содержание .. 91 92 93 94 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 93
Задание №2163
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 139. Точка E – середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=34,75 Ответ: 34,75
Задание №2022
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 70, основание равно 84 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=2352 Подствавим значения и найдём полупериметр P=112 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=2352/112=21
Ответ: 21
Задание №2742
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 25, 66, 88. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=25+66+88=179 Ответ: 179
Задание №2997
Площадь треугольника АВС равна 146. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=109,5 Ответ: 109,5
Задание №5739
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 79, периметр P= 329 . Рассчитайте длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=85,5 Ответ: 85,5
Задание №5656
В треугольнике ABC BC=90, AC=56, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=20 Ответ: 20
Задание №1355
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 36, BC=11, CD=80. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=36+80-11=105 Ответ: 105
Задание №5632
Площадь параллелограмма ABCD равна 143. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=107,25 Ответ: 107,25
Задание №4005
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 27 и 8, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=8 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=70+16=86 Ответ: 86
Задание №2006
Основания равнобедренной трапеции равны 56 и 42. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 35. Центр окружности лежит внутри трапеции. Необходимо найти высоту трапеции
Решение
Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=28 HO=21 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=28+21=49 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 49
Задание №2044
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 63, большая боковая сторона равна 28 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 1,75 Ответ: 1,75
Задание №4216
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 68, CD= 56 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 248 Ответ: 248
Задание №4401
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 62. Найдите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 62 / 4 = 15,5 Ответ: 15,5
Задание №1239
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 21° и 121°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 21 градусов равен 180-21=159 градусов угол противоположный углу 121 градусов равен 180-121=59 градусов Больший из неизвестных углов 159 градусов Ответ: 159
Задание №2090
Основания равнобедренной трапеции равны 108 и 18. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=75 Ответ: 75
Задание №2721
У трапеции, описанной около окружности, боковые стороны равны 22 и 12 . Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 34 / 2 = 17 Ответ: 17
Задание №1164
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 18+9√2 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=9 Ответ: 9
Задание №5545
Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=66,5 Ответ: 66,5
Задание №5256
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №1337
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 486. Вычислите диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =486 / 6 = 81 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*81=162 Ответ: 162
содержание .. 91 92 93 94 ..