Physics For Scientists And Engineers 6E - part 176

Problems

701

Carnot engine is

In  1816  Robert  Stirling,  a  Scottish  clergyman,

patented the Stirling engine, which has found a wide variety
of  applications  ever  since.  Fuel  is  burned  externally  to
warm one of the engine’s two cylinders. A fixed quantity of
inert gas moves cyclically between the cylinders, expanding
in  the  hot  one  and  contracting  in  the  cold  one.  Figure
P22.57  represents  a  model  for  its  thermodynamic  cycle.
Consider  n mol  of  an  ideal  monatomic  gas  being  taken
once  through  the  cycle,  consisting  of  two  isothermal
processes  at  temperatures  3T

i

and  T

i

and  two  constant-

volume  processes.  Determine,  in  terms  of  n,  R,  and  T

i

,

(a) the  net  energy  transferred  by  heat  to  the  gas  and
(b) the efficiency of the engine. A Stirling engine is easier
to  manufacture  than  an  internal  combustion  engine  or  a
turbine. It can run on burning garbage. It can run on the
energy of sunlight and produce no material exhaust.

57.

W

eng

!

mc(T

h

 

1/2

"

T

c

 

 

1/2

)

2

58.

An electric power plant has an overall efficiency of 15.0%.
The plant is to deliver 150 MW of power to a city, and its
turbines  use  coal  as  the  fuel.  The  burning  coal  produces
steam  that  drives  the  turbines.  This  steam  is  then  con-
densed  to  water  at  25.0°C  by  passing  it  through  cooling
coils in contact with river water. (a) How many metric tons
of  coal  does  the  plant  consume  each  day  (1  metric
ton ! 10

3

kg)?  (b)  What  is  the  total  cost  of  the  fuel  per

year  if  the  delivered  price  is  $8.00/metric  ton?  (c)  If  the
river  water  is  delivered  at  20.0°C,  at  what  minimum  rate
must it flow over the cooling coils in order that its temper-
ature not exceed 25.0°C? (Note: The heat of combustion of
coal is 33.0 kJ/g.)

59.

A  power  plant,  having  a  Carnot  efficiency,  produces
1 000 MW  of  electrical  power  from  turbines  that  take  in
steam at 500 K and reject water at 300 K into a flowing river.
The water downstream is 6.00 K warmer due to the output of
the power plant. Determine the flow rate of the river.

60.

A  power  plant,  having  a  Carnot  efficiency,  produces  elec-
tric power ! from turbines that take in energy from steam

at temperature T

h

and discharge energy at temperature T

c

through a heat exchanger into a flowing river. The water
downstream  is  warmer  by  %T due  to  the  output  of  the
power plant. Determine the flow rate of the river.

61.

An athlete whose mass is 70.0 kg drinks 16 oz (453.6 g) of
refrigerated water. The water is at a temperature of 35.0°F.
(a) Ignoring the temperature change of the body that re-
sults from the water intake (so that the body is regarded as
a reservoir always at 98.6°F), find the entropy increase of
the  entire  system.  (b)  What  If ?  Assume  that  the  entire
body  is  cooled  by  the  drink  and  that  the  average  specific
heat  of  a  person  is  equal  to  the  specific  heat  of  liquid
water. Ignoring any other energy transfers by heat and any
metabolic  energy  release,  find  the  athlete’s  temperature
after  she  drinks  the  cold  water,  given  an  initial  body
temperature  of  98.6°F.  Under  these  assumptions,  what  is
the  entropy  increase  of  the  entire  system?  Compare  this
result with the one you obtained in part (a).

62.

A  1.00-mol  sample  of  an  ideal  monatomic  gas  is  taken
through  the  cycle  shown  in  Figure  P22.62.  The  process
A : B is  a  reversible  isothermal  expansion.  Calculate
(a) the net work done by the gas, (b) the energy added to
the gas by heat, (c) the energy exhausted from the gas by
heat, and (d) the efficiency of the cycle.

63.

A biology laboratory is maintained at a constant tempera-
ture of 7.00°C by an air conditioner, which is vented to the
air  outside.  On  a  typical  hot  summer  day  the  outside
temperature is 27.0°C and the air conditioning unit emits
energy to the outside at a rate of 10.0 kW. Model the unit
as having a coefficient of performance equal to 40.0% of
the coefficient of performance of an ideal Carnot device.
(a)  At  what  rate  does  the  air  conditioner  remove  energy
from the laboratory? (b) Calculate the power required for
the work input. (c) Find the change in entropy produced
by  the  air  conditioner  in  1.00 h.  (d)  What  If ?  The 
outside  temperature  increases  to  32.0)C.  Find  the
fractional change in the coefficient of performance of the
air conditioner.

64.

A  1.00-mol  sample  of  an  ideal  gas  expands  isothermally,
doubling in volume. (a) Show that the work it does in ex-

Isothermal

processes

P

V

V

i

2V

i

T

i

3T

i

Figure P22.57

5

Isothermal

process

1

10

50

V(liters)

B

C

A

P(atm)

Figure P22.62

702

C H A P T E R   2 2     •     Heat Engines, Entropy, and the Second Law of Thermodynamics

panding  is  W ! RT ln 2.  (b)  Because  the  internal  energy
E

int

of an ideal gas depends solely on its temperature, the

change in internal energy is zero during the expansion. It
follows from the first law that the energy input to the gas
by heat during the expansion is equal to the energy output
by  work.  Why  does  this  conversion  not violate  the  second
law?
A  1.00-mol  sample  of  a  monatomic  ideal  gas  is  taken
through the cycle shown in Figure P22.65. At point A, the
pressure,  volume,  and  temperature  are  P

i

,  V

i

,  and  T

i

,

respectively. In terms of R and T

i

, find (a) the total energy

entering the system by heat per cycle, (b) the total energy
leaving  the  system  by  heat  per  cycle,  (c)  the  efficiency  of
an engine operating in this cycle, and (d) the efficiency of
an  engine  operating  in  a  Carnot  cycle  between  the  same
temperature extremes.

65.

An idealized diesel engine operates in a cycle known as the
air-standard  diesel  cycle, shown  in  Figure  22.14.  Fuel  is
sprayed  into  the  cylinder  at  the  point  of  maximum  com-
pression,  B. Combustion  occurs  during  the  expansion 
B : C, which is modeled as an isobaric process. Show that
the  efficiency  of  an  engine  operating  in  this  idealized
diesel cycle is

70.

A  1.00-mol  sample  of  an  ideal  gas  (* ! 1.40)  is  carried
through  the  Carnot  cycle  described  in  Figure  22.11.  At
point  A, the  pressure  is  25.0 atm  and  the  temperature  is
600 K. At point C, the pressure is 1.00 atm and the temper-
ature is 400 K. (a) Determine the pressures and volumes at
points A, B, C, and D. (b) Calculate the net work done per
cycle. (c) Determine the efficiency of an engine operating
in this cycle.

71.

Suppose 1.00 kg of water at 10.0°C is mixed with 1.00 kg of
water  at  30.0°C  at  constant  pressure.  When  the  mixture
has  reached  equilibrium,  (a)  what  is  the  final  tempera-
ture? (b) Take c

P

!

4.19 kJ/kg ( K for water and show that

the entropy of the system increases by

(c) Verify numerically that %S # 0. (d) Is the mixing an ir-
reversible process?

Answers to Quick Quizzes

22.1 (c). Equation 22.2 gives this result directly.
22.2 (b).  The  work  represents  one  third  of  the  input  energy.

The remainder, two thirds, must be expelled to the cold
reservoir.

22.3 (d). The COP of 4.00 for the heat pump means that you

are receiving four times as much energy as the energy en-
tering by electrical transmission. With four times as much
energy per unit of energy from electricity, you need only
one fourth as much electricity.

22.4 C, B, A. Although all three engines operate over a 300-K

temperature  difference,  the  efficiency  depends  on  the
ratio of temperatures, not the difference.

22.5 One microstate—all four deuces.
22.6 Six  microstates—club–diamond,  club–heart,  club–spade,

diamond–heart,  diamond–spade,  heart–spade.  The
macrostate of two aces is more probable than that of four
deuces in Quick Quiz 22.5 because there are six times as
many  microstates  for  this  particular  macrostate  com-
pared to the macrostate of four deuces. Thus, in a hand
of  poker,  two  of  a  kind  is  less  valuable  than  four  of  a
kind.

22.7 (b).  Because  the  process  is  reversible  and  adiabatic,

Q

r

!

0; therefore, %S ! 0.

%

S ! 4.19 ln 

'

"

293
283

#

 

"

293
303

#

(

 kJ/K

e ! 1 "

1
*

 

"

T

D

"

T

A

T

C

"

T

B

#

69.

P

B

C

A

D

V

V

i

2V

i

Q

4

Q

2

Q

1

Q

3

3P

i

2P

i

P

i

Figure P22.65

66.

A sample consisting of n mol of an ideal gas undergoes a
reversible  isobaric  expansion  from  volume  V

i

to  volume

3V

i

. Find the change in entropy of the gas by calculating

where dQ ! nC

P

dT.

A system consisting of n mol of an ideal gas undergoes two
reversible  processes.  It  starts  with  pressure  P

i

and  volume

V

i

,  expands  isothermally,  and  then  contracts  adiabatically

to  reach  a  final  state  with  pressure  P

i

and  volume  3V

i

. 

(a)  Find  its  change  in  entropy  in  the  isothermal  process.
The  entropy  does  not  change  in  the  adiabatic  process. 
(b) What If ? Explain why the answer to part (a) must be
the same as the answer to Problem 66.

68. Suppose you are working in a patent office, and an inven-

tor  comes  to  you  with  the  claim  that  her  heat  engine,
which  employs  water  as  a  working  substance,  has  a  ther-
modynamic  efficiency  of  0.61.  She  explains  that  it  oper-
ates between energy reservoirs at 4°C and 0°C. It is a very
complicated  device,  with  many  pistons,  gears,  and  pul-
leys,  and  the  cycle  involves  freezing  and  melting.  Does
her  claim  that  e ! 0.61  warrant  serious  consideration? 
Explain.

67.

%

f

i

 

dQ /T

22.8 (a). From the first law of thermodynamics, for these two

reversible  processes,  Q

r

! %

E

int

"

W.  During  the  con-

stant-volume  process,  W ! 0,  while  the  work  W is
nonzero  and  negative  during  the  constant-pressure
expansion.  Thus,  Q

r

is  larger  for  the  constant-pressure

process,  leading  to  a  larger  value  for  the  change  in
entropy.  In  terms  of  entropy  as  disorder,  during  the
constant-pressure  process,  the  gas  must  expand.  The
increase  in  volume  results  in  more  ways  of  locating  the

molecules of the gas in a container, resulting in a larger
increase in entropy.

22.9 False.  The  determining  factor  for  the  entropy  change  is

Q

r

,  not  Q.  If  the  adiabatic  process  is  not  reversible,  the

entropy  change  is  not  necessarily  zero  because  a  re-
versible path between the same initial and final states may
involve energy transfer by heat.

Problems

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