DIN-Normen - Teil 241

gleich den Ha¨ufigkeiten (relativ oder absolut) der betreffenden Einzelwerte sind (s. Bild 981.2). Die
Summentreppe zeigt, wie viele oder wie viel Prozent der Einzelwerte kleiner als ein gewa¨hlter Wert
oder ihm gleich sind. Im Bild 981.2 sind z. B. 40 % der Werte kleiner oder gleich 411.

Bei gro¨ßerem Stichprobenumfang (n gro¨ßer 30) ist ein Zusammenfassen von Einzelwerten in Klassen
sinnvoll. Dabei sind die Klassengrenzen so festzulegen, dass jeder Einzelwert eindeutig zu einer Klas-
se geho¨rt (s. hierzu Tab. 981.3 als Zahlenbeispiel fu¨r klassierte Einzelwerte).

Werden u¨ber den Klassen Rechtecke mit den absoluten Ha¨ufigkeiten n

j

oder den relativen Ha¨ufigkei-

ten h

j

als Ho¨hen aufgetragen, dann entsteht eine grafische Darstellung der Ha¨ufigkeitsverteilung (Hi-

stogramm). Dies liefert anschauliche Hinweise auf die Form der Verteilung (Symmetrie, Ausreißer
usw.). In Bild 982.1 sind die klassierten Einzelwerte der Tab. 981.3 als Histogramm dargestellt. Die An-
zahl n der Messwerte ist stets anzugeben. Eine andere grafische Darstellung stellt die Summenlinie
dar. Sie entsteht, wenn die Summen der Ha¨ufigkeiten (relativ F

j

oder absolut G

j

) u¨ber den oberen

Klassengrenzen x

–

j

aufgetragen und die Punkte durch Strecken verbunden werden (s. Bild 982.2).

An der Summenlinie kann abgelesen werden, wie viele Einzelwerte kleiner oder gleich einem vorgegebenen Wert sind.

Kennwerte von Stichproben

Der arithmetische Mittelwert

xx ist die Summe der Einzelwerte x

j

der Stichprobe geteilt durch ihre Anzahl n.

xx ¼

1

n

ðx

1

þ x

2

þ . . . þ x

n

Þ ¼

1

n

P

n

i

¼1

x

i

Der arithmetische Mittelwert ist ein Kennwert zur Charakterisierung der mittleren Lage der Einzelwerte einer Stichprobe.

Die Varianz s

2

einer Stichprobe ist die Summe der Quadrate der Abweichungen der Einzelwerte vom arithmetischen

Mittelwert dividiert durch die Zahl der Freiheitsgrade f

¼ n  1.

s

2

¼

1

n

 1

P

n

i

¼1

ðx

i



xxÞ

2

Die Standardabweichung der Stichprobe ist die positive Wurzel aus der Varianz:

s

¼

ffiffiffiffiffi

s

2

p

Die Standardabweichung ist ein Maß fu¨r die Streuung der Einzelwerte x

i

um den Wert

xx.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem gro¨ßten und dem kleinsten Einzelwert der Stichprobe:

R

n

¼ x

max

 x

min

¼ x

ðnÞ

 x

ð1Þ

Varianz, Standardabweichung und Spannweite sind Kennwerte zur Charakterisierung der Streuung der Einzelwerte der
Stichprobe.

Testen auf Normalverteilung

Einfach und anschaulich kann die Voraussetzung der Normalverteilung durch die grafische Darstel-
lung der Summenlinie im Wahrscheinlichkeitsnetz u¨berpru¨ft werden. Dieses Netz hat eine derart ver-
zerrte Koordinatenteilung, dass die Summenlinie eines normal verteilten Merkmals eine Gerade ist.
Ergeben die Summen der Ha¨ufigkeiten im Wahrscheinlichkeitsnetz aufgetragen na¨herungsweise eine
Gerade, dann darf auf eine Normalverteilung der Einzelwerte geschlossen werden (s. Bild 983.1).

Bild 982.1

Histogramm fu¨r die klassierten Einzelwerte
der Tab. 981.3

Bild 982.2

Summenlinie fu¨r die klassierten Einzelwerte
der Tab. 981.3

21

Qualita¨tsmanagement, Statistik und Messtechnik

982

Vertrauensbereiche fu¨r Parameter der Normalverteilung

Die Kennwerte

xx, s

2

, s und auch der Variationskoeffizi-

ent v, auf den hier nicht na¨her eingegangen werden
kann, dienen als Scha¨tzwerte fu¨r die entsprechenden
Parameter, Erwartungswert

m, Varianz s

2

, Standardab-

weichung

s, Variationskoeffizient g der Wahrschein-

lichkeitsverteilung des Merkmals in der Gesamtheit.
Da ein Scha¨tzwert im Allgemeinen von dem zu scha¨t-
zenden Parameter mehr oder weniger abweicht, wird
außer dem Scha¨tzwert auch noch ein Vertrauens-
bereich fu¨r den Parameter angegeben, der mit Hilfe
von Kennwerten der Stichprobe berechnet wird. Die-
ser Bereich einschließlich seiner Grenzen, der oberen
und unteren Vertrauensgrenze, schließt den unbe-
kannten Parameter mit einer vorgegebenen Wahr-
scheinlichkeit, dem Vertrauensniveau 1

– ein. Das Ver-

trauensniveau

ist

nach

technischen

und

wirtschaftlichen Gesichtspunkten vor Beginn der Un-
tersuchung

festzulegen.

Gebra¨uchlich

sind

Werte

1

a ¼ 0,95 und 1  a ¼ 0,99.

Der Vertrauensbereich fu¨r den Erwartungswert

m wird

bei unbekannter Standardabweichung

s aus Mittel-

wert

xx und Standardabweichung s einer Stichprobe

vom Umfang n berechnet. Bei zweiseitiger Abgren-
zung gilt auf dem Vertrauensniveau 1

 a:

xx  W  m 
xx þ W

wobei

W

¼ t

f;1

 a=2

s

ffiffiffi

n

p

W ist der Abstand der Vertrauensgrenzen vom Mittelwert der Stichprobe. Der Vertrauensbereich hat
demnach die Weite 2 W. Der Zahlenfaktor t

f

;1

a
2

ist fu¨r das Vertrauensniveau 1

 a ¼ 0,95 in Tab. 983.2

zweiseitige Abgrenzung, in Abha¨ngigkeit von der Zahl der Freiheitsgrade f

¼ n  1 aufgefu¨hrt.

Mit der Standardabweichung s einer Stichprobe von n-Einzelwerten lassen sich Vertrauensgrenzen
angeben, die die Standardabweichung

s auf vorgegebenem Vertrauensniveau 1

 a einschließen:

Fu¨r das Vertrauensniveau 1

 a ¼ 0,95, zweiseitige Abgrenzung, gelten die Faktoren c

u

und

c

o

nach

Tab. 983.3.

21

Tabelle 983.2

Tabellenwerte der t-Verteilung fu¨r das
Vertrauensniveau 1

 a ¼ 0,95

f

zweiseitige
Abgrenzung
t

f; 0,975

einseitige
Abgrenzung
t

f, 0,95

2

4,30

2,92

3

3,18

2,35

4

2,78

2,13

5

2,57

2,02

6

2,45

1,94

7

2,36

1,89

8

2,31

1,86

9

2,26

1,83

10

2,23

1,81

12

2,18

1,78

14

2,14

1,76

16

2,12

1,75

18

2,10

1,73

20

2,09

1,72

25

2,06

1,71

30

2,04

1,70

50

2,01

1,68

100

1,98

1,66

500

1,96

1,65

Tabelle

983.3

c-Faktoren

fu¨r

das

Vertrauensniveau

1

 a ¼ 0,95

n

c

u

c

o

3

0,52

6,28

4

0,57

3,73

5

0,60

2,87

6

0,62

2,45

8

0,66

2,04

10

0,69

1,83

12

0,71

1,70

15

0,73

1,58

20

0,76

1,46

30

0,80

1,34

50

0,84

1,25

100

0,88

1,16

200

0,91

1,11

500

0,94

1,07

1000

0,96

1,05

5000

0,98

1,02

Bild 983.1

Summen der Ha¨ufigkeit und Na¨herungs-
gerade

21.2

Statistik

983

Die Norm beschreibt außerdem ausfu¨hrlich das Testen von Erwartungswerten und Varianzen bei Nor-
malverteilung und die Behandlung von ausreißerverda¨chtigen Einzelwerten auf der Grundlage ver-
schiedener Ausreißertests (Dixon und Grubbs). Außerdem sind in einem Anhang Beispiele angege-
ben, die das Versta¨ndnis des Norminhaltes verdeutlichen und vertiefen sollen.

DIN 53804-2 beschreibt statistische Verfahren, mit denen Za¨hlwerte (Anzahl von Vorkommnissen, z. B.
Unfa¨lle, Fadenbru¨che) aufbereitet und die Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung, hier der Para-
meter der Poisson-Verteilung, gescha¨tzt und getestet werden ko¨nnen.

DIN 53804-3 behandelt Ordinalmerkmale, deren Werte auf einer diskontinuierlichen Skale (Ordinalskale)
liegen. Diese hat zwar eine eindeutig festgelegte Ordnung (z. B. die ordnungssteigende Auspra¨gung),
jedoch keine definierten Absta¨nde zwischen den Skalenwerten. Die Ordinalskale hat keinen Nullpunkt
und unterscheidet sich damit wesentlich von den Skalen fu¨r za¨hlbare und messbare Merkmale.

DIN 53804-4 befasst sich mit Attributmerkmalen. Die Auspra¨gungen (Werte, Attribute) eines Attribut-
merkmals werden auf einer Nominalskale dargestellt. Jede Einheit einer Grundgesamtheit hat genau
eine Auspra¨gung des Merkmals.

Die Eigenschaften des Merkmals werden durch die Anteile (relative Ha¨ufigkeiten) beschrieben, mit
denen die einzelnen Auspra¨gungen in der Grundgesamtheit vorkommen.

Ha¨ufig interessiert man sich nur fu¨r eine bestimmte Auspra¨gung und deren Anteil in der Grundgesamt-
heit. DIN 53804-4 beschreibt statistische Verfahren mit denen die Anzahl x der Einheiten mit der be-
trachteten Auspra¨gung des Attributmerkmals unter n untersuchten Einheiten aufbereitet werden kann.
Weiterhin werden Scha¨tzungen und Tests des Anteils der Einheiten mit der betrachteten Auspra¨gung
des Attributmerkmals in der Grundgesamtheit behandelt. Methodisch beruhen diese Verfahren auf
der Binominalverteilung.

21.3

Messtechnik

Der Begriff „ M e s s t e c h n i k “ ( M e t r o l o g i e ) wird in DIN-Normen nicht allgemein definiert. In
der Richtlinie VDI/VDE 2600 ist Messtechnik der Wissensbereich (Bereich der Kenntnisse und Erfah-
rungen), der sich auf Messungen bezieht. Es wird unterschieden in

– t h e o r e t i s c h e M e s s t e c h n i k als Zweig der Messtechnik, der sich mit den theoretischen Grund-

lagen und der theoretischen Systematik des Messens befasst, und

– der a n g e w a n d t e n M e s s t e c h n i k als Zweig der Messtechnik, der sich mit ihrer Anwendung

auf bestimmte Messprobleme und mit der Ausfu¨hrung von Messungen bescha¨ftigt. In der indu-
striellen Anwendung ist die Messtechnik ein wesentliches Element der Qualita¨tssicherung.

DIN 1319-1

Grundlagen der Messtechnik – Teil 1: Grundbegriffe (Jan 1995)

In dieser Norm sind allgemeine Grundbegriffe der Metrologie definiert und beschrieben. Die in der
Norm enthaltenen Begriffe gelten unabha¨ngig von der zu messenden Gro¨ße fu¨r alle Bereiche der
Messtechnik. Spezielle und weiter gehende Festlegungen bleiben den besonderen Normen oder
Richtlinien fu¨r die unterschiedlichen Anwendungsbereiche vorbehalten.

Den Definitionen sind eine Vielzahl Anmerkungen und Beispiele zugeordnet (hier nicht wiedergegeben).

Messgro¨ße. Physikalische Gro¨ße, der die Messung gilt.

Messobjekt. Tra¨ger der Messgro¨ße.

Wahrer Wert (einer Messgro¨ße). Wert der Messgro¨ße als Ziel der Auswertung von Messungen der
Messgro¨ße.

Richtiger Wert (einer Messgro¨ße). Bekannter Wert fu¨r Vergleichszwecke, dessen Abweichung vom
wahren Wert fu¨r den Vergleichszweck als vernachla¨ssigbar betrachtet wird.

Messung (Messen einer Messgro¨ße). Ausfu¨hren von geplanten Ta¨tigkeiten zum quantitativen Ver-
gleich der Messgro¨ße mit einer Einheit.

Dynamische Messung. Messung, wobei die Messgro¨ße entweder zeitlich vera¨nderlich ist, oder ihr
Wert sich abha¨ngig vom gewa¨hlten Messprinzip wesentlich aus zeitlichen nderungen anderer Gro¨-
ßen ergibt.

Statische Messung. Messung, wobei eine zeitlich unvera¨nderliche Messgro¨ße nach einem Messprin-
zip gemessen wird, das nicht auf der zeitlichen nderung anderer Gro¨ßen beruht.

Za¨hlen. Ermitteln des Wertes der Messgro¨ße „Anzahl der Elemente einer Menge“.

21

Qualita¨tsmanagement, Statistik und Messtechnik

984

Pru¨fung. Feststellen, inwieweit ein Pru¨fobjekt eine Forderung erfu¨llt.

Klassierung. Zuordnen der Elemente einer Menge zu festgelegten Klassen von Merkmalswerten.

Messprinzip. Physikalische Grundlage der Messung.

Messmethode. Spezielle, vom Messprinzip unabha¨ngige Art des Vorgehens bei der Messung.

Messverfahren. Praktische Anwendung eines Messprinzips und einer Messmethode.

Einflussgro¨ße. Gro¨ße, die nicht Gegenstand der Messung ist, jedoch die Messgro¨ße oder die Ausga-
be beeinflusst.

Messsignal. Gro¨ße in einem Messgera¨t oder einer Messeinrichtung, die der Messgro¨ße eindeutig zu-
geordnet ist.

Wiederholbedingungen. Bedingungen, unter denen wiederholt einzelne Messwerte fu¨r dieselbe spe-
zielle Messgro¨ße unabha¨ngig voneinander so gewonnen werden, dass die systematische Messabwei-
chung fu¨r jeden Messwert die gleiche bleibt.

Erweiterte Vergleichbedingungen. Bedingungen, unter denen eine Gesamtheit unabha¨ngiger Messer-
gebnisse fu¨r dieselbe spezielle Messgro¨ße so gewonnen wird, dass durch Vergleich Unterschiede der
systematischen Messabweichungen erkennbar werden.

Ausgabe. Durch ein Messgera¨t oder eine Messeinrichtung bereitgestellte und in einer vorgesehenen
Form ausgegebene Information u¨ber den Wert einer Messgro¨ße.

Messwert. Wert, der zur Messgro¨ße geho¨rt und der Ausgabe eines Messgera¨tes oder einer Messein-
richtung eindeutig zugeordnet ist.

Erwartungswert. Wert, der zur Messgro¨ße geho¨rt und dem sich das arithmetische Mittel der Mess-
werte der Messgro¨ße mit steigender Anzahl der Messwerte na¨hert, die aus Einzelmessungen unter
denselben Bedingungen gewonnen werden ko¨nnen.

Messergebnis. Aus Messungen gewonnener Scha¨tzwert fu¨r den wahren Wert einer Messgro¨ße.

Unberechtigtes Messergebnis. Aus Messungen gewonnener Scha¨tzwert fu¨r den Erfahrungswert.

Berichtigen. Beseitigen der im unberechtigten Messergebnis enthaltenen bekannten systematischen
Messabweichung.

Korrektion. Wert, der nach algebraischer Addition zum unberichtigten Messergebnis oder zum Mess-
wert die bekannte systematische Messabweichung ausgleicht.

Messabweichung. Abweichung eines aus Messungen gewonnenen und der Messgro¨ße zugeordneten
Wertes vom wahren Wert.

Zufa¨llige Messabweichung. Abweichung des unberechtigten Messergebnisses vom Erwartungswert.

Systematische Messabweichung. Abweichung des Erwartungswertes vom wahren Wert.

Messunsicherheit. Kennwert, der aus Messungen gewonnen wird und zusammen mit dem Messer-
gebnis zur Kennzeichnung eines Wertebereiches fu¨r den wahren Wert der Messgro¨ße dient.

Relative Messunsicherheit. Messunsicherheit, bezogen auf den Betrag des Messergebnisses.

Wiederholstandardabweichung. Standardabweichung von Messwerten unter Wiederholbedingungen.

Vergleichstandardabweichung. Standardabweichung von Messergebnissen unter erweiterten Ver-
gleichsbedingungen.

Vollsta¨ndiges Messergebnis. Messergebnis mit quantitativen Angaben zur Genauigkeit der Messung.

Messgera¨t. Gera¨t, das allein oder in Verbindung mit anderen Einrichtungen fu¨r die Messung einer
Messgro¨ße vorgesehen ist.

Messeinrichtung. Gesamtheit aller Messgera¨te und zusa¨tzlicher Einrichtungen zur Erzielung eines
Messergebnisses.

Messkette. Folge von Elementen eines Messgera¨tes oder einer Messeinrichtung, die den Weg des
Messsignals von der Aufnahme der Messgro¨ße bis zur Bereitstellung der Ausgabe bildet.

(Messgro¨ßen-) Aufnehmer. Teil eines Messgera¨tes oder einer Messeinrichtung, der auf eine Messgro¨-
ße unmittelbar anspricht.

Maßverko¨rperung. Gera¨t, das einen oder mehrere feste Werte einer Gro¨ße darstellt oder liefert.

Referenzmaterial. Material oder Substanz mit Merkmalen, deren Werte fu¨r den Zweck der Kalibrie-
rung, der Beurteilung eines Messverfahrens oder der quantitativen Ermittlung von Materialeigen-
schaften ausreichend festliegen.

Normal. Messgera¨t, Messeinrichtung oder Referenzmaterial, die den Zweck haben, eine Einheit oder
einen oder mehrere bekannte Werte einer Gro¨ße darzustellen, zu bewahren oder zu reproduzieren,
um diese an andere Messgera¨te durch Vergleich weiterzugeben.

21

21.3

Messtechnik

985