Главная Учебники - Разные ПРОВЕДЕНИЕ ОЛИМПИАДЫ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ В 2018/2019 ГОДУ
поиск по сайту правообладателям
|
|
содержание .. 2 3 4
49 9.5. В клетках доски 7 7 стоят лжецы и рыцари (в каждой клетке – по одному человеку). Лжецы всегда лгут, а рыцари всегда говорят правду. Каждый сказал: «В соседних со мной клетках нет рыцарей». Клетки считаются соседними, если у них есть хотя бы одна общая вершина. Какое наименьшее число рыцарей могло стоять на доске?
10 класс 10.1. Числа ,100 1,2,3, разбили на 50 пар, и числа в каждой паре сложили. Какое наибольшее количество из этих пятидесяти сумм может делиться на 20? 10.2. Ненулевые числа c b a , , образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Докажите, что уравнение 0 = 2 2 2 c bx ax имеет два решения. 10.3. Можно ли какое-нибудь число вида 00001 10000 представить в виде ! ! ! z y x , где x , y , z – натуральные числа? (Как обычно, через ! n обозначается произведение n 3 2 1 .) 10.4. Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается стороны AB в точке K , а стороны AC – в точке T . На меньшей дуге TK выбрана точка P . Прямая, проходящая через точку K параллельно прямой AP , вторично пересекает окружность в точке N . Найдите PK , если известно, что a AP = и b KN = . 10.5. Вася придумал новый корабль для морского боя – «боевой бублик» . Этот корабль состоит из всех клеток квадрата 3 3 , кроме его центральной клетки. На поле 8 8
разместили один боевой бублик. Какое минимальное число выстрелов нужно сделать, чтобы гарантированно его ранить?
11 класс 11.1 . Найдите все значения параметра a , для которых найдётся такое число , что числа sin и cos 2 являются различными корнями уравнения 0 = 1 2 ax x . 11.2. По итогам волейбольного турнира, проведенного в один круг (т. е. каждая команда сыграла с каждой одну игру), оказалось, что первые три команды выиграли у каждой из остальных команд, а сумма очков, набранных первыми тремя командами, на 3 больше, чем сумма очков, набранных остальными командами. Сколько всего команд участвовало в турнире, если известно, что их больше трех? (За победу в игре дается 1 очко, за поражение – 0; ничьих в волейболе не бывает.) 11.3. Положительные числа x и y , меньшие 1/2 , удовлетворяют неравенству x y x y > 2 2 . Докажите, что они удовлетворяют и неравенству x y x y > 3 3 . |