Physics For Scientists And Engineers 6E - part 228

SECTION 29.4 •  Motion of a Charged Particle in a Uniform Magnetic Field

909

Example 29.7 Bending an Electron Beam

In  an  experiment  designed  to  measure  the  magnitude  of  a
uniform  magnetic  field,  electrons  are  accelerated  from  rest
through a potential difference of 350 V. The electrons travel
along  a  curved  path  because  of  the  magnetic  force  exerted
on them, and the radius of the path is measured to be 7.5 cm.
(Fig.  29.20  shows  such  a  curved  beam  of  electrons.)  If  the
magnetic field is perpendicular to the beam,

(A)

what is the magnitude of the field?

Solution Conceptualize  the  circular  motion  of  the
electrons  with  the  help  of  Figures  29.18  and  29.20.  We
categorize  this  problem  as  one  involving  both  uniform
circular motion and a magnetic force. Looking at Equation
29.13, we see that we need the speed v of the electron if we
are to find the magnetic field magnitude, and v is not given.
Consequently, we must find the speed of the electron based
on the potential difference through which it is accelerated.
Therefore, we also categorize this as a problem in conserva-
tion of mechanical energy for an isolated system. To begin
analyzing the problem, we find the electron speed. For the
isolated  electron–electric  field  system,  the  loss  of  potential
energy  as  the  electron  moves  through  the  350-V  potential
difference  appears  as  an  increase  in  the  kinetic  energy  of
the electron. Because K

i

"

0 and 

, we have

Now, using Equation 29.13, we find

(B)

What is the angular speed of the electrons?

Solution Using Equation 29.14, we find that

8.4 % 10

$

4

 T

"

B "

m

e

 

v

e

 

r

"

(9.11 % 10

$

31

 kg)(1.11 % 10

7

 m/s)

(1.60 % 10

$

19

 C)(0.075 m)

 " 1.11 % 10

7

 m/s 

 v "

√

2e 

∆V

m

e

"

√

2(1.60 % 10

$

19

 C)(350 V)

9.11 % 10

$

31

 kg

∆K ' ∆U " 0

 

9:

 

1

2

m

e

 

v

2

'

($e) 

∆V " 0 

K

f

"

1

2

 

m

e

 

v

 

2

To  finalize  this  problem,  note  that  the  angular  speed  can
be represented  as  . " (1.5 % 10

8

rad/s)(1 rev/2/ rad) "

2.4 % 10

7

rev/s.  The  electrons  travel  around  the  circle  24

million  times  per  second!  This  is  consistent  with  the  very
high speed that we found in part (A).

What If?

What if a sudden voltage surge causes the accel-

erating  voltage  to  increase  to  400 V?  How  does  this  affect
the  angular  speed  of  the  electrons,  assuming  that  the
magnetic field remains constant?

Answer The increase in accelerating voltage 0V will cause
the electrons to enter the magnetic field with a higher speed
v.  This  will  cause  them  to  travel  in  a  circle  with  a  larger
radius r. The angular speed is the ratio of v to r. Both v and
r increase by the same factor, so that the effects cancel and
the  angular  speed  remains  the  same.  Equation  29.14  is  an
expression for the cyclotron frequency, which is the same as
the angular speed of the electrons. The cyclotron frequency
depends only on the charge q, the magnetic field B, and the
mass  m

e

,  none  of  which  have  changed.  Thus,  the  voltage

surge has no effect on the angular speed. (However, in real-
ity, the voltage surge may also increase the magnetic field if
the  magnetic  field  is  powered  by  the  same  source  as  the
accelerating  voltage.  In  this  case,  the  angular  speed  will
increase according to Equation 29.14.)

1.5 % 10

8

 rad/s

. "

v

r

"

1.11 % 10

7

 m/s

0.075 m

"

Example 29.6 A Proton Moving Perpendicular to a Uniform Magnetic Field

A proton is moving in a circular orbit of radius 14 cm in a
uniform 0.35-T magnetic field perpendicular to the velocity
of the proton. Find the linear speed of the proton.

Solution From Equation 29.13, we have

4.7 % 10

6

 m/s

"

v "

qBr

m

p

"

(1.60 % 10

$

19 

C)(0.35 T)(0.14 m)

1.67 % 10

$

27

 kg

What If?

What if an electron, rather than a proton, moves in

a direction perpendicular to the same magnetic field with this
same linear speed? Will the radius of its orbit be different?

Answer An electron has a much smaller mass than a proton,
so  the  magnetic  force  should  be  able  to  change  its  velocity
much easier than for the proton. Thus, we should expect the
radius to be smaller. Looking at Equation 29.13, we see that r
is proportional to m with q, B, and v the same for the electron
as for the proton. Consequently, the radius will be smaller by
the same factor as the ratio of masses m

e

/m

p

.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can investigate the relationship between the radius
of the circular path of the electrons and the magnetic field.

Interactive

Figure 29.20 (Example 29.7) The bending of an electron

beam in a magnetic field.

Henry Leap and Jim Lehman

910

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

When charged particles move in a nonuniform magnetic field, the motion is complex.

For example, in a magnetic field that is strong at the ends and weak in the middle, such as
that  shown  in  Figure  29.21,  the  particles  can  oscillate  back  and  forth  between  two
positions.  A  charged  particle  starting  at  one  end  spirals  along  the  field  lines  until  it
reaches the other end, where it reverses its path and spirals back. This configuration is
known  as  a  magnetic  bottle  because  charged  particles  can  be  trapped  within  it.  The
magnetic bottle has been used to confine a plasma, a gas consisting of ions and electrons.
Such a plasma-confinement scheme could fulfill a crucial role in the control of nuclear
fusion,  a  process  that  could  supply  us  with  an  almost  endless  source  of  energy.
Unfortunately,  the  magnetic  bottle  has  its  problems.  If  a  large  number  of  particles  are
trapped, collisions between them cause the particles to eventually leak from the system.

The  Van  Allen  radiation  belts  consist  of  charged  particles  (mostly  electrons  and

protons)  surrounding  the  Earth  in  doughnut-shaped  regions  (Fig.  29.22).  The  parti-
cles,  trapped  by  the  Earth’s  nonuniform  magnetic  field,  spiral  around  the  field  lines
from pole to pole, covering the distance in just a few seconds. These particles originate
mainly from the Sun, but some come from stars and other heavenly objects. For this
reason, the particles are called cosmic rays. Most cosmic rays are deflected by the Earth’s
magnetic  field  and  never  reach  the  atmosphere.  However,  some  of  the  particles
become trapped; it is these particles that make up the Van Allen belts. When the parti-
cles are located over the poles, they sometimes collide with atoms in the atmosphere,
causing the atoms to emit visible light. Such collisions are the origin of the beautiful
Aurora  Borealis,  or  Northern  Lights,  in  the  northern  hemisphere  and  the  Aurora
Australis  in  the  southern  hemisphere.  Auroras  are  usually  confined  to  the  polar
regions because the Van Allen belts are nearest the Earth’s surface there. Occasionally,
though, solar activity causes larger numbers of charged particles to enter the belts and
significantly distort the normal magnetic field lines associated with the Earth. In these
situations an aurora can sometimes be seen at lower latitudes.

29.5 Applications Involving Charged Particles 

Moving in a Magnetic Field

A charge moving with a velocity 

v in the presence of both an electric field E and a mag-

netic field 

B experiences both an electric force qE and a magnetic force q v ! B. The

total force (called the Lorentz force) acting on the charge is

(29.16)

F " q

 

E ' q

 

v ! B

Path of

particle

+

Figure 29.21 A charged particle

moving in a nonuniform

magnetic field (a magnetic bottle)

spirals about the field and 

oscillates between the end points.

The magnetic force exerted on 

the particle near either end of the

bottle has a component that causes

the particle to spiral back toward

the center.

S

N

Figure 29.22 The Van Allen

belts are made up of charged

particles trapped by the

Earth’s nonuniform magnetic

field. The magnetic field lines

are in blue and the particle

paths in red.

Lorentz force

SECTION 29.5 •  Applications Involving Charged Particles Moving in a Magnetic Field

911

Velocity Selector

In many experiments involving moving charged particles, it is important that the particles
all move with essentially the same velocity. This can be achieved by applying a combina-
tion of an electric field and a magnetic field oriented as shown in Figure 29.23. A uniform
electric field is directed vertically downward (in the plane of the page in Fig. 29.23a), and
a  uniform  magnetic  field  is  applied  in  the  direction  perpendicular  to  the  electric  field
(into the page in Fig. 29.23a). If q is positive and the velocity 

v is to the right, the magnetic

force q

v ! B is upward and the electric force q E is downward. When the magnitudes of

the two fields are chosen so that qE " qvB, the particle moves in a straight horizontal line
through the region of the fields. From the expression qE " qvB, we find that

(29.17)

Only those particles having speed v pass undeflected through the mutually perpendic-
ular electric and magnetic fields. The magnetic force exerted on particles moving at
speeds  greater  than  this  is  stronger  than  the  electric  force,  and  the  particles  are
deflected upward. Those moving at speeds less than this are deflected downward.

The Mass Spectrometer

A 

mass  spectrometer separates ions according to their mass-to-charge ratio. In one

version  of  this  device,  known  as  the  Bainbridge  mass  spectrometer, a  beam  of  ions  first
passes through a velocity selector and then enters a second uniform magnetic field 

B

0

that  has  the  same  direction  as  the  magnetic  field  in  the  selector  (Fig.  29.24).  Upon
entering  the  second  magnetic  field,  the  ions  move  in  a  semicircle  of  radius  r before
striking  a  detector  array  at  P.  If  the  ions  are  positively  charged,  the  beam  deflects
upward,  as  Figure  29.24  shows.  If  the  ions  are  negatively  charged,  the  beam  deflects

v "

E

B

B

in

+

E

Source

Slit

–

(a)

+

+

+

+

+

+

–

–

–

–

–

–

v

(b)

+ q

q v 

× B

q E

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×
× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

Active Figure 29.23 (a) A velocity selector. When a positively charged particle is

moving with velocity v in the presence of a magnetic field directed into the page and an

electric field directed downward, it experiences a downward electric force qE and an

upward magnetic force q v ! B. (b) When these forces balance, the particle moves in a

horizontal line through the fields.

×
×
×

×
×
×
×
×

×

×
×
×

×
×
×
×
×

×

×
×
×

×
×
×
×
×

×

×
×
×

×
×
×
×
×

×

×
×
×

×
×
×
×
×

×

r

P

B

in

Velocity selector

E

v

B

0, in

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

×

q

Detector

array

Active Figure 29.24 A mass spectrometer. Positively charged particles are sent first

through a velocity selector and then into a region where the magnetic field B

0

causes

the particles to move in a semicircular path and strike a detector array at P.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can adjust the electric and

magnetic fields to try to

achieve straight line motion for

the charge.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can predict where particles will

strike the detector array.

912

C H A P T E R   2 9 •  Magnetic Fields

downward. From Equation 29.13, we can express the ratio m/q as

Using Equation 29.17, we find that

(29.18)

Therefore, we can determine m/q by measuring the radius of curvature and knowing
the field magnitudes B, B

0

, and E. In practice, one usually measures the masses of vari-

ous isotopes of a given ion, with the ions all carrying the same charge q. In this way, the
mass ratios can be determined even if q is unknown.

A  variation  of  this  technique  was  used  by  J.  J.  Thomson  (1856–1940)  in  1897  to

measure the ratio e/m

e

for electrons. Figure 29.25a shows the basic apparatus he used.

Electrons are accelerated from the cathode and pass through two slits. They then drift
into a region of perpendicular electric and magnetic fields. The magnitudes of the two
fields are first adjusted to produce an undeflected beam. When the magnetic field is
turned off, the electric field produces a measurable beam deflection that is recorded
on the fluorescent screen. From the size of the deflection and the measured values of
E and B, the charge-to-mass ratio can be determined. The results of this crucial experi-
ment represent the discovery of the electron as a fundamental particle of nature.

m

q

"

rB

 

0

B

E

m

q

"

rB

 

0

v

Fluorescent

coating

–

Slits

Cathode

–

+

+

+

Deflection

plates

Magnetic field coil

Deflected electron beam

Undeflected

electron

beam

(a)

Figure 29.25 (a) Thomson’s apparatus for measuring e/m

e

. Electrons are accelerated

from the cathode, pass through two slits, and are deflected by both an electric field and

a magnetic field (directed perpendicular to the electric field). The beam of electrons

then strikes a fluorescent screen. (b) J. J. Thomson (left) in the Cavendish Laboratory,

University of Cambridge. The man on the right, Frank Baldwin Jewett, is a distant rela-

tive of John W. Jewett, Jr., co-author of this text.

Bell T

elephone Labs/Courtesy of Emilio Segrè V

isual Archives

Quick Quiz 29.10

Three types of particles enter a mass spectrometer like

the  one  shown  in  Figure  29.24.  Figure  29.26  shows  where  the  particles  strike  the
detector array. Rank the particles that arrive at a, b, and c by speed and m/q ratio.

Figure 29.26 (Quick Quiz 29.10) Which particles have the highest speed and which

have the highest ratio of m/q?

c

b

a

Gap for particles

from velocity

selector

(b)