinite  separation  to  a
small separation.

Figure 25.11 Three point charges

are fixed at the positions shown. The

potential energy of this system of

charges is given by Equation 25.14.

Quick  Quiz  25.5

A  spherical  balloon  contains  a  positively  charged

object at its  center.  As  the  balloon  is  inflated  to  a  greater  volume  while  the  charged
object remains at the center, does the electric potential at the surface of the balloon
(a) increase, (b) decrease, or (c) remain the same? Does the electric flux through the
surface of the balloon (d) increase, (e) decrease, or (f) remain the same?

Quick  Quiz  25.6

In Figure 25.10a, take  q

1

to be a negative source charge

and q

2

to be the test charge. If q

2

is initially positive and is changed to a charge of the

same magnitude but negative, the potential at the position of q

2

due to q

1

(a) increases

(b) decreases (c) remains the same.

Quick Quiz 25.7

Consider the situation in Quick Quiz 25.6 again. When q

2

is  changed  from  positive  to  negative,  the  potential  energy  of  the  two-charge  system
(a) increases (b) decreases (c) remains the same.

(a)

q

1

q

2

r

12

(b)

q

2

r

12

V = k

e

q

2

r

12

P

q

2

q

1

q

3

r

13

r

12

r

23

SECTION 25.3 •  Electric Potential and Potential Energy Due to Point Charges

771

Example 25.3 The Electric Potential Due to Two Point Charges

external  agent  to  remove  the  charge  from  point  P back  to
infinity.

What  If?

You  are  working  through  this  example  with  a

classmate  and  she  says,  “Wait  a  minute!  In  part  (B),  we  ig-
nored  the  potential  energy  associated  with  the  pair  of
charges q

1

and q

2

!’’ How would you respond?

Answer Given the statement of the problem, it is not nec-
essary to include this potential energy, because part (B) asks
for  the  change in  potential  energy  of  the  system  as  q

3

is

brought  in  from  infinity.  Because  the  configuration  of
charges q

1

and q

2

does not change in the process, there is

no  $U associated  with  these  charges.  However,  if  part  (B)
had asked to find the change in potential energy when all
three charges  start  out  infinitely  far  apart  and  are  then
brought to the positions in Figure 25.12b, we would need to
calculate the change as follows, using Equation 25.14:

# !

5.48 % 10

!

2

  J

)

(3.00 % 10

!

6

 C)(!6.00 % 10

!

6

 C)

5.00 m

(

 

 )

(2.00 % 10

!

6

 C)(3.00 % 10

!

6

 C)

4.00 m

%

 

'

(2.00 % 10

!

6

 C)(!6.00 % 10

!

6

 C)

3.00 m

 # (8.99 % 10

9

 N"m

2

/C

2

)

U # k

e

  

 

'

q

 

1

q

 

2

r

 

12

)

q

 

1

q

 

3

r

 

13

)

q

 

2

q

 

3

r

  

23

(

 

A charge q

1

#

2.00 +C is located at the origin, and a charge

q

2

# !

6.00 +C is located at (0, 3.00) m, as shown in Figure

25.12a.

(A)

Find the total electric potential due to these charges at

the point P, whose coordinates are (4.00, 0) m.

Solution For two charges, the sum in Equation 25.12 gives

(B)

Find  the  change  in  potential  energy  of  the  system  of

two charges plus a charge q

3

#

3.00 +C as the latter charge

moves from infinity to point P (Fig. 25.12b).

Solution When  the  charge  q

3

is  at  infinity,  let  us  define

U

i

#

0  for  the  system,  and  when  the  charge  is  at  P,

U

f

#

q

3

V

P

; therefore,

Therefore,  because  the  potential  energy  of  the  system  has
decreased,  positive  work  would  have  to  be  done  by  an

!

1.89 % 10

!

2

 J

#

$

U # q

 

3

V

P

!

0 # (3.00 % 10

!

6

 C)(!6.29 % 10

3

 V)

!

6.29 % 10

3

 

 

V

#

%

'

2.00 % 10

!

6

 C

4.00 m

!

6.00 % 10

!

6

 C

5.00 m

(

V

P

#

(8.99 % 10

9

 N"m

2

/C

2

)

V

P

#

k

e

 

 

'

q

 

1

r

 

1

)

q

 

2

r

 

2

(

Explore the value of the electric potential at point P and the electric potential energy of the system in Figure 25.12b at the
Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

(a)

4.00 m

x

–6.00 

  C

y

2.00 

  C

(b)

x

–6.00 

  C

y

2.00 

  C

3.00 

  C

P

3.00 m

3.00 m

4.00 m

µ

µ

µ

µ

µ

Figure 25.12 (Example 25.3) (a) The electric potential at P due to the two charges q

1

and q

2

is the algebraic sum of the potentials due to the individual charges. (b) A third

charge q

3

#

3.00

+

C is brought from infinity to a position near the other charges.

Interactive

25.4 Obtaining the Value of the Electric Field

from the Electric Potential

The electric field 

E and the electric potential V are related as shown in Equation 25.3.

We now show how to calculate the value of the electric field if the electric potential is
known in a certain region.

From Equation 25.3 we can express the potential difference dV between two points

a distance ds apart as

(25.15)

If the electric field has only one component E

x

, then 

E " ds # E

x

dx. Therefore, Equa-

tion 25.15 becomes dV # ! E

x

dx, or

(25.16)

That is, the x component of the electric field is equal to the negative of the derivative
of the electric potential with respect to x. Similar statements can be made about the y
and z components. Equation 25.16 is the mathematical statement of the fact that the
electric field is a measure of the rate of change with position of the electric potential,
as mentioned in Section 25.1.

Experimentally, electric potential and position can be measured easily with a volt-

meter  (see  Section  28.5)  and  a  meter  stick.  Consequently,  an  electric  field  can  be
determined  by  measuring  the  electric  potential  at  several  positions  in  the  field  and
making a graph of the results. According to Equation 25.16, the slope of a graph of V
versus x at a given point provides the magnitude of the electric field at that point.

When a test charge undergoes a displacement d

s along an equipotential surface, then

dV # 0 because the potential is constant along an equipotential surface. From Equation
25.15, we see that dV # !

E"ds # 0; thus, E must be perpendicular to the displacement

along  the  equipotential  surface.  This  shows  that  the 

equipotential  surfaces  must

always be perpendicular to the electric field lines passing through them.

As mentioned at the end of Section 25.2, the equipotential surfaces for a uniform

electric field consist of a family of planes perpendicular to the field lines. Figure 25.13a
shows some representative equipotential surfaces for this situation.

E

x

# !

dV

dx

dV # !

E"d

 

s

772

C H A P T E R   2 5 •  Electric Potential

(a)

E

(b)

(c)

+

Figure 25.13 Equipotential surfaces (the dashed blue lines are intersections of these

surfaces with the page) and electric field lines (red-brown lines) for (a) a uniform

electric field produced by an infinite sheet of charge, (b) a point charge, and (c) an

electric dipole. In all cases, the equipotential surfaces are perpendicular to the electric

field lines at every point.