Physics For Scientists And Engineers 6E - part 13

Problems

49

1. The  speed  of  sound  in  air  is  331 m/s.  During  the  next

thunderstorm,  try  to  estimate  your  distance  from  a  light-
ning bolt by measuring the time lag between the flash and
the thunderclap. You can ignore the time it takes for the
light flash to reach you. Why?

2. The  average  velocity  of  a  particle  moving  in  one  dimen-

sion  has  a  positive  value.  Is  it  possible  for  the  instanta-
neous velocity to have been negative at any time in the in-
terval? Suppose the particle started at the origin x ! 0. If
its average velocity is positive, could the particle ever have
been in the # x region of the axis?

If the average velocity of an object is zero in some time in-
terval, what can you say about the displacement of the ob-
ject for that interval?

4. Can the instantaneous velocity of an object at an instant of

time ever be greater in magnitude than the average veloc-
ity over a time interval containing the instant? Can it ever
be less?

5. If  an  object’s  average  velocity  is  nonzero  over  some  time

interval,  does  this  mean  that  its  instantaneous  velocity  is
never zero during the interval? Explain your answer.

6. If an object’s average velocity is zero over some time inter-

val,  show  that  its  instantaneous  velocity  must  be  zero  at
some  time  during  the  interval.  It  may  be  useful  in  your
proof to sketch a graph of x versus t and to note that v

x

(t )

is a continuous function.

7. If the velocity of a particle is nonzero, can its acceleration

be zero? Explain.

8. If the velocity of a particle is zero, can its acceleration be

nonzero? Explain.

Two cars are moving in the same direction in parallel lanes
along a highway. At some instant, the velocity of car A ex-
ceeds the velocity of car B. Does this mean that the acceler-
ation of A is greater than that of B? Explain.

10. Is it possible for the velocity and the acceleration of an ob-

ject to have opposite signs? If not, state a proof. If so, give
an example of such a situation and sketch a velocity–time
graph to prove your point.

Consider  the  following  combinations  of  signs  and  values
for velocity and acceleration of a particle with respect to a
one-dimensional x axis:

11.

9.

3.

Velocity

Acceleration

a. Positive

Positive

b. Positive

Negative

c. Positive

Zero

d. Negative

Positive

e. Negative

Negative

f. Negative

Zero

g. Zero

Positive

h. Zero

Negative

Describe  what  a  particle  is  doing  in  each  case,  and  give  a
real life example for an automobile on an east-west one-di-
mensional axis, with east considered the positive direction.

12. Can the equations of kinematics (Eqs. 2.9–2.13) be used in

a situation where the acceleration varies in time? Can they
be used when the acceleration is zero?

13. A  stone  is  thrown  vertically  upward  from  the  roof  of  a

building. Does the position of the stone depend on the lo-
cation  chosen  for  the  origin  of  the  coordinate  system?
Does the stone’s velocity depend on the choice of origin?
Explain your answers.

14. A child throws a marble into the air with an initial speed v

i

.

Another  child  drops  a  ball  at  the  same  instant.  Compare
the accelerations of the two objects while they are in flight. 

A student at the top of a building of height h throws one ball
upward  with  a  speed  of  v

i

and  then  throws  a  second  ball

downward with the same initial speed, v

i

. How do the final

velocities of the balls compare when they reach the ground?

16. An  object  falls  freely  from  height  h.  It  is  released  at  time

zero and strikes the ground at time t. (a) When the object
is at height 0.5h, is the time earlier than 0.5t, equal to 0.5t,
or later than 0.5t? (b) When the time is 0.5t, is the height
of the object greater than 0.5h, equal to 0.5h, or less than
0.5h? Give reasons for your answers.

17. You drop a ball from a window on an upper floor of a build-

ing. It strikes the ground with speed v. You now repeat the
drop, but you have a friend down on the street who throws
another ball upward at speed v. Your friend throws the ball
upward at exactly the same time that you drop yours from
the window. At some location, the balls pass each other. Is
this  location  at the  halfway  point  between  window  and
ground, above this point, or below this point?

15.

Q U E S T I O N S

Section 2.1 Position, Velocity, and Speed

1.

The position of a pinewood derby car was observed at vari-
ous  times;  the  results  are  summarized  in  the  following
table. Find the average velocity of the car for (a) the first

second, (b) the last 3 s, and (c) the entire period of obser-
vation.
t(s)

0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

x(m)

0

2.3

9.2

20.7

36.8

57.5

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging    

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com 

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

50

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

2. (a) Sand dunes in a desert move over time as sand is swept

up the windward side to settle in the lee side. Such “walk-
ing” dunes have been known to walk 20 feet in a year and
can  travel  as  much  as  100  feet  per  year  in  particularly
windy  times.  Calculate  the  average  speed  in  each  case  in
m/s.  (b)  Fingernails  grow  at  the  rate  of  drifting  conti-
nents, on the order of 10 mm/yr. Approximately how long
did it take for North America to separate from Europe, a
distance of about 3 000 mi?
The  position  versus  time  for  a  certain  particle  moving
along the x axis is shown in Figure P2.3. Find the average
velocity  in  the  time  intervals  (a)  0  to  2 s,  (b)  0  to  4 s,
(c) 2 s to 4 s, (d) 4 s to 7 s, (e) 0 to 8 s.

3.

4.

A particle moves according to the equation x ! 10t

2

where

x is in meters and t is in seconds. (a) Find the average veloc-
ity for the time interval from 2.00 s to 3.00 s. (b) Find the
average velocity for the time interval from 2.00 to 2.10 s. 
A person walks first at a constant speed of 5.00 m/s along
a  straight  line  from  point  A to  point  B and  then  back
along the line from B to A at a constant speed of 3.00 m/s.
What is (a) her average speed over the entire trip? (b) her
average velocity over the entire trip?

Section 2.2 Instantaneous Velocity and Speed

6. The position of a particle moving along the x axis varies in

time according to the expression x ! 3t

2

, where x is in me-

ters and t is in seconds. Evaluate its position (a) at t ! 3.00 s
and (b) at 3.00 s % $t. (c) Evaluate the limit of $x/$t as $t
approaches zero, to find the velocity at t ! 3.00 s.

A position-time graph for a particle moving along the

x axis is shown in Figure P2.7. (a) Find the average veloc-
ity in the time interval t ! 1.50 s to t ! 4.00 s. (b) Deter-
mine the instantaneous velocity at t ! 2.00 s by measuring
the  slope  of  the  tangent  line  shown  in  the  graph.  (c)  At
what value of t is the velocity zero?

8.

(a) Use the data in Problem 1 to construct a smooth graph
of position versus time. (b) By constructing tangents to the
x(t) curve, find the instantaneous velocity of the car at sev-
eral instants. (c) Plot the instantaneous velocity versus time
and,  from  this,  determine  the  average  acceleration  of  the
car. (d) What was the initial velocity of the car?

7.

5.

9.

Find  the  instantaneous  velocity  of  the  particle  described
in  Figure  P2.3  at  the  following  times:  (a)  t ! 1.0  s,
(b) t ! 3.0 s, (c) t ! 4.5 s, and (d) t ! 7.5 s.

10.

A  hare  and  a  tortoise  compete  in  a  race  over  a  course
1.00 km long. The tortoise crawls straight and steadily at
its  maximum  speed  of  0.200 m/s  toward  the  finish  line.
The hare runs at its maximum speed of 8.00 m/s toward
the goal for 0.800 km and then stops to tease the tortoise.
How  close  to  the  goal  can  the  hare  let  the  tortoise  ap-
proach before resuming the race, which the tortoise wins
in  a  photo  finish?  Assume  that,  when  moving,  both  ani-
mals move steadily at their respective maximum speeds.

Section 2.3 Acceleration

11. A  50.0-g  superball  traveling  at  25.0 m/s  bounces  off  a 

brick wall and rebounds at 22.0 m/s. A high-speed camera
records this event. If the ball is in contact with the wall for
3.50 ms, what is the magnitude of the average acceleration
of the ball during this time interval? (Note: 1 ms ! 10

#

3

s.)

12.

A  particle  starts  from  rest  and  accelerates  as  shown  in
Figure P2.12.  Determine  (a)  the  particle’s  speed  at  t !
10.0 s  and  at  t ! 20.0 s,  and  (b)  the  distance  traveled  in
the first 20.0 s.

1

2

3

4

5 6

7

8

t(s)

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

10

x(m)

10

12

6

8

2

4

0

t(s)

x(m)

1

2

3

4

5

6

2

a

x

(m/s

2

)

0

1

–3

–2

5

10

15

20

t(s)

–1

Figure P2.3 Problems 3 and 9

Figure P2.12

Figure P2.7

Problems

51

13. Secretariat won the Kentucky Derby with times for succes-

sive  quarter-mile  segments  of  25.2 s,  24.0 s,  23.8 s,  and
23.0 s. (a) Find his average speed during each quarter-mile
segment.  (b)  Assuming  that  Secretariat’s  instantaneous
speed at the finish line was the same as the average speed
during the final quarter mile, find his average acceleration
for the entire race. (Horses in the Derby start from rest.)

14. A  velocity–time  graph  for  an  object  moving  along  the  x

axis is shown in Figure P2.14. (a) Plot a graph of the accel-
eration  versus  time.  (b)  Determine  the  average  accelera-
tion  of  the  object  in  the  time  intervals  t ! 5.00 s  to
t ! 15.0 s and t ! 0 to t ! 20.0 s.

A  particle  moves  along  the  x axis  according  to  the

equation  x ! 2.00 % 3.00t # 1.00t

2

,  where  x is  in  meters

and t is in seconds. At t ! 3.00 s, find (a) the position of
the particle, (b) its velocity, and (c) its acceleration.

16.

An object moves along the x axis according to the equation
x(t) ! (3.00t

2

#

2.00t % 3.00) m.  Determine  (a)  the  aver-

age speed between t ! 2.00 s and t ! 3.00 s, (b) the instan-
taneous speed at t ! 2.00 s and at t ! 3.00 s, (c) the aver-
age acceleration between t ! 2.00 s and t ! 3.00 s, and (d)
the instantaneous acceleration at t ! 2.00 s and t ! 3.00 s.

17. Figure P2.17 shows a graph of v

x

versus t for the motion of

a  motorcyclist  as  he  starts  from  rest  and  moves  along  the
road  in  a  straight  line.  (a)  Find  the  average  acceleration
for  the  time  interval  t ! 0  to  t ! 6.00 s.  (b)  Estimate  the
time  at  which  the  acceleration  has  its  greatest  positive
value  and  the  value  of  the  acceleration  at  that  instant.
(c) When is the acceleration zero? (d) Estimate the maxi-
mum  negative  value  of  the  acceleration  and  the  time  at
which it occurs.

15.

Section 2.4 Motion Diagrams

18. Draw  motion  diagrams  for  (a)  an  object  moving  to  the

right at constant speed, (b) an object moving to the right
and speeding up at a constant rate, (c) an object moving
to the right and slowing down at a constant rate, (d) an ob-
ject moving to the left and speeding up at a constant rate,
and (e) an object moving to the left and slowing down at a
constant rate. (f) How would your drawings change if the
changes  in  speed  were  not  uniform;  that  is,  if  the  speed
were not changing at a constant rate?

Section 2.5 One-Dimensional Motion with Constant

Acceleration

19. Jules Verne in 1865 suggested sending people to the Moon

by firing a space capsule from a 220-m-long cannon with a
launch  speed  of  10.97 km/s.  What  would  have  been  the
unrealistically large acceleration experienced by the space
travelers  during  launch?  Compare  your  answer  with  the
free-fall acceleration 9.80 m/s

2

.

20. A  truck  covers  40.0 m  in  8.50 s  while  smoothly  slowing

down  to  a  final  speed  of  2.80 m/s.  (a)  Find  its  original
speed. (b) Find its acceleration.

An  object  moving  with  uniform  acceleration  has  a 

velocity of 12.0 cm/s in the positive x direction when its x
coordinate  is  3.00 cm.  If  its  x coordinate  2.00 s  later  is
#

5.00 cm, what is its acceleration?

22. A 745i BMW car can brake to a stop in a distance of 121 ft.

from  a  speed  of  60.0 mi/h.  To  brake  to  a  stop  from  a
speed of 80.0 mi/h requires a stopping distance of 211 ft.
What  is  the  average  braking  acceleration  for  (a)  60 mi/h
to  rest,  (b)  80 mi/h  to  rest,  (c)  80 mi/h  to  60 mi/h?  Ex-
press the answers in mi/h/s and in m/s

2

.

23. A speedboat moving at 30.0 m/s approaches a no-wake buoy

marker  100 m  ahead.  The  pilot  slows  the  boat  with  a  con-
stant  acceleration  of  # 3.50 m/s

2

by  reducing  the  throttle.

(a)  How  long  does  it  take  the  boat  to  reach  the  buoy?
(b) What is the velocity of the boat when it reaches the buoy? 

24.

Figure P2.24 represents part of the performance data of a
car owned by a proud physics student. (a) Calculate from
the  graph  the  total  distance  traveled.  (b)  What  distance
does the car travel between the times t ! 10 s and t ! 40 s?
(c)  Draw  a  graph  of  its  acceleration  versus  time  between
t ! 0 and t ! 50 s. (d) Write an equation for x as a func-
tion of time for each phase of the motion, represented by
(i) 0a,  (ii)  ab,  (iii)  bc.  (e)  What  is  the  average  velocity  of
the car between t ! 0 and t ! 50 s?

21.

5

t(s)

6

8

2

4

–4

–2

–8

–6

10

15

20

v

x

(m/s)

0

2

4

6

10

8

12

t(s)

2

4

6

8

10

v

x

(m/s)

t(s)

v

x

(m/s)

a

b

c

50

40

30

20

10

0

10

20

30

40

50

Figure P2.14

Figure P2.17

Figure P2.24

25.

A particle moves along the x axis. Its position is given by the
equation x ! 2 % 3t # 4t

2

with x in meters and t in seconds.

Determine  (a)  its  position  when  it  changes  direction  and
(b) its velocity when it returns to the position it had at t ! 0.

26.

In the Daytona 500 auto race, a Ford Thunderbird and a
Mercedes  Benz  are  moving  side  by  side  down  a  straight-
away  at  71.5 m/s.  The  driver  of  the  Thunderbird  realizes
he must make a pit stop, and he smoothly slows to a stop
over a distance of 250 m. He spends 5.00 s in the pit and
then  accelerates  out,  reaching  his  previous  speed  of
71.5 m/s after a distance of 350 m. At this point, how far
has  the  Thunderbird  fallen  behind  the  Mercedes  Benz,
which has continued at a constant speed?
A jet plane lands with a speed of 100 m/s and can acceler-
ate at a maximum rate of # 5.00 m/s

2

as it comes to rest.

(a) From the instant the plane touches the runway, what is
the minimum time interval needed before it can come to
rest? (b) Can this plane land on a small tropical island air-
port where the runway is 0.800 km long?

28.

A  car  is  approaching  a  hill  at  30.0 m/s  when  its  engine
suddenly fails just at the bottom of the hill. The car moves
with a constant acceleration of # 2.00 m/s

2

while coasting

up the hill. (a) Write equations for the position along the
slope and for the velocity as functions of time, taking x ! 0
at the bottom of the hill, where v

i

!

30.0 m/s. (b) Deter-

mine the maximum distance the car rolls up the hill. 

29.

The driver of a car slams on the brakes when he sees a tree
blocking the road. The car slows uniformly with an acceler-
ation of # 5.60 m/s

2

for 4.20 s, making straight skid marks

62.4 m long ending at the tree. With what speed does the
car then strike the tree?

30.

Help!  One  of  our  equations  is  missing! We  describe  constant-
acceleration  motion  with  the  variables  and  parameters  v

xi

,

v

xf

, a

x

, t , and x

f

#

x

i

. Of the equations in Table 2.2, the first

does  not  involve  x

f

#

x

i

.  The  second  does  not  contain  a

x

;

the third omits v

xf

and the last leaves out t. So to complete

the set there should be an equation not involving v

xi

. Derive

it from the others. Use it to solve Problem 29 in one step.

For  many  years  Colonel  John  P.  Stapp,  USAF,  held  the
world’s land speed record. On March 19, 1954, he rode a
rocket-propelled sled that moved down a track at a speed
of 632 mi/h. He and the sled were safely brought to rest in
1.40 s  (Fig.  P2.31).  Determine  (a)  the  negative  accelera-
tion he experienced and (b) the distance he traveled dur-
ing this negative acceleration.

31.

27.

32. A  truck  on  a  straight  road  starts  from  rest,  accelerating  at

2.00 m/s

2

until  it  reaches  a  speed  of  20.0 m/s.  Then  the

truck travels for 20.0 s at constant speed until the brakes are
applied, stopping the truck in a uniform manner in an addi-
tional 5.00 s. (a) How long is the truck in motion? (b) What
is the average velocity of the truck for the motion described?

33. An electron in a cathode ray tube (CRT) accelerates from

2.00 " 10

4

m/s to 6.00 " 10

6

m/s over 1.50 cm. (a) How

long  does  the  electron  take  to  travel  this  1.50 cm?
(b) What is its acceleration?

34. In  a  100-m  linear  accelerator,  an  electron  is  accelerated  to

1.00%  of  the  speed  of  light  in  40.0 m  before  it  coasts  for 
60.0 m to a target. (a) What is the electron’s acceleration dur-
ing the first 40.0 m? (b) How long does the total flight take?

35.

Within a complex machine such as a robotic assembly line,
suppose  that  one  particular  part  glides  along  a  straight
track. A control system measures the average velocity of the
part  during  each  successive  interval  of  time  $t

0

!

t

0

#

0,

compares  it  with  the  value  v

c

it  should  be,  and  switches  a

servo motor on and off to give the part a correcting pulse
of  acceleration.  The  pulse  consists  of  a  constant  accelera-
tion  a

m

applied  for  time  interval  $t

m

!

t

m

#

0  within  the

next control time interval $t

0

. As shown in Fig. P2.35, the

part may be modeled as having zero acceleration when the
motor is off (between t

m

and t

0

). A computer in the control

system chooses the size of the acceleration so that the final
velocity  of  the  part  will  have  the  correct  value  v

c

.  Assume

the part is initially at rest and is to have instantaneous veloc-
ity v

c

at time t

0

. (a) Find the required value of a

m

in terms

of v

c

and t

m

. (b) Show that the displacement $x of the part

during the time interval $t

0

is given by $x ! v

c

(t

0

#

0.5t

m

).

For specified values of v

c

and t

0

, (c) what is the minimum

displacement  of  the  part?  (d)  What  is  the  maximum  dis-
placement  of  the  part?  (e)  Are  both  the  minimum  and
maximum displacements physically attainable?

52

C H A P T E R   2     •     Motion in One Dimension

t

a

0

t

0

a

m

t

m

Figure P2.31 (Left) Col. John Stapp on rocket sled. (Right) Col. Stapp’s face is contorted by the

stress of rapid negative acceleration.

Figure P2.35

Courtesy U.S. Air Force

Photri, Inc.