Переходные процессы в электрических цепях Пример решения задачи по разделу «Переходные процессы» Задача . Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (Рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е . Требуется определить закон изменения во времени токов и напряжений после коммутации в ветвях схемы. Задачу следует решить двумя методами: классическим и операторным. На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = , где – меньший по модулю корень характеристического уравнения. Параметры цепи: R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В. Решение. Классический метод. Решение задачи получается в виде суммы принужденного и свободного параметра: i(t) = iпр (t) + iсв (t); u(t) = uпр (t)+ uсв (t), (1) где , а . 1. Находим токи и напряжения докоммутационного режима для момента времени t = (0–). Так как сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, а емкости – бесконечности, то расчетная схема будет выглядеть так, как это изображено на рис. 2. Индуктивность закорочена, ветвь с емкостью исключена. Так как в схеме только одна ветвь, то ток i1 (0–) равен току i3 (0–), ток i2 (0–) равен нулю, и в схеме всего один контур. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для этого контура: , откуда = 4 А. Напряжение на емкости равно нулю [uC (0–) = 0]. 2. Определим токи и напряжения непосредственно после коммутации для момента времени t = 0+. Расчетная схема приведена на рис. 3. По первому закону коммутации iL (0–) = iL (0+), т.е. ток i3 (0+) = 4 А. По второму закону коммутации uC (0–) = uC (0+) = 0. Для контура, образованного ЭДС Е, сопротивлением R2 и емкостью С, согласно второго закона Кирхгофа имеем: или ; i1 (0+) = i2 (0+) + i3 (0+) = 14 А. Напряжение на сопротивлении R2 равно Е – uC (0+) = 100 В, напряжение на индуктивности равно напряжению на емкости. 3. Рассчитываем принужденные составляющие токов и напряжений для . Как и для докоммутационного режима индуктивность закорачивается, ветвь с емкостью исключается. Схема приведена на рис. 4. и аналогична схеме для расчета параметров докоммутационого режима. = 10 А; = 100 В; ; 4. Определяем свободные составляющие токов и напряжений для момента времени t = 0+, исходя из выражений i(0+) = iпр (0+) + iсв (0+) и u(0+) = uпр (0+) + uсв (0+). iсв1 (0+) = 4 А; iсв2 (0+) = 10 А; iсв3 (0+) = –6 А; uсв L (0+) = uсвС (0+) = 0; . 5. Определяем производные свободных токов и напряжений в момент времени непосредственно после коммутации (t = 0+), для чего составим систему уравнений, используя законы Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 3, положив Е = 0. ; (2) Производную тока через индуктивность можно найти, используя выражение: , а производную напряжения на емкости – из уравнения . Т.е. и , откуда ; (3) Подставляя (3) в (2), после решения получаем: ; ; ; Все полученные результаты заносим в таблицу. i1 i2 i3 uL uC uR2 t = 0+ 14 10 4 0 0 100 10 0 10 0 0 100 4 10 –6 0 0 0 –105 –105 0 106 106 –106 6. Составляем характеристическое уравнение. Для этого исключим в послекоммутационной схеме источник ЭДС, разорвем любую ветвь и относительно разрыва запишем входное сопротивление для синусоидального тока . Например, разорвем ветвь с сопротивлением R2 : . Заменим jwна р и приравняем полученное уравнение нулю. Получим: или R2 CLp2 + pL + R2 = 0. Откуда находим корни р1 и р2 . р1 = –1127, р2 = –8873. 7. Определим постоянные интегрирования А1 иА2 . Для чего составим систему уравнений: ; или ; Например, определим постоянные интегрирования для тока i1 и напряжения uL . Для тока i1 уравнения запишутся в следующем виде: 4 = А1 i + А2 i ; . После решения: А1 i = –8,328 А, А2 i = 12,328 А. для напряжения uL : ; . После решения: = 129,1 В, = –129,1 В. 8. Ток i1 cогласно (1) изменяется во времени по закону: i1 (t) = 10 – 8,328е–1127 t + 12,328e–8873t , а напряжение uL : uL (t) = 129,1e– 1127 t – 129,1 e–8873t .