Physics For Scientists And Engineers 6E - part 3

is to act as a “glue” that holds the nucleus together. If neutrons were not present in the
nucleus, the repulsive force between the positively charged particles would cause the
nucleus to come apart.

But is this where the process of breaking down stops? Protons, neutrons, and a host

of  other  exotic  particles  are  now  known  to  be  composed  of  six  different  varieties  of
particles called 

quarks, which have been given the names of up, down, strange, charmed,

bottom, and top. The up, charmed, and top quarks have electric charges of 

that of

the proton, whereas the down, strange, and bottom quarks have charges of 

that

of the proton. The proton consists of two up quarks and one down quark, as shown at
the top in Figure 1.2. You can easily show that this structure predicts the correct charge
for the proton. Likewise, the neutron consists of two down quarks and one up quark,
giving a net charge of zero.

This  process  of  building  models  is  one  that  you  should  develop  as  you  study

physics.  You  will  be  challenged  with  many  mathematical  problems  to  solve  in
this study. One of the most important techniques is to build a model for the prob-
lem—identify  a  system  of  physical  components  for  the  problem,  and  make  predic-
tions  of  the  behavior  of  the  system  based  on  the  interactions  among  the  compo-
nents of the system and/or the interaction between the system and its surrounding
environment.

1.3 Density and Atomic Mass

In Section 1.1, we explored three basic quantities in mechanics. Let us look now at an
example of a derived quantity—

density. The density & (Greek letter rho) of any sub-

stance is defined as its mass per unit volume:

(1.1)

For  example,  aluminum  has  a  density  of  2.70 g/cm

3

,  and  lead  has  a  density  of

11.3 g/cm

3

. Therefore, a piece of aluminum of volume 10.0 cm

3

has a mass of 27.0 g,

whereas an equivalent volume of lead has a mass of 113 g. A list of densities for various
substances is given in Table 1.5.

The numbers of protons and neutrons in the nucleus of an atom of an element are re-

lated to the 

atomic mass of the element, which is defined as the mass of a single atom of

the element measured in 

atomic mass units (u) where 1 u $ 1.660 538 7 ! 10

"

27

kg.

&

 

$ 

m
V

"

1

3

'

2

3

S E C T I O N   1 . 3     •     Density and Atomic Mass

9

A table of the letters in the

Greek alphabet is provided on

the back endsheet of the

textbook.

Substance

Density 

!

(10

3 

kg/m

3

)

Platinum

21.45

Gold

19.3

Uranium

18.7

Lead

11.3

Copper

8.92

Iron

7.86

Aluminum

2.70

Magnesium

1.75

Water

1.00

Air at atmospheric pressure

0.0012

Densities of Various Substances

Table 1.5

The atomic mass of lead is 207 u and that of aluminum is 27.0 u. However, the ratio of
atomic  masses,  207 u/27.0  u $ 7.67,  does  not  correspond  to  the  ratio  of  densities,
(11.3 ! 10

3

kg/m

3

)/(2.70 ! 10

3

kg/m

3

) $ 4.19.  This  discrepancy  is  due  to  the  differ-

ence  in  atomic  spacings  and  atomic  arrangements  in  the  crystal  structures  of  the  two
elements.

1.4 Dimensional Analysis

The word dimension has a special meaning in physics. It denotes the physical nature of
a quantity. Whether a distance is measured in units of feet or meters or fathoms, it is
still a distance. We say its dimension is length.

The  symbols  we  use  in  this  book  to  specify  the  dimensions  of  length,  mass,  and

time are L, M, and T, respectively.

3

We shall often use brackets [ ] to denote the dimen-

sions of a physical quantity. For example, the symbol we use for speed in this book is v,
and in our notation the dimensions of speed are written [v] $ L/T. As another exam-
ple, the dimensions of area A are [A] $ L

2

. The dimensions and units of area, volume,

speed,  and  acceleration  are  listed  in  Table  1.6.  The  dimensions  of  other  quantities,
such as force and energy, will be described as they are introduced in the text.

In many situations, you may have to derive or check a specific equation. A useful

and powerful procedure called dimensional analysis can be used to assist in the deriva-
tion or to check your final expression. Dimensional analysis makes use of the fact that

10

C H A P T E R   1     •     Physics and Measurement

Quick  Quiz  1.1

In  a  machine  shop,  two  cams  are  produced,  one  of  alu-

minum and one of iron. Both cams have the same mass. Which cam is larger? (a) the
aluminum cam (b) the iron cam (c) Both cams have the same size.

Example 1.1 How Many Atoms in the Cube?

:

m

sample

m

27.0 g

$

N

sample

N

27.0 g

▲

PITFALL PREVENTION

1.3 Setting Up Ratios

When  using  ratios  to  solve  a
problem, keep in mind that ratios
come  from  equations.  If  you  start
from equations known to be cor-
rect and can divide one equation
by the other as in Example 1.1 to
obtain  a  useful  ratio,  you  will
avoid  reasoning  errors.  So  write
the known equations first!

3

The  dimensions of  a  quantity  will  be  symbolized  by  a  capitalized,  non-italic  letter,  such  as  L.  The

symbol for the quantity itself will be italicized, such as L for the length of an object, or t for time.

write  this  relationship  twice,  once  for  the  actual  sample  of
aluminum in the problem and once for a 27.0-g sample, and
then we divide the first equation by the second: 

Notice that the unknown proportionality constant k cancels,
so we do not need to know its value. We now substitute the
values:

$

1.20 ! 10

22

 atoms

N

sample

$

(0.540 g)(6.02 ! 10

23

 atoms)

27.0 g

0.540 g

27.0 g

$

N

sample

6.02 ! 10

23

 atoms

m

27.0 g  

$

kN

27.0 g

m

sample 

$

kN

sample

A  solid  cube  of  aluminum  (density  2.70  g/cm

3

)  has  a  vol-

ume of 0.200 cm

3

. It is known that 27.0 g of aluminum con-

tains  6.02 ! 10

23

atoms.  How  many  aluminum  atoms  are

contained in the cube?

Solution Because density equals mass per unit volume, the
mass of the cube is

To solve this problem, we will set up a ratio based on the fact
that the mass of a sample of material is proportional to the
number  of  atoms  contained  in  the  sample.  This  technique
of  solving  by  ratios  is  very  powerful  and  should  be  studied
and understood so that it can be applied in future problem
solving. Let us express our proportionality as m $ kN, where
m is the mass of the sample, N is the number of atoms in the
sample,  and  k is  an  unknown  proportionality  constant.  We

m $ &V $ (2.70 g/cm

3

)(0.200 cm

3

) $ 0.540 g

dimensions can be treated as algebraic quantities. For example, quantities can be
added or subtracted only if they have the same dimensions. Furthermore, the terms on
both sides of an equation must have the same dimensions. By following these simple
rules, you can use dimensional analysis to help determine whether an expression has
the correct form. The relationship can be correct only if the dimensions on both sides
of the equation are the same. 

To illustrate this procedure, suppose you wish to derive an equation for the posi-

tion x of a car at a time t if the car starts from rest and moves with constant accelera-
tion a. In Chapter 2, we shall find that the correct expression is x $ at

2

. Let us use

dimensional  analysis  to  check  the  validity  of  this  expression.  The  quantity  x on  the
left side has the dimension of length. For the equation to be dimensionally correct,
the quantity on the right side must also have the dimension of length. We can per-
form  a  dimensional  check  by  substituting  the  dimensions  for  acceleration,  L/T

2

(Table  1.6),  and  time,  T,  into  the  equation.  That  is,  the  dimensional  form  of  the
equation 

is

The dimensions of time cancel as shown, leaving the dimension of length on the right-
hand side. 

A more general procedure using dimensional analysis is to set up an expression of

the form

where n and m are exponents that must be determined and the symbol ( indicates a
proportionality. This relationship is correct only if the dimensions of both sides are the
same. Because the dimension of the left side is length, the dimension of the right side
must also be length. That is,

[a

n

t

m

] $ L $ L

1

T

0

Because the dimensions of acceleration are L/T

2

and the dimension of time is T, we have

(L/T

2

)

n

T

m

$

L

1

T

0

(L

n

T

m "2n

) $ L

1

T

0

The exponents of L and T must be the same on both sides of the equation. From the
exponents of L, we see immediately that n $ 1. From the exponents of T, we see that
m " 2n $ 0, which, once we substitute for n, gives us m $ 2. Returning to our original
expression x ( a

n

t

m

, we conclude that x ( at

2

. This result differs by a factor of  from

the correct expression, which is 

.

x $

1

2

 at

2

1

2

x ( a

n

t

m

L $

L

T

2

 )

 

T

2

$

L

x $

1

2

 at

2

1

2 

S E C T I O N   1 . 4     •   Dimensional Analysis

11

Area

Volume

Speed

Acceleration

System

(L

2

)

(L

3

)

(L/T)

(L/T

2

)

SI

m

2

m

3

m/s

m/s

2

U.S. customary

ft

2

ft

3

ft/s

ft/s

2

Units of Area, Volume, Velocity, Speed, and Acceleration

Table 1.6

▲

PITFALL PREVENTION

1.4 Symbols for 

Quantities

Some  quantities  have  a  small
number  of  symbols  that  repre-
sent them. For example, the sym-
bol  for  time  is  almost  always  t.
Others quantities might have var-
ious  symbols  depending  on  the
usage.  Length  may  be  described
with  symbols  such  as  x, y, and  z
(for position), r (for radius), a, b,
and  c (for  the  legs  of  a  right  tri-
angle),  ! (for  the  length  of  an
object), d (for a distance), h (for
a height), etc.

Quick Quiz 1.2

True or False: Dimensional analysis can give you the numeri-

cal value of constants of proportionality that may appear in an algebraic expression.

1.5 Conversion of Units

Sometimes it is necessary to convert units from one measurement system to another, or
to convert within a system, for example, from kilometers to meters. Equalities between
SI and U.S. customary units of length are as follows:

1 mile $ 1 609 m $ 1.609 km

1 ft $ 0.304 8 m $ 30.48 cm

1 m $ 39.37 in. $ 3.281 ft

1 in. $ 0.025 4 m $ 2.54 cm (exactly)

A more complete list of conversion factors can be found in Appendix A.

Units can be treated as algebraic quantities that can cancel each other. For exam-

ple, suppose we wish to convert 15.0 in. to centimeters. Because 1 in. is defined as ex-
actly 2.54 cm, we find that

where the ratio in parentheses is equal to 1. Notice that we choose to put the unit of an
inch in the denominator and it cancels with the unit in the original quantity. The re-
maining unit is the centimeter, which is our desired result.

15.0 in. $ (15.0 in.)

!

2.54 cm

1 in.

"

$

38.1 cm

12

C H A P T E R   1     •     Physics and Measurement

Example 1.2 Analysis of an Equation

Show  that  the  expression  v $ at is  dimensionally  correct,
where v represents speed, a acceleration, and t an instant of
time.

Solution For the speed term, we have from Table 1.6

[v] $

L
T

The same table gives us L/T

2

for the dimensions of accelera-

tion, and so the dimensions of at are 

Therefore,  the  expression  is  dimensionally  correct.  (If  the
expression were given as v $ at

2

it would be dimensionally

incorrect. Try it and see!)

[at] $

L

T

2

 T $

L
T

Example 1.3 Analysis of a Power Law

Suppose  we  are  told  that  the  acceleration  a of  a  particle
moving  with  uniform  speed  v in  a  circle  of  radius  r is  pro-
portional to some power of r, say r

n

, and some power of v,

say v

m

. Determine the values of n and m and write the sim-

plest form of an equation for the acceleration.

Solution Let us take a to be

a $ kr

n

v

m

where  k is  a  dimensionless  constant  of  proportionality.
Knowing  the  dimensions  of  a,  r, and  v, we  see  that  the  di-
mensional equation must be

L

T

2

$

L

n 

!

L
T

"

m

$

L

n'm

T

m

Quick Quiz 1.3

The distance between two cities is 100 mi. The number of kilo-

meters between the two cities is (a) smaller than 100 (b) larger than 100 (c) equal to 100.

▲

PITFALL PREVENTION

1.5 Always Include Units

When  performing  calculations,
include the units for every quan-
tity  and  carry  the  units  through
the  entire  calculation.  Avoid  the
temptation  to  drop  the  units
early  and  then  attach  the  ex-
pected  units  once  you  have  an
answer. By including the units in
every  step,  you  can  detect  errors
if  the  units  for  the  answer  turn
out to be incorrect.

This dimensional equation is balanced under the conditions

n ' m $

and

m $

Therefore  n $ " 1,  and  we  can  write  the  acceleration  ex-
pression as

When we discuss uniform circular motion later, we shall see
that k $ 1 if a consistent set of units is used. The constant k
would not equal 1 if, for example, v were in km/h and you
wanted a in m/s

2

.

k 

v

2

r

a $ kr

"

1

v

2

$

2

1