содержание .. 50 51 52 53 ..
ЕГЭ по математике. Задания и тесты №1 с ответами, профильные (2019 год) - часть 52
Задание №4892
Основания равнобедренной трапеции равны 54 и 270. Синус острого угла трапеции равен 0,8. Найдите боковую сторону
Решение
Треугольники ADH и BKC равны (так как AD=CD и DH=CK), значит, AH=KB Треугольник ADH прямой, поэтому гипотенуза AD = AH / cos(a)
По найденной формуле вычисляем, что AD=180 Ответ: 180
Задание №1606
В треугольнике ABC BC=35, AC=12, угол C равен 90° . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо значение AC и BC и решим уравнение Радиус r=5 Ответ: 5
Задание №3526
Окружность вписана в треугольник ABC, к ней проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 20, 54, 71. Вычислите периметр данного треугольника
Решение
EF и ED - отрезки касательных, проведенных из одной точки Е. Они по свойству касательных равны. Аналогично, GF = GH. То есть, GE = GH + ED, а периметр треугольника AGE запишется как
=20+54+71=145 Ответ: 145
Задание №5161
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 128. Точка E – середина стороны BC. Найдите площадь трапеции ADEB
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, трапеция ADEB, состоит из трёх таких треугольников, значит площадь трапеции ADEB равна 3/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ADEB=96 Ответ: 96
Задание №1223
Дана трапеция, описанная около окружности. Боковые стороны трапеции, равны 17 и 25 . Найдите среднюю линию трапеции
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = (DC+AB) / 2 = (AD+BC) / 2 = 42 / 2 = 21 Ответ: 21
Задание №2494
В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB= 21, BC=4, CD=28. Найдите четвертую сторону четырехугольника
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Сторона AD=AB+CD-BC=21+28-4=45 Ответ: 45
Задание №5718
Площадь параллелограмма ABCD равна 142. Середина стороны CD - точка E. Найдите площадь треугольника ADE
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 4, треугольник ADE, состоит из одного такого треугольника, значит его площадь равна 1/4 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь треугольника ADE=35,5 Ответ: 35,5
Задание №5413
Дана трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 91. Вычислите длину средней линии трапеции
Решение
Периметр (Р) - сумма всех сторон трапеции В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
Средняя линия MK = 91 / 4 = 22,75 Ответ: 22,75
Задание №2408
Дана прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Периметр трапеции равен 108, ее большая боковая сторона равна 50 . Вычислите радиус окружности
Решение
Сторона AD равна диаметру окружности, значит R=AD/2 В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD
R = 2 Ответ: 2
Задание №5868
Основания равнобедренной трапеции равны 30 и 16. Радиус описанной окружности равен 17. Центр окружности лежит внутри трапеции. Вычислите высоту трапеции
Решение
Проведем высоту KH через центр окружности O
Из рисунка видно, что треугольники DOC и AOB – равнобедренные и их высоты KO и HO делят стороны DC и AB пополам. Найдем эти высоты из прямоугольных треугольников DKO и AOH по теореме Пифагора, имеем:
Подставим известные значения в формулы и вычислим KO и HO KO=15 HO=8 Значит, высота трапеции равна KH=KO+HO=15+8=23 Примечание: Если бы большее основание трапеции лежало выше центра окружности (то есть оба основания располагались по одну сторону от центра окружности) длина высоты равнялась бы не сумме, а разности найденных отрезков. Решая данную задачу необходимо принимать во внимание рисунок, данный в условии Ответ: 23
Задание №1057
Дан параллелограмм ABCD. Его площадь равна 151. Середины его сторон являются вершинами параллелаграмма A′B′C′D′. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′
Решение
Разобьём параллеаграмм ABCD на равные треугольники (как на рисунке) - всего их 8, параллелограмм A′B′C′D′ состоит из четырёх таких треугольников, значит, его площадь равна 1/2 от площади параллеаграмма ABCD По найденной формуле вычисляем, что площадь параллелограмма A′B′C′D′=75,5 Ответ: 75,5
Задание №4245
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, сторона AB= 92, CD= 84 . Рассчитайте периметр четырёхугольника ABCD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Периметр (P) четырехугольника – это сумма длин всех его сторон, то есть P=AB+BC+AD+CD= 2*(AB+CD) P = 352 Ответ: 352
Задание №4699
Дан правильный многоугольник, вписанный в окружность. Угол между двумя соседними сторонами многоугольника равен 160°. Вычислите число вершин многоугольника
Решение
Каждый угол правильного многоугольника равен 180° * (n – 2) / n , где n – число его углов (вершин) Составляем уравнение: 180 * ( n – 2 ) / n=160 180*n – 360 = 160 * n n=18 Ответ: 18
Задание №2616
Даны два угла вписанного в окружность четырехугольника. Они равны 24° и 143°. Рассчитайте больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Решение
В четырехугольнике, вписанном в окружность сумма противоположных углов равна 180 градусов (теорема Птолемея) угол противоположный углу 24 градусов равен 180-24=156 градусов угол противоположный углу 143 градусов равен 180-143=37 градусов Больший из неизвестных углов 156 градусов Ответ: 156
Задание №3663
У равнобедренного прямоугольного треугольника катеты равны 70+35√2 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a, тогда гипотенуза AB, равна:
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:
Подставим в формулу вместо а значение катетов и решим уравнение Радиус r=35 Ответ: 35
Задание №1143
Дан треугольник АВС. Его площадь равна 116. DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Рассчитайте площадь трапеции ABED
Решение
Площадь трапеции ABED можно найти как разность площадей двух треугольников:
Площадь треугольника CED будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC, так как линейные размеры треугольника CED в 2 раза меньше соответствующих размеров треугольника ABC
По найденной формуле вычисляем, что площадь трапеции ABED=87 Ответ: 87
Задание №5467
Периметр (Р) правильного шестиугольника равен 264. Рассчитайте диаметр описанной окружности
Решение
Периметр (P) - это сумма длин всех сторон, поэтому: AB / 6 = P / 6 =264 / 6 = 44 Рассмотрим угол AOB. Он равен 60°, т.к. вся окружность 360°, а треугольников 6 (360°/6=60°) Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, т.к. AO=OB=R и угол AOB=60° и тогда Диаметр D=2R=2AB=2*44=88 Ответ: 88
Задание №3729
Дан четырёхугольник ABCD. В него вписана окружность, периметр = 212, стророна AB= 50 . Найдите длину стороны CD
Решение
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда AB+CD=BC+AD Значит P / 2 = AB + CD CD = P/2-AB=56 Ответ: 56
Задание №4851
В равнобедренный треугольник вписана окружность, которая делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 21 и 7, считая от вершины, противолежащей основанию. Вычислите периметр треугольника
Решение
Пусть точки H и K являются точками касания окружности и сторон AB и СВ соответственно. Треугольники KOH и KOB равны, т.к. являются прямоугольными с общей гипотенузой и равными катетами, значит, HB=KB=7 Периметр треугольника равен P=AC+CB+AH+HB=2CB+2HB=56+14=70 Ответ: 70
Задание №2638
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 150, основание равно 180 . Вычислите радиус окружности, вписанной в этот треугольник
Решение
Радиус вписанной окружности равен отношению площади к полупериметру. Для нахождения площади, воспользуемся формулой Герона:
Подставим значения сторон треугольника и найдём площадь. Она равна S=10800 Подствавим значения и найдём полупериметр P=240 Тогда:
Подствавим значения и найдём радиус r=10800/240=45
Ответ: 45
содержание .. 50 51 52 53 ..