Physics For Scientists And Engineers 6E - part 166

Problems

661

Section 21.1 Molecular Model of an Ideal Gas

1. In a 30.0-s interval, 500 hailstones strike a glass window of

area 0.600 m

2

at an angle of 45.0° to the window surface.

Each  hailstone  has  a  mass  of  5.00 g  and  moves  with  a
speed of 8.00 m/s. Assuming the collisions are elastic, find
the average force and pressure on the window.

2.

In a period of 1.00 s, 5.00 % 10

23

nitrogen molecules strike

a wall with an area of 8.00 cm

2

. If the molecules move with

a  speed  of  300 m/s  and  strike  the  wall  head-on  in  elastic
collisions,  what  is  the  pressure  exerted  on  the  wall?  (The
mass of one N

2

molecule is 4.68 % 10

!

26

kg.)

3.

A  sealed  cubical  container  20.0 cm  on  a  side  contains
three times Avogadro’s number of molecules at a tempera-
ture of 20.0°C. Find the force exerted by the gas on one of
the walls of the container.

4. A  2.00-mol  sample  of  oxygen  gas  is  confined  to  a  5.00-L

vessel  at  a  pressure  of  8.00 atm.  Find  the  average  transla-
tional  kinetic  energy  of  an  oxygen  molecule  under  these
conditions.
A spherical balloon of volume 4 000 cm

3

contains helium

at an (inside) pressure of 1.20 % 10

5

Pa. How many moles

of helium are in the balloon if the average kinetic energy
of the helium atoms is 3.60 % 10

!

22

J?

6. Use the definition of Avogadro’s number to find the mass

of a helium atom.
(a) How many atoms of helium gas fill a balloon having a
diameter  of  30.0 cm  at  20.0°C  and  1.00 atm?  (b)  What  is
the average kinetic energy of the helium atoms? (c) What
is the root-mean-square speed of the helium atoms?

8. Given  that  the  rms  speed  of  a  helium  atom  at  a  certain

temperature  is  1 350 m/s,  find  by  proportion  the  rms
speed  of  an  oxygen  (O

2

)  molecule  at  this  temperature.

The molar mass of O

2

is 32.0 g/mol, and the molar mass

of He is 4.00 g/mol.

A  cylinder  contains  a  mixture  of  helium  and  argon

gas  in  equilibrium  at  150°C.  (a)  What  is  the  average
kinetic energy for each type of gas molecule? (b) What is
the root-mean-square speed of each type of molecule?

10. A 5.00-L vessel contains nitrogen gas at 27.0°C and a pres-

sure of 3.00 atm. Find (a) the total translational kinetic en-
ergy of the gas molecules and (b) the average kinetic en-
ergy per molecule.

11. (a) Show that 1 Pa # 1 J/m

3

. (b) Show that the density in

space of the translational kinetic energy of an ideal gas is
3P/2.

Section 21.2 Molar Specific Heat of an Ideal Gas

Note: You may use data in Table 21.2 about particular
gases. Here we define a “monatomic ideal gas” to have
molar specific heats C

V

#

3R/2 and C

P

#

5R/2, and a

“diatomic ideal gas” to have C

V

#

5R/2 and C

P

#

7R/2.

9.

7.

5.

12. Calculate  the  change  in  internal  energy  of  3.00 mol  of

helium gas when its temperature is increased by 2.00 K.

A 1.00-mol sample of hydrogen gas is heated at con-

stant  pressure  from  300 K  to  420 K.  Calculate  (a)  the
energy transferred to the gas by heat, (b) the increase in
its internal energy, and (c) the work done on the gas.

14.

A 1.00-mol sample of air (a diatomic ideal gas) at 300 K,
confined  in  a  cylinder  under  a  heavy  piston,  occupies  a
volume  of  5.00 L.  Determine  the  final  volume  of  the  gas
after 4.40 kJ of energy is transferred to the air by heat.

15. In a constant-volume process, 209 J of energy is transferred

by heat to 1.00 mol of an ideal monatomic gas initially at
300 K. Find (a) the increase in internal energy of the gas,
(b) the work done on it, and (c) its final temperature.

16. A  house  has  well-insulated  walls.  It  contains  a  volume  of

100 m

3

of air at 300 K. (a) Calculate the energy required

to  increase  the  temperature  of  this  diatomic  ideal  gas  by
1.00°C. (b) What If? If this energy could be used to lift an
object of mass m through a height of 2.00 m, what is the
value of m?

17.

An incandescent lightbulb contains a volume V of argon at
pressure P

i

. The bulb is switched on and constant power "

is  transferred  to  the  argon  for  a  time  interval  "t. 
(a) Show that the pressure P

f

in the bulb at the end of this

process is P

f

#

P

i

[1 $ (""tR)/(P

i

VC

V

)]. (b) Find the pres-

sure in a spherical light bulb 10.0 cm in diameter 4.00 s af-
ter  it  is  switched  on,  given  that  it  has  initial  pressure 
1.00 atm and that 3.60 W of power is transferred to the gas.

18. A  vertical  cylinder  with  a  heavy  piston  contains  air  at  a

temperature of 300 K. The initial pressure is 200 kPa, and
the initial volume is 0.350 m

3

. Take the molar mass of air

as  28.9 g/mol  and  assume  that  C

V

#

5R/2.  (a)  Find  the

specific heat of air at constant volume in units of J/kg & )C.
(b) Calculate the mass of the air in the cylinder. (c) Sup-
pose  the  piston  is  held  fixed.  Find  the  energy  input  re-
quired  to  raise  the  temperature  of  the  air  to  700 K. 
(d)  What  If? Assume  again  the  conditions  of  the  initial
state  and  that  the  heavy  piston  is  free  to  move.  Find  the
energy input required to raise the temperature to 700 K.

19.

A 1-L Thermos bottle is full of tea at 90°C. You pour out
one  cup  and  immediately  screw  the  stopper  back  on.
Make  an  order-of-magnitude  estimate  of  the  change  in
temperature of the tea remaining in the flask that results
from the admission of air at room temperature. State the
quantities you take as data and the values you measure or
estimate for them.

20. A 1.00-mol sample of a diatomic ideal gas has pressure P

and volume V. When the gas is heated, its pressure triples
and its volume doubles. This heating process includes two
steps, the first at constant pressure and the second at con-
stant  volume.  Determine  the  amount  of  energy  trans-
ferred to the gas by heat.

13.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

662

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases

21.

A 1.00-mol sample of an ideal monatomic gas is at an ini-
tial  temperature  of  300 K.  The  gas  undergoes  an  isovolu-
metric  process  acquiring  500 J  of  energy  by  heat.  It  then
undergoes an isobaric process losing this same amount of
energy by heat. Determine (a) the new temperature of the
gas and (b) the work done on the gas.

22.

A vertical cylinder with a movable piston contains 1.00 mol
of a diatomic ideal gas. The volume of the gas is V

i

, and its

temperature is T

i

. Then the cylinder is set on a stove and ad-

ditional weights are piled onto the piston as it moves up, in
such  a  way  that  the  pressure  is  proportional  to  the  volume
and  the  final  volume  is  2V

i

.  (a)  What  is  the  final  tempera-

ture? (b) How much energy is transferred to the gas by heat?

23. A  container  has  a  mixture  of  two  gases:  n

1

mol  of  gas  1

having molar specific heat C

1

and n

2

mol of gas 2 of molar

specific  heat  C

2

.  (a)  Find  the  molar  specific  heat  of  the

mixture. (b) What If? What is the molar specific heat if the
mixture  has  m gases  in  the  amounts  n

1

,  n

2

,  n

3

,  .  .  .  ,  n

m

,

with molar specific heats C

1

, C

2

, C

3

, . . . , C

m

, respectively?

Section 21.3 Adiabatic Processes for an Ideal Gas

24. During  the  compression  stroke  of  a  certain  gasoline  en-

gine, the pressure increases from 1.00 atm to 20.0 atm. If
the  process  is  adiabatic  and  the  fuel–air  mixture  behaves
as a diatomic ideal gas, (a) by what factor does the volume
change  and  (b)  by  what  factor  does  the  temperature
change?  (c)  Assuming  that  the  compression  starts  with
0.016 0 mol of gas at 27.0°C, find the values of Q , W, and
"

E

int

that characterize the process.

A 2.00-mol sample of a diatomic ideal gas expands slowly
and adiabatically from a pressure of 5.00 atm and a volume
of 12.0 L to a final volume of 30.0 L. (a) What is the final
pressure of the gas? (b) What are the initial and final tem-
peratures? (c) Find Q , W, and "E

int

.

26.

Air  (a  diatomic  ideal  gas)  at  27.0°C  and  atmospheric
pressure  is  drawn  into  a  bicycle  pump  that  has  a  cylinder
with an inner diameter of 2.50 cm and length 50.0 cm. The
down stroke adiabatically compresses the air, which reaches
a  gauge  pressure  of  800 kPa  before  entering  the  tire  (Fig.
P21.26).  Determine  (a)  the  volume  of  the  compressed  air
and (b) the temperature of the compressed air. (c) What If?
The  pump  is  made  of  steel  and  has  an  inner  wall  that  is 
2.00 mm thick. Assume that 4.00 cm of the cylinder’s length
is allowed to come to thermal equilibrium with the air. What
will be the increase in wall temperature?
Air in a thundercloud expands as it rises. If its initial tem-
perature is 300 K and no energy is lost by thermal conduc-
tion on expansion, what is its temperature when the initial
volume has doubled?

28.

The largest bottle ever made by blowing glass has a volume
of about 0.720 m

3

. Imagine that this bottle is filled with air

that  behaves  as  an  ideal  diatomic  gas.  The  bottle  is  held
with its opening at the bottom and rapidly submerged into
the ocean. No air escapes or mixes with the water. No en-
ergy is exchanged with the ocean by heat. (a) If the final
volume of the air is 0.240 m

3

, by what factor does the inter-

nal  energy  of  the  air  increase?  (b)  If  the  bottle  is  sub-
merged  so  that  the  air  temperature  doubles,  how  much
volume is occupied by air?

27.

25.

Figure P21.26

George Semple

29.

A 4.00-L sample of a diatomic ideal gas with specific heat
ratio  1.40,  confined  to  a  cylinder,  is  carried  through  a
closed cycle. The gas is initially at 1.00 atm and at 300 K.
First,  its  pressure  is  tripled  under  constant  volume.
Then,  it  expands  adiabatically  to  its  original  pressure.
Finally,  the  gas  is  compressed  isobarically  to  its  original
volume. (a) Draw a PV diagram of this cycle. (b) Deter-
mine  the  volume  of  the  gas  at  the  end  of  the  adiabatic
expansion.  (c)  Find  the  temperature  of  the  gas  at  the
start  of  the  adiabatic  expansion.  (d)  Find  the  tempera-
ture  at  the  end  of  the  cycle.  (e)  What  was  the  net  work
done on the gas for this cycle?

30.

A  diatomic  ideal  gas  (( # 1.40)  confined  to  a  cylinder  is
put through a closed cycle. Initially the gas is at P

i

, V

i

, and

T

i

.  First,  its  pressure  is  tripled  under  constant  volume.  It

then  expands  adiabatically  to  its  original  pressure  and  fi-
nally  is  compressed  isobarically  to  its  original  volume.
(a) Draw a PV diagram of this cycle. (b) Determine the vol-
ume  at  the  end  of  the  adiabatic  expansion.  Find  (c)  the
temperature of the gas at the start of the adiabatic expan-
sion  and  (d)  the  temperature  at  the  end  of  the  cycle.
(e) What was the net work done on the gas for this cycle?

31. How much work is required to compress 5.00 mol of air at

20.0°C  and  1.00 atm  to  one  tenth  of  the  original  volume
(a) by an isothermal process? (b) by an adiabatic process?
(c) What is the final pressure in each of these two cases?

Problems

663

Section 21.5 The Boltzmann Distribution Law
Section 21.6 Distribution of Molecular Speeds

36. One  cubic  meter  of  atomic  hydrogen  at  0°C  and  atmos-

pheric pressure contains approximately 2.70 % 10

25

atoms.

The first excited state of the hydrogen atom has an energy
of 10.2 eV above the lowest energy level, called the ground
state.  Use  the  Boltzmann  factor  to  find  the  number  of
atoms in the first excited state at 0°C and at 10 000°C.
Fifteen  identical  particles  have  various  speeds:  one  has  a
speed  of  2.00 m/s;  two  have  speeds  of  3.00 m/s;  three
have  speeds  of  5.00 m/s;  four  have  speeds  of  7.00 m/s;
three  have  speeds  of  9.00 m/s;  and  two  have  speeds  of
12.0 m/s. Find (a) the average speed, (b) the rms speed,
and (c) the most probable speed of these particles.

38. Two  gases  in  a  mixture  diffuse  through  a  filter  at  rates

proportional to the gases’ rms speeds. (a) Find the ratio of
speeds for the two isotopes of chlorine, 

35

Cl and 

37

Cl, as they

diffuse through the air. (b) Which isotope moves faster?
From  the  Maxwell–Boltzmann  speed  distribution,  show
that the most probable speed of a gas molecule is given by
Equation 21.29. Note that the most probable speed corre-
sponds to the point at which the slope of the speed distri-
bution curve dN

v 

/dv is zero.

40. Helium  gas  is  in  thermal  equilibrium  with  liquid  helium

at 4.20 K. Even though it is on the point of condensation,
model the gas as ideal and determine the most probable
speed of a helium atom (mass # 6.64 % 10

!

27

kg) in it.

41.

Review problem. At what temperature would the average
speed  of  helium  atoms  equal  (a)  the  escape  speed  from
Earth, 1.12 % 10

4

m/s and (b) the escape speed from the

Moon,  2.37 % 10

3

m/s?  (See  Chapter  13  for  a  discussion

of escape speed, and note that the mass of a helium atom
is 6.64 % 10

!

27

kg.)

42. A gas is at 0°C. If we wish to double the rms speed of its

molecules, to what temperature must the gas be brought?

43.

Assume that the Earth’s atmosphere has a uniform tempera-
ture  of  20°C  and  uniform  composition,  with  an  effective 
molar mass of 28.9 g/mol. (a) Show that the number den-
sity of molecules depends on height according to

where  n

0

is the  number density  at  sea level,  where y # 0.

This result is called the law of atmospheres. (b) Commercial
jetliners typically cruise at an altitude of 11.0 km. Find the
ratio of the atmospheric density there to the density at sea
level.

44.

If you can’t walk to outer space, can you at least walk halfway?
Using  the  law  of  atmospheres  from  Problem  43,  we  find
that the average height of a molecule in the Earth’s atmos-
phere is given by

(a)  Prove  that  this  average  height  is  equal  to  k

B

T/mg.

(b) Evaluate  the  average  height,  assuming  the  tempera-
ture is 10°C and the molecular mass is 28.9 u.

y #

$

.

0

yn

V

 

(y)

 

dy

$

.

0

n

V

 

(y)

 

dy

#

$

.

0

ye

!

mgy/k

B

T

 

dy

$

.

0

e

!

mgy/k

B

T

 

dy

n

V

 

(y) # n

0

e

!

mgy/k

B

T

39.

37.

32.

During  the  power  stroke  in  a  four-stroke  automobile
engine,  the  piston  is  forced  down  as  the  mixture  of
combustion  products  and  air  undergoes  an  adiabatic
expansion  (Fig.  P21.32).  Assume  that  (1)  the  engine  is
running  at  2 500 cycles/min,  (2)  the  gauge  pressure
right  before  the  expansion  is  20.0 atm,  (3)  the  volumes
of the mixture right before and after the expansion are
50.0  and  400 cm

3

,  respectively,  (4)  the  time  involved  in

the  expansion  is  one-fourth  that  of  the  total  cycle,  and
(5)  the  mixture  behaves  like  an  ideal  gas  with  specific
heat  ratio  1.40.  Find  the  average  power  generated  dur-
ing the expansion.

Section 21.4 The Equipartition of Energy

Consider 2.00 mol of an ideal diatomic gas. (a) Find

the total heat capacity of the gas at constant volume and at
constant  pressure  assuming  the  molecules  rotate  but  do
not vibrate. (b) What If? Repeat, assuming the molecules
both rotate and vibrate.

34. A certain molecule has f degrees of freedom. Show that an

ideal  gas  consisting  of  such  molecules  has  the  following
properties:  (1)  its  total  internal  energy  is  fnRT/2;  (2)  its
molar  specific  heat  at  constant  volume  is  fR/2;  (3)  its
molar  specific  heat  at  constant  pressure  is  (f $ 2)R/2;
(4) its specific heat ratio is ( # C

P

/C

V

#

( f $ 2)/f.

35. In a crude model (Fig. P21.35) of a rotating diatomic mole-

cule of chlorine (Cl

2

), the two Cl atoms are 2.00 % 10

!

10

m

apart  and  rotate  about  their  center  of  mass  with  angular
speed + # 2.00 % 10

12

rad/s. What is the rotational kinetic

energy of one molecule of Cl

2

, which has a molar mass of

70.0 g/mol?

33.

400 cm

3

After

50.0 cm

3

Before

Figure P21.32

Cl

Cl

Figure P21.35

Section 21.7 Mean Free Path

In an ultra-high-vacuum system, the pressure is measured
to  be  1.00 % 10

!

10

torr  (where  1  torr # 133 Pa).  Assum-

ing the molecular diameter is 3.00 % 10

!

10

m, the average

molecular speed is 500 m/s, and the temperature is 300 K,
find (a) the number of molecules in a volume of 1.00 m

3

,

(b) the mean free path of the molecules, and (c) the colli-
sion frequency.

46. In deep space the number density of particles can be one

particle per cubic meter. Using the average temperature of
3.00 K and assuming the particle is H

2

with a diameter of

0.200 nm, (a) determine the mean free path of the parti-
cle and the average time between collisions. (b) What If?
Repeat part (a) assuming a density of one particle per cu-
bic centimeter.

47.

Show that the mean free path for the molecules of an ideal
gas is

where d is the molecular diameter.

48. In a tank full of oxygen, how many molecular diameters d

(on average) does an oxygen molecule travel (at 1.00 atm
and  20.0°C)  before  colliding  with  another  O

2

molecule?

(The  diameter  of  the  O

2

molecule  is  approximately

3.60 % 10

!

10

m.)

49.

Argon gas at atmospheric pressure and 20.0°C is confined
in a 1.00-m

3

vessel. The effective hard-sphere diameter of

the  argon  atom  is  3.10 % 10

!

10

m.  (a)  Determine  the

mean free path !. (b) Find the pressure when ! # 1.00 m.
(c) Find the pressure when ! # 3.10 % 10

!

10

m.

Additional Problems

50. The dimensions of a room are 4.20 m % 3.00 m % 2.50 m.

(a) Find the number of molecules of air in the room at at-
mospheric pressure and 20.0°C. (b) Find the mass of this
air,  assuming  that  the  air  consists  of  diatomic  molecules
with molar mass 28.9 g/mol. (c) Find the average kinetic
energy  of  one  molecule.  (d)  Find  the  root-mean-square
molecular  speed.  (e)  On  the  assumption  that  the  molar
specific heat is a constant independent of temperature, we
have  E

int

#

5nRT/2.  Find  the  internal  energy  in  the  air.

(f ) What  If? Find  the  internal  energy  of  the  air  in  the
room at 25.0°C.

51.

The function E

int

#

3.50nRT describes the internal energy

of a certain ideal gas. A sample comprising 2.00 mol of the
gas  always  starts  at  pressure  100 kPa  and  temperature
300 K. For each one of the following processes, determine
the  final  pressure,  volume,  and  temperature;  the  change
in internal energy of the gas; the energy added to the gas
by  heat;  and  the  work  done  on  the  gas.  (a)  The  gas  is
heated  at  constant  pressure  to  400 K .  (b)  The  gas  is
heated  at  constant  volume  to  400 K .  (c)  The  gas  is  com-
pressed at constant temperature to 120 kPa. (d) The gas is
compressed adiabatically to 120 kPa.

52.

Twenty particles, each of mass m and confined to a volume
V, have various speeds: two have speed v; three have speed
2v; five have speed 3v; four have speed 4v; three have speed

! #

k

B

T

√2-d

2

P

45.

5v; two have speed 6v ; one has speed 7v. Find (a) the aver-
age speed, (b) the rms speed, (c) the most probable speed,
(d) the pressure the particles exert on the walls of the ves-
sel, and (e) the average kinetic energy per particle.

A  cylinder  containing  n mol  of  an  ideal  gas  under-

goes an adiabatic process. (a) Starting with the expression

and  using  the  condition  PV

(

#

constant,

show that the work done on the gas is

(b) Starting with the first law of thermodynamics in differ-
ential  form,  prove  that  the  work  done  on  the  gas  is  also
equal to nC

V

(T

f

!

T

i

). Show that this result is consistent

with the equation in part (a).

54.

As  a  1.00-mol  sample  of  a  monatomic  ideal  gas  expands
adiabatically,  the  work  done  on  it  is  ! 2 500 J.  The  initial
temperature  and  pressure  of  the  gas  are  500 K  and 
3.60 atm. Calculate (a) the final temperature and (b) the
final pressure. You may use the result of Problem 53.

55.

A cylinder is closed at both ends and has insulating walls.
It is divided into two compartments by a perfectly insulat-
ing partition that is perpendicular to the axis of the cylin-
der.  Each  compartment  contains  1.00 mol  of  oxygen,
which  behaves  as  an  ideal  gas  with  ( # 7/5.  Initially  the
two compartments have equal volumes, and their tempera-
tures are 550 K and 250 K. The partition is then allowed to
move slowly until the pressures on its two sides are equal.
Find the final temperatures in the two compartments. You
may use the result of Problem 53.

56.

An air rifle shoots a lead pellet by allowing high-pressure air
to  expand,  propelling  the  pellet  down  the  rifle  barrel.  Be-
cause this process happens very quickly, no appreciable ther-
mal conduction occurs, and the expansion is essentially adia-
batic. Suppose that the rifle starts by admitting to the barrel
12.0 cm

3

of  compressed  air,  which  behaves  as  an  ideal  gas

with  ( # 1.40.  The  air  expands  behind  a  1.10-g  pellet  and
pushes on it as a piston with cross-sectional area 0.030 0 cm

2

,

as the pellet moves 50.0 cm along the gun barrel. The pellet
emerges with muzzle speed 120 m/s. Use the result of prob-
lem 53 to find the initial pressure required.

57.

Review  problem. Oxygen  at  pressures  much  greater  than 
1 atm  is  toxic  to  lung  cells.  Assume  that  a  deep-sea  diver
breathes  a  mixture  of  oxygen  (O

2

)  and  helium  (He).  By

weight, what ratio of helium to oxygen must be used if the
diver is at an ocean depth of 50.0 m?

58.

A  vessel  contains  1.00 % 10

4

oxygen  molecules  at  500 K.

(a)  Make  an  accurate  graph  of  the  Maxwell–Boltzmann
speed  distribution  function  versus  speed  with  points  at
speed intervals of 100 m/s. (b) Determine the most prob-
able speed from this graph. (c) Calculate the average and
rms  speeds  for  the  molecules  and  label  these  points  on
your graph. (d) From the graph, estimate the fraction of
molecules with speeds in the range 300 m/s to 600 m/s.

The compressibility / of a substance is defined as the

fractional change in volume of that substance for a given
change in pressure:

/ # !

1

V

 

dV

dP

59.

W #

"

1

( !

1

#

 (P

f

 

V

f

  

!

P

i

V

i

)

W # !$P

 

dV

53.

664

CHAPTE R 21 •  The Kinetic Theory of Gases