|
|
содержание .. 55 56 57 58 ..
Задание №5580 Площадь параллелограмма ABCD равна 133. Середина стороны CD - точка E. Вычислите площадь треугольника ADE Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=33,25 Ответ: 33,25
Задание №5697
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 114, ее большая боковая сторона равна 55 . Вычислите радиус окружности Решение Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD R = 1 Ответ: 1
Задание №5915
Окружность вписана в четырехугольник ABCD, AB= 32, BC=10, CD=75. Рассчитайте четвертую сторону четырехугольника Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=32+75-10=97 Ответ: 97
Задание №4265 Основания равнобедренной трапеции равны 12 и 36. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Вычислите боковую сторону
Решение Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a) По найденной формуле вычисляем, что AD=20 Ответ: 20
Задание №5557
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, сторона CD= 88, AB= 100 . Найдите периметр четырёхугольника ABCD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 376 Ответ: 376
Задание №5799
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 49 и 34 . Рассчитайте среднюю линию трапеции Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 83 / 2 = 41,5 Ответ: 41,5
Задание №1580 Площадь треугольника АВС равна 133. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников: Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=99,75 Ответ: 99,75
Задание №2560
В треугольнике ABC AC=80, BC=84, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=24 Ответ: 24
Задание №2722
Дан правильный шестиугольник. Его периметр равен 480. Вычислите диаметр описанной окружности Решение
Периметр (P) - сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =480 / 6 = 80 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*80=160 Ответ: 160
Задание №5715
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 140, основание равно 168 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=9408 Подствавим значения и найдём полупериметр P=224 Тогда: Подствавим значения и найдём радиус r=9408/224=42 Ответ: 42
Задание №4227
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 19, 41, 75. Вычислите периметр данного треугольника Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как =19+41+75=135 Ответ: 135
Задание №4967
Окружность вписана в четырёхугольник ABCD, периметр = 295, стророна AB= 72 . Рассчитайте длину стороны CD Решение В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=75,5 Ответ: 75,5
Задание №2958 Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 60°. Найдите число вершин многоугольника Решение Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=60 180*n – 360 = 60 * n n=3 Ответ: 3
Задание №3776
У трапеции, описанной около окружности, периметр равен 83. Рассчитайте длину средней линии трапеции Решение Периметр - сумма сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 83 / 4 = 20,75 Ответ: 20,75
Задание №1185 Площадь параллелограмма ABCD равна 138. Точка E – середина стороны BC. Вычислите площадь трапеции ADEB Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=103,5 Ответ: 103,5
Задание №1128 Площадь параллелограмма ABCD равна 147. Середины его сторон - это вершины параллелаграмма A′B′C′D′. Рассчитайте площадь параллелограмма A′B′C′D′ Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=73,5 Ответ: 73,5
Задание №3932
Два известных угла вписанного в окружность четырехугольника равны 39° и 91°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Решение По теореме Птолемея - сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность равна 180 градусов угол противоположный углу 39 градусов равен 180-39=141 градусов угол противоположный углу 91 градусов равен 180-91=89 градусов Больший из неизвестных углов 141 градусов Ответ: 141
Задание №2453
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 56+28√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник Решение Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна: Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=28 Ответ: 28
Задание №1988
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 16. Радиус описанной окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции Решение Сделаем построение, проведем высоту KH через центр окружности O Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем: Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=8 Отсюда следует, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 23
Задание №2541
Дан равнобедренный треугольник. Окружность, вписанная в треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 33 и 12, считая от вершины, противолежащей основанию. Рассчитайте периметр треугольника Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=12 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=90+24=114 Ответ: 114
содержание .. 55 56 57 58 ..
|
|