Physics For Scientists And Engineers 6E - part 189

surface area of a sphere is 4(r

2

, the total solid angle subtended by the sphere is

Now consider a point charge q surrounded by a closed surface of arbitrary shape

(Fig. 24.22). The total electric flux through this surface can be obtained by evaluating
E " +A for  each  small  area  element  +A and  summing  over  all  elements.  The  flux
through each element is

where r is the distance from the charge to the area element, ) is the angle between the
electric field 

E and +A for the element, and E # k

e

q/r

2

for a point charge. In Figure

24.23,  we  see  that  the  projection  of  the  area  element  perpendicular  to  the  radius
vector is +A cos ). Thus, the quantity (+A cos ))/r

2

is equal to the solid angle +5 that

the surface element +A subtends at the charge q. We also see that +5 is equal to the
solid angle subtended by the area element of a spherical surface of radius r. Because
the  total  solid  angle  at  a  point  is  4( steradians,  the  total  flux  through  the  closed
surface is

Thus we have derived Gauss’s law, Equation 24.6. Note that this result is independent
of  the  shape  of  the  closed  surface  and  independent  of  the  position  of  the  charge
within the surface.

!

E

#

k

e

 

q

   

$

 

 

dA cos )

r

 

2

#

k

e

 

q

   

$

 

d

 

5 #

4(k

e

 

q #

q

/

0

+!

E

#

E"+

 

A # (E cos ))+A # k

e

 

q

   

+

A cos )

r

  

2

5 #

4(r

 

2

r

 

2

#

4( steradians

Summary

753

Electric  flux is  proportional  to  the  number  of  electric  field  lines  that  penetrate  a
surface.  If  the  electric  field  is  uniform  and  makes  an  angle  ) with  the  normal  to  a
surface of area A, the electric flux through the surface is

(24.2)

In general, the electric flux through a surface is

(24.3)

!

E

#

"

surface

E"d

 

A

!

E

#

EA cos )

S U M M A R Y

Figure 24.23 The area element +A subtends a solid angle +5 # (+A cos 

)

)/r

2

at the

charge q.

∆Ω

q

r

∆A

∆A cos θ

∆A

θ

E

θ

Figure 24.22 A closed surface of

arbitrary shape surrounds a point

charge q. The net electric flux

through the surface is independent

of the shape of the surface.

θ

∆A

∆Ω

q

E

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

754

CHAPTE R 24 •  Gauss’s Law

1. The Sun is lower in the sky during the winter months than

it  is  in  the  summer.  How  does  this  change  the  flux  of
sunlight hitting a given area on the surface of the Earth?
How does this affect the weather?

2. If the electric field in a region of space is zero, can you con-

clude that no electric charges are in that region? Explain.

3. If  more  electric  field  lines  leave  a  gaussian  surface  than

enter  it,  what  can  you  conclude  about  the  net  charge
enclosed by that surface?

4. A uniform electric field exists in a region of space in which

there  are  no  charges.  What  can  you  conclude  about  the
net electric flux through a gaussian surface placed in this
region of space?

If the total charge inside a closed surface is known but the
distribution  of  the  charge  is  unspecified,  can  you  use
Gauss’s law to find the electric field? Explain.

6. Explain why the electric flux through a closed surface with

a  given  enclosed  charge  is  independent  of  the  size  or
shape of the surface.

7. Consider the electric field due to a nonconducting infinite

plane  having  a  uniform  charge  density.  Explain  why  the
electric  field  does  not  depend  on  the  distance  from  the
plane, in terms of the spacing of the electric field lines.

8. Use  Gauss’s  law  to  explain  why  electric  field  lines  must

begin or end on electric charges. (Suggestion: Change the
size of the gaussian surface.)

5.

Q U E S T I O N S

You should be able to apply Equations 24.2 and 24.3 in a variety of situations, particu-
larly those in which symmetry simplifies the calculation.

Gauss’s law says that the net electric flux !

E

through any closed gaussian surface

is equal to the net charge q

in

inside the surface divided by /

0

:

(24.6)

Using  Gauss’s  law,  you  can  calculate  the  electric  field  due  to  various  symmetric

charge distributions. Table 24.1 lists some typical results.

A conductor in 

electrostatic equilibrium has the following properties:

1. The electric field is zero everywhere inside the conductor.
2. Any net charge on the conductor resides entirely on its surface.
3. The electric field just outside the conductor is perpendicular to its surface and has a

magnitude 4//

0

, where 4 is the surface charge density at that point.

4. On  an  irregularly  shaped  conductor,  the  surface  charge  density  is  greatest  where

the radius of curvature of the surface is the smallest.

!

E

#

$

 

E"d

 

A #

q

 

in

/

0

Charge Distribution

Electric Field

Location

Insulating sphere of radius R, 

r - R

uniform charge density, and 

total charge Q

r , R

Thin spherical shell of radius R

r - R

and total charge Q

r , R

Line charge of infinite length 

Outside the line

and charge per unit length 

3

Infinite charged plane having 

Everywhere outside the plane

surface charge density 

4

Conductor having surface 

Just outside the conductor

charge density 

4

Inside the conductor

Typical Electric Field Calculations Using Gauss’s Law

Table 24.1

(

(

(

0

0

 

4

/

0

 

 

4

2

/

0

 

2k

e

 

 

3

r

 

k

e

 

 

Q

r

 

2

k

e

 

 

Q

R

 

2

 

r

k

e

 

 

Q

r

 

2

Problems

755

9. On the basis of the repulsive nature of the force between

like charges and the freedom of motion of charge within a
conductor, explain why excess charge on an isolated con-
ductor must reside on its surface.
A  person  is  placed  in  a  large  hollow  metallic  sphere  that
is insulated  from  ground.  If  a  large  charge  is  placed  on
the sphere, will the person be harmed upon touching the
inside  of  the  sphere?  Explain  what  will  happen  if  the
person  also  has  an  initial  charge  whose  sign  is  opposite
that of the charge on the sphere.

11. Two  solid  spheres,  both  of  radius  R ,  carry  identical  total

charges,  Q. One  sphere  is  a  good  conductor  while  the
other is an insulator. If the charge on the insulating sphere
is  uniformly  distributed  throughout  its  interior  volume,

10.

how  do  the  electric  fields  outside  these  two  spheres
compare? Are the fields identical inside the two spheres?
A  common  demonstration  involves  charging  a  rubber
balloon, which is an insulator, by rubbing it on your hair,
and touching the balloon to a ceiling or wall, which is also
an insulator. The electrical attraction between the charged
balloon and the neutral wall results in the balloon sticking
to the wall. Imagine now that we have two infinitely large
flat sheets of insulating material. One is charged and the
other is neutral. If these are brought into contact, will an
attractive  force  exist  between  them,  as  there  was  for  the
balloon and the wall?

13. You may have heard that one of the safer places to be during

a lightning storm is inside a car. Why would this be the case?

12.

Section 24.1 Electric Flux

1. An electric field with a magnitude of 3.50 kN/C is applied

along the x axis. Calculate the electric flux through a rec-
tangular  plane  0.350 m  wide  and  0.700 m  long  assuming
that (a) the plane is parallel to the yz plane; (b) the plane
is parallel to the xy plane; (c) the plane contains the y axis,
and its normal makes an angle of 40.0° with the x axis.

2. A vertical electric field of magnitude 2.00 & 10

4

N/C exists

above the Earth’s surface on a day when a thunderstorm is
brewing. A car with a rectangular size of 6.00 m by 3.00 m
is  traveling  along  a  roadway  sloping  downward  at  10.0°.
Determine the electric flux through the bottom of the car.
A 40.0-cm-diameter loop is rotated in a uniform electric field
until  the  position  of  maximum  electric  flux  is  found.  The
flux in this position is measured to be 5.20 & 10

5

N " m

2

/C.

What is the magnitude of the electric field?

4. Consider a closed triangular box resting within a horizon-

tal  electric  field  of  magnitude  E # 7.80 & 10

4

N/C  as

shown in Figure P24.4. Calculate the electric flux through
(a)  the  vertical  rectangular  surface,  (b)  the  slanted
surface, and (c) the entire surface of the box.

3.

5. A uniform electric field aiˆ $ bjˆ intersects a surface of area

A. What  is  the  flux  through  this  area  if  the  surface  lies
(a) in the yz plane? (b) in the xz plane? (c) in the xy plane?

6.

A point charge q is located at the center of a uniform ring
having  linear  charge  density  3 and  radius  a,  as  shown  in
Figure P24.6. Determine the total electric flux through a
sphere centered at the point charge and having radius R,
where R , a.

7.

A  pyramid  with  horizontal  square  base,  6.00 m  on  each
side, and a height of 4.00 m is placed in a vertical electric
field of 52.0 N/C. Calculate the total electric flux through
the pyramid’s four slanted surfaces.

8. A  cone  with  base  radius  R and  height  h is  located  on  a

horizontal  table.  A  horizontal  uniform  field  E penetrates
the cone, as shown in Figure P24.8. Determine the electric
flux that enters the left-hand side of the cone.

Section 24.2 Gauss’s Law

The  following  charges  are  located  inside  a  submarine:
5.00 %C, ' 9.00 %C, 27.0 %C, and ' 84.0 %C. (a) Calculate

9.

1, 

2

, 

3

#

straightforward, intermediate, challenging

#

full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

#

coached solution with hints available at http://www.pse6.com

#

computer useful in solving problem             

#

paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

30 cm

60

°

10 cm

E

Figure P24.4

R

q

a

λ

Figure P24.6

h

R

E

Figure P24.8

the  net  electric  flux  through  the  hull  of  the  submarine.
(b) Is  the  number  of  electric  field  lines  leaving  the
submarine greater than, equal to, or less than the number
entering it?

10. The  electric  field  everywhere  on  the  surface  of  a  thin

spherical  shell  of  radius  0.750 m  is  measured  to  be
890 N/C  and  points  radially  toward  the  center  of  the
sphere.  (a)  What  is  the  net  charge  within  the  sphere’s
surface? (b) What can you conclude about the nature and
distribution of the charge inside the spherical shell?

11. Four  closed  surfaces,  S

1

through  S

4

,  together  with  the

charges ' 2Q , Q , and 'Q are sketched in Figure P24.11.
(The  colored  lines  are  the  intersections  of  the  surfaces
with  the  page.)  Find  the  electric  flux  through  each
surface.

12.

(a) A point charge q is located a distance d from an infi-
nite  plane.  Determine  the  electric  flux  through  the
plane  due  to  the  point  charge.  (b)  What  If?  A  point
charge q is located a very small distance from the center
of  a  very  large square  on  the  line  perpendicular  to
the square and going through its center. Determine the
approximate electric flux through the square due to the
point  charge.  (c)  Explain  why  the  answers  to  parts
(a) and (b) are identical.

13.

Calculate  the  total  electric  flux  through  the  paraboloidal
surface due to a uniform electric field of magnitude E

0

in

the direction shown in Figure P24.13.

14. A  point  charge  of  12.0 %C  is  placed  at  the  center  of  a

spherical shell of radius 22.0 cm. What is the total electric
flux through (a) the surface of the shell and (b) any hemi-
spherical  surface  of  the  shell?  (c)  Do  the  results  depend
on the radius? Explain.

A  point  charge  Q is  located  just  above  the  center

of the  flat  face  of  a  hemisphere  of  radius  R as  shown  in
Figure  P24.15.  What  is  the  electric  flux  (a)  through  the
curved surface and (b) through the flat face?

15.

16. In the air over a particular region at an altitude of 500 m

above  the  ground  the  electric  field  is  120 N/C  directed
downward. At 600 m above the ground the electric field is
100 N/C  downward.  What  is  the  average  volume  charge
density in the layer of air between these two elevations? Is
it positive or negative?

17.

A  point  charge  Q # 5.00 %C  is  located  at  the  center  of  a
cube of edge L # 0.100 m. In addition, six other identical
point  charges  having  q # ' 1.00 %C  are  positioned  sym-
metrically around Q as shown in Figure P24.17. Determine
the electric flux through one face of the cube.

18.

A positive point charge Q is located at the center of a cube
of  edge  L.  In  addition,  six  other  identical  negative  point
charges q are positioned symmetrically around Q as shown
in Figure P24.17. Determine the electric flux through one
face of the cube.

756

CHAPTE R 24 •  Gauss’s Law

–Q

+Q

–2Q

S

2

S

3

S

1

S

4

Figure P24.11

d

r

E

0

Figure P24.13

Q

0

R

δ

Figure P24.15

L

L

q

q

q

q

Q

q

q

L

Figure P24.17 Problems 17 and 18.

d

R

O

λ

Figure P24.19