содержание .. 70 71 72 73 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 72
Задание №3393
Угол между соседними двумя сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 156°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=156 180*n – 360 = 156 * n n=15 Ответ: 15
Задание №3173
Около окружности описана прямоугольная трапеция, периметр которой равен 103, большая боковая сторона равна 47 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2,25 Ответ: 2,25
Задание №3533
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 59. Рассчитайте длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 59 / 4 = 14,75 Ответ: 14,75
Задание №4635
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона AB= 78, CD= 66 . Вычислите периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 288 Ответ: 288
Задание №1439
Боковые стороны в равнобедренном треугольнике равны 55, основание равно 66 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=1452 Подствавим значения и найдём полупериметр P=88 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=1452/88=16,5
Ответ: 16,5
Задание №4825
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 21 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=56+14=70 Ответ: 70
Задание №4268
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 27 и 14. Вычислите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 41 / 2 = 20,5 Ответ: 20,5
Задание №3660
Дан четырехугольник ABCD. В него вписана окружность, AB= 24, BC=8, CD=59. Вычислите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=24+59-8=75 Ответ: 75
Задание №3273
Дан треугольник ABC. Стороны AC=9, BC=12, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=3 Ответ: 3
Задание №4063
Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Точка E – середина стороны CD. Вычислите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25 Ответ: 33,25
Задание №4841
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, периметр = 229, стророна AB= 53 . Вычислите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=61,5 Ответ: 61,5
Задание №5621
Дана равнобедренненная трапеция. Её основания равны 288 и 48. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=200 Ответ: 200
Задание №1888
Катеты прямоугольного равнобедренного треугольника равны 42+21√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=21 Ответ: 21
Задание №5248
Площадь параллелограмма ABCD равна 155. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=77,5 Ответ: 77,5
Задание №4494
Основания равнобедренной трапеции равны 40 и 48. Вокруг трапеции описана окружность. Радиус окружности равен 25. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=7 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+7=22 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 22
Задание №3689
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 23, 60, 83. Рассчитайте периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=23+60+83=166 Ответ: 166
Задание №5828
Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 40° и 108°. Вычислите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
Cумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 40 градусов равен 180-40=140 градусов угол противоположный углу 108 градусов равен 180-108=72 градусов Больший из неизвестных углов 140 градусов Ответ: 140
Задание №5367
Площадь треугольника АВС равна 144. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=108 Ответ: 108
Задание №3773
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 468. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =468 / 6 = 78 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*78=156 Ответ: 156
Задание №2845
Площадь параллелограмма ABCD равна 135. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=101,25 Ответ: 101,25
содержание .. 70 71 72 73 ..