Physics For Scientists And Engineers 6E - part 106

421

M

atter is normally classified as being in one of three states: solid, liquid, or gas. From

everyday  experience,  we  know  that  a  solid  has  a  definite  volume  and  shape.  A  brick
maintains its familiar shape and size day in and day out. We also know that a liquid has
a definite volume but no definite shape. Finally, we know that an unconfined gas has
neither a definite volume nor a definite shape. These descriptions help us picture the
states of matter, but they are somewhat artificial. For example, asphalt and plastics are
normally considered solids, but over long periods of time they tend to flow like liquids.
Likewise, most substances can be a solid, a liquid, or a gas (or a combination of any of
these), depending on the temperature and pressure. In general, the time it takes a par-
ticular  substance  to  change  its  shape  in  response  to  an  external  force  determines
whether we treat the substance as a solid, a liquid, or a gas.

A 

fluid is a collection of molecules that are randomly arranged and held together

by weak cohesive forces and by forces exerted by the walls of a container. Both liquids
and gases are fluids.

In our treatment of the mechanics of fluids, we do not need to learn any new physi-

cal principles to explain such effects as the buoyant force acting on a submerged ob-
ject and the dynamic lift acting on an airplane wing. First, we consider the mechanics
of a fluid at rest—that is, fluid statics. We then treat the mechanics of fluids in motion—
that is, fluid dynamics. We can describe a fluid in motion by using a model that is based
upon certain simplifying assumptions.

14.1 Pressure

Fluids do not sustain shearing stresses or tensile stresses; thus, the only stress that can
be exerted on an object submerged in a static fluid is one that tends to compress the
object from all sides. In other words, the force exerted by a static fluid on an object is
always perpendicular to the surfaces of the object, as shown in Figure 14.1.

The pressure in a fluid can be measured with the device pictured in Figure 14.2.

The device consists of an evacuated cylinder that encloses a light piston connected to a
spring. As the device is submerged in a fluid, the fluid presses on the top of the piston
and compresses the spring until the inward force exerted by the fluid is balanced by
the outward force exerted by the spring. The fluid pressure can be measured directly if
the spring is calibrated in advance. If F is the magnitude of the force exerted on the
piston and A is the surface area of the piston, then the 

pressure P of the fluid at the

level to which the device has been submerged is defined as the ratio F/A:

(14.1)

Note that pressure is a scalar quantity because it is proportional to the magnitude of
the force on the piston.

If the pressure varies over an area, we can evaluate the infinitesimal force dF on an

infinitesimal surface element of area dA as

P 

! 

F

A

Figure 14.1 At any point on the

surface of a submerged object, the

force exerted by the fluid is per-

pendicular to the surface of the ob-

ject. The force exerted by the fluid

on the walls of the container is per-

pendicular to the walls at all points.

Definition of pressure

F

Vacuum

A

Figure 14.2 A simple device for

measuring the pressure exerted by

a fluid.

(14.2)

where P is the pressure at the location of the area dA. The pressure exerted by a fluid
varies with depth. Therefore, to calculate the total force exerted on a flat vertical wall
of a container, we must integrate Equation 14.2 over the surface area of the wall.

Because pressure is force per unit area, it has units of newtons per square meter

(N/m

2

) in the SI system. Another name for the SI unit of pressure is 

pascal (Pa):

(14.3)

1 Pa 

! 1 N/m

2

dF ! P

 

dA

422

C H A P T E R   1 4 •  Fluid Mechanics

▲

PITFALL PREVENTION

14.1 Force and Pressure

Equations  14.1  and  14.2  make  a
clear  distinction  between  force
and pressure. Another important
distinction  is  that  force  is  a  vector
and pressure is a scalar. There is no
direction  associated  with  pres-
sure,  but  the  direction  of  the
force associated with the pressure
is perpendicular to the surface of
interest.

Snowshoes keep you from sinking into soft snow

because they spread the downward force you exert

on the snow over a large area, reducing the pres-

sure on the snow surface.

Earl Y

oung/Getty Images

Quick  Quiz  14.1

Suppose  you  are  standing  directly  behind  someone  who

steps back and accidentally stomps on your foot with the heel of one shoe. Would you
be  better  off  if  that  person  were  (a)  a  large  professional  basketball  player  wearing
sneakers (b) a petite woman wearing spike-heeled shoes?

Example 14.1 The Water Bed

14.1, we find that

What If?

What if the water bed is replaced by a 300-lb ordi-

nary bed that is supported by four legs? Each leg has a circu-
lar cross section of radius 2.00 cm. What pressure does this
bed exert on the floor?

Answer The weight of the bed is distributed over four cir-
cular cross sections at the bottom of the legs. Thus, the pres-
sure is

Note  that  this  is  almost  100  times  larger  than  the  pressure
due to the water bed! This is because the weight of the ordi-
nary bed, even though it is much less than the weight of the
water  bed,  is  applied  over  the  very  small  area  of  the  four
legs. The high pressure on the floor at the feet of an ordi-
nary  bed  could  cause  denting  of  wood  floors  or  perma-
nently crush carpet pile. In contrast, a water bed requires a
sturdy floor to support the very large weight.

 ! 2.65 " 10

5

 Pa

P !

F

A

!

mg

4(#r

2

)

!

300 lb

4#(0.0200 m)

2

 

"

1 N

0.225 lb

#

2.95 " 10

3

 Pa

P !

1.18 " 10

4

 N

4.00 m

2

!

The mattress of a water bed is 2.00 m long by 2.00 m wide
and 30.0 cm deep.

(A)

Find the weight of the water in the mattress.

Solution The  density  of  fresh  water  is  1  000 kg/m

3

(see

Table 14.1 on page 423), and the volume of the water filling
the  mattress  is  V ! (2.00 m)(2.00 m)(0.300 m) ! 1.20 m

3

.

Hence, using Equation 1.1, the mass of the water in the bed is

and its weight is

This  is  approximately  2 650 lb.  (A  regular  bed  weighs  ap-
proximately 300 lb.) Because this load is so great, such a wa-
ter bed is best placed in the basement or on a sturdy, well-
supported floor.

(B)

Find  the  pressure  exerted  by  the  water  on  the  floor

when the bed rests in its normal position. Assume that the
entire  lower  surface  of  the  bed  makes  contact  with  the
floor.

Solution When the bed is in its normal position, the area
in  contact  with  the  floor  is  4.00 m

2

;  thus,  from  Equation

1.18 " 10

4

 N

Mg ! (1.20 " 10

3 

kg)(9.80 m/s

2

) !

M ! $V ! (1 000 kg/m

3

)(1.20 m

3

) ! 1.20 " 10

3

 kg

14.2 Variation of Pressure with Depth

As divers well know, water pressure increases with depth. Likewise, atmospheric pres-
sure decreases with increasing altitude; for this reason, aircraft flying at high altitudes
must have pressurized cabins.

We now show how the pressure in a liquid increases with depth. As Equation 1.1 de-

scribes, the density of a substance is defined as its mass per unit volume; Table 14.1 lists
the densities of various substances. These values vary slightly with temperature because
the volume of a substance is temperature-dependent (as shown in Chapter 19). Under
standard  conditions  (at  0°C  and  at  atmospheric  pressure)  the  densities  of  gases  are
about 1/1 000 the densities of solids and liquids. This difference in densities implies
that the average molecular spacing in a gas under these conditions is about ten times
greater than that in a solid or liquid.

Now consider a liquid of density $ at rest as shown in Figure 14.3. We assume that $

is uniform throughout the liquid; this means that the liquid is incompressible. Let us
select a sample of the liquid contained within an imaginary cylinder of cross-sectional
area A extending from depth d to depth d % h. The liquid external to our sample ex-
erts forces at all points on the surface of the sample, perpendicular to the surface. The
pressure exerted by the liquid on the bottom face of the sample is P, and the pressure
on the top face is P

0

. Therefore, the upward force exerted by the outside fluid on the

bottom of the cylinder has a magnitude PA, and the downward force exerted on the
top has a magnitude P

0

A. The mass of liquid in the cylinder is M ! $V ! $Ah; there-

fore, the weight of the liquid in the cylinder is Mg ! $Ahg. Because the cylinder is in
equilibrium, the net force acting on it must be zero. Choosing upward to be the posi-
tive y direction, we see that

or

(14.4)

That is, 

the pressure P at a depth h below a point in the liquid at which the pres-

sure is P

0

is greater by an amount !gh. If the liquid is open to the atmosphere and P

0

P ! P

0

%

$

gh

PA & P

0

A ! $Ahg

PA & P

0

A & $Ahg ! 0

$

 

F ! PA jˆ & P

0

A

jˆ & M g jˆ ! 0

S E C T I O N   1 4 . 2 •  Variation of Pressure with Depth

423

Mg

PAj

–P

0

Aj

d

d + h

ˆ

ˆ

Figure 14.3 A parcel of fluid

(darker region) in a larger volume

of fluid is singled out. The net

force exerted on the parcel of

fluid must be zero because it is in

equilibrium.

Variation of pressure with depth

Substance

!

(kg/m

3

)

Substance

!

(kg/m

3

)

Air

1.29

Ice

0.917

"

10

3

Aluminum

2.70

"

10

3

Iron

7.86

"

10

3

Benzene

0.879

"

10

3

Lead

11.3

"

10

3

Copper

8.92

"

10

3

Mercury

13.6

"

10

3

Ethyl alcohol

0.806

"

10

3

Oak

0.710

"

10

3

Fresh water

1.00

"

10

3

Oxygen gas

1.43

Glycerin

1.26

"

10

3

Pine

0.373

"

10

3

Gold

19.3

"

10

3

Platinum

21.4

"

10

3

Helium gas

1.79

"

10

&

1

Seawater

1.03

"

10

3

Hydrogen gas

8.99

"

10

&

2

Silver

10.5

"

10

3

Densities of Some Common Substances at Standard
Temperature (0°C) and Pressure (Atmospheric)

Table 14.1

is the pressure at the surface of the liquid, then P

0

is atmospheric pressure. In our calcula-

tions  and  working  of  end-of-chapter  problems,  we  usually  take  atmospheric  pressure
to be

Equation 14.4 implies that the pressure is the same at all points having the same depth,
independent of the shape of the container.

In view of the fact that the pressure in a fluid depends on depth and on the value

of P

0

, any increase in pressure at the surface must be transmitted to every other point

in  the  fluid.  This  concept  was  first  recognized  by  the  French  scientist  Blaise  Pascal
(1623–1662) and is called 

Pascal’s law: a change in the pressure applied to a fluid

is transmitted undiminished to every point of the fluid and to the walls of the
container.

An important application of Pascal’s law is the hydraulic press illustrated in Figure

14.4a. A force of magnitude F

1

is applied to a small piston of surface area A

1

. The pres-

sure is transmitted through an incompressible liquid to a larger piston of surface area
A

2

. Because the pressure must be the same on both sides, P ! F

1

/A

1

!

F

2

/A

2

. There-

fore,  the  force  F

2

is  greater  than  the  force  F

1

by  a  factor  A

2

/A

1

.  By  designing  a  hy-

draulic press with appropriate areas A

1

and A

2

, a large output force can be applied by

means of a small input force. Hydraulic brakes, car lifts, hydraulic jacks, and forklifts
all make use of this principle (Fig. 14.4b).

Because liquid is neither added nor removed from the system, the volume of liquid

pushed down on the left in Figure 14.4a as the piston moves downward through a dis-
placement 'x

1

equals the volume of liquid pushed up on the right as the right piston

moves  upward  through  a  displacement  'x

2

.  That  is,  A

1

'

x

1

!

A

2

'

x

2

;  thus,  A

2

/A

1

!

'

x

1

/'x

2

.  We  have  already  shown  that  A

2

/A

1

!

F

2

/F

1

.  Thus,  F

2

/F

1

! '

x

1

/'x

2

,  so 

F

1

'

x

1

!

F

2

'

x

2

.  Each  side  of  this  equation  is  the  work  done  by  the  force.  Thus,  the

work done by 

F

1

on the input piston equals the work done by 

F

2

on the output piston,

as it must in order to conserve energy.

P

0

!

1.00 atm ! 1.013 " 10

5

 Pa

424

C H A P T E R   1 4 •  Fluid Mechanics

F

1

F

2

A

2

A

1

∆x

1

∆x

2

(a)

(b)

Figure 14.4 (a) Diagram of a hydraulic press. Because the increase in pressure is the

same on the two sides, a small force 

F

l

at the left produces a much greater force 

F

2

at

the right. (b) A vehicle undergoing repair is supported by a hydraulic lift in a garage. 

David Frazier

Pascal’s law