Аннотация
Темой курсовой
работы является
"Статистическая
обработка
экспериментальных
данных". Целью
курсовой работы
является закрепление
изученного
материала по
дисциплине
"Метрология,
стандартизация
и сертификация"
и приобретение
практических
навыков обработки
экспериментальных
данных различных
видов измерений.
В курсовой
работе приведены:
– в разделе
"Однократные
измерения":
порядок выполнения
однократного
измерения,
внесены необходимые
поправки и
определен
предел, в котором
находится
значение измеряемой
величины;
– в разделе
"Многократные
измерения":
результаты
измерений,
порядок выполнения
многократного
измерения,
исключены
ошибки из результатов
измерений и
определен
результат
измерений;
– в разделе
"Обработка
результатов
нескольких
серий измерений":
серии результатов
измерений,
порядок их
обработки и
результат
измерения;
– в разделе
"Косвенные
измерения":
функциональная
зависимость
между искомой
величиной Z
и измеряемыми
величинами
X
и Y,
определены
и внесены поправки
и определен
результат
измерения;
– в разделе
"Определение
погрешностей
результатов
измерений
методом математической
статистики":
результаты
измерения,
выстроены:
гистограмма
нормального
рассеяния
измерений и
график реального
рассеяния
измерений в
едином масштабе.
Курсовая
работа содержит
30 листов расчетно-пояснительной
записки.
1
СОДЕРЖАНИЕ
Курсовая
работа 1
Введение 3
1. Однократное
измерение 4
2. Многократное
измерение 6
3. Обработка
результатов
нескольких
серий измерений 13
4. Функциональные
преобразования
результатов
измерений
(косвенные
измерения) 19
5. Определение
погрешностей
результатов
измерений
методом математической
статистики 25
29
Литература 30
Введение
Измерения
— один из важнейших
путей познания
природы человеком.
Они играют
огромную роль
в современном
обществе. Наука
и промышленность
не могут существовать
без измерений.
Практически
нет ни одной
сферы деятельности
человека, где
бы интенсивно
не использовались
результаты
измерений,
испытаний и
контроля.
Диапазон
измерительных
величин и их
количество
постоянно
растут и поэтому
возрастает
и сложность
измерений. Они
перестают быть
одноактным
действием и
превращаются
в сложную процедуру
подготовки
и проведения
измерительного
эксперимента
и обработки
полученной
информации.
Другой причиной
важности измерений
является их
значимость.
Основа любой
формы управления,
анализа, прогнозирования,
контроля или
регулирования
— достоверная
исходная информация,
которая может
быть получена
лишь путем
измерения
требуемых
физических
величин, параметров
и показателей.
Только высокая
и гарантированная
точность результатов
измерений
обеспечивает
правильность
принимаемых
решений.
1.
Однократное
измерение
Условие.
При
однократном
измерении
физической
величины получено
показание
средства измерения
X
= 10. Определить,
чему равно
значение измеряемой
величины, если
экспериментатор
обладает априорной
информацией
о средстве
измерений и
условиях выполнения
измерений,
согласно исходным
данным.
Исходные
данные:
Показание
средства измерения
– X
= 10.
Вид закона
распределения
– равномерный.
Значение
оценки среднеквадратического
отклонения
– SX
= 0,8.
Значение
аддитивной
поправки – Θa
= 0,9.
Расчет.
Так как в качестве
априорной
используется
информация
о законе распределения
вероятности,
т.е. закон распределения
вероятности
является равномерным,
то пределы, в
которых находится
значение измеряемой
величины,
определяются
через доверительный
интервал:
;
(1)
Для
равномерного
закона распределения
вероятности
результата
измерения
значение E
(аналог доверительного
интервала)
можно определить
из выражения:
,
(2)
где
.
Внесем
аддитивную
поправку и
уточним пределы,
в которых находится
значение измеряемой
величины.
2.
Многократное
измерение
Условие.
При многократном
измерении одной
и той же физической
величины получена
серия из 24 результатов
измерений Qi;
.
Определить
результат
измерения.
Исходные
данные:
Таблица 1
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
1 |
482 |
7 |
483 |
13 |
483 |
19 |
483 |
2 |
485 |
8 |
483 |
14 |
483 |
20 |
482 |
3 |
486 |
9 |
481 |
15 |
483 |
21 |
481 |
4 |
486 |
10 |
480 |
16 |
483 |
22 |
481 |
5 |
483 |
11 |
492 |
17 |
484 |
23 |
483 |
6 |
483 |
12 |
486 |
18 |
484 |
24 |
495 |
Расчет.
Порядок расчета
и их содержание
определяются
условием:
10…15 < n<
40…50,
так как n
= 24.
1. Определяем
оценки результата
измерения
и среднего
квадратического
отклонения
результата
измерения
.
(3)
(4)
Для удобства
вычисления
среднего
квадратического
отклонения
результата
измерения
составим таблицу:
Таблица 2
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
1 |
482 |
-1,9583 |
3,8351 |
13 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
2 |
485 |
1,0417 |
1,0851 |
14 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
3 |
486 |
2,0417 |
4,1684 |
15 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
4 |
486 |
2,0417 |
4,1684 |
16 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
5 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
17 |
484 |
0,0417 |
0,0017 |
6 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
18 |
484 |
0,0417 |
0,0017 |
7 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
19 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
8 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
20 |
482 |
-1,9583 |
3,8351 |
9 |
481 |
-2,9583 |
8,7517 |
21 |
481 |
-2,9583 |
8,7517 |
10 |
480 |
-3,9583 |
15,6684 |
22 |
481 |
-2,9583 |
8,7517 |
11 |
492 |
8,0417 |
64,6684 |
23 |
483 |
-0,9583 |
0,9184 |
12 |
486 |
2,0417 |
4,1684 |
24 |
495 |
11,0417 |
121,9184 |
|
|
|
|
Σ
|
|
0
|
258,9583
|
2. Необходимо
обнаружить
и исключить
ошибки. Для
этого:
– вычисляем
наибольшее
по абсолютному
значению
нормированное
отклонение
(5)
– задаемся
доверительной
вероятностью
P
= 0,95 и из соответствующих
таблиц (табл.
П6) с учетом q
= 1 – P
находим соответствующее
ей теоретическое
(табличное)
значение
:
при n
= 24;
– сравниваем
с
:
.
Это означает,
что данный
результат
измерения Qi,
т.е. Q24
является ошибочным,
он должен быть
отброшен. Необходимо
повторить
вычисления
по п.п. 1 и 2 для
сокращенной
серии результатов
измерений и
проводить их
до тех пор, пока
не будет выполняться
условие
.
Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерение №24:
(6)
(7)
Таблица 3
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
1 |
482 |
-1,4783 |
2,1853 |
13 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
2 |
485 |
1,5217 |
2,3157 |
14 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
3 |
486 |
2,5217 |
6,3592 |
15 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
4 |
486 |
2,5217 |
6,3592 |
16 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
5 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
17 |
484 |
0,5217 |
0,2722 |
6 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
18 |
484 |
0,5217 |
0,2722 |
7 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
19 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
8 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
20 |
482 |
-1,4783 |
2,1853 |
9 |
481 |
-2,4783 |
6,1418 |
21 |
481 |
-2,4783 |
6,1418 |
10 |
480 |
-3,4783 |
12,0983 |
22 |
481 |
-2,4783 |
6,1418 |
11 |
492 |
8,5217 |
72,6200 |
23 |
483 |
-0,4783 |
0,2287 |
12 |
486 |
2,5217 |
6,3592 |
Σ
|
|
0
|
131,7391
|
при n
= 23;
Сравниваем
с
:
.
Отбрасываем
измерение №11
и повторяем
вычисления.
(8)
(9)
Таблица 4
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Qi)
|
|
|
1 |
482 |
-1,0909 |
1,1901 |
12 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
2 |
485 |
1,9091 |
3,6446 |
13 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
3 |
486 |
2,9091 |
8,4628 |
14 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
4 |
486 |
2,9091 |
8,4628 |
15 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
5 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
16 |
484 |
0,9091 |
0,8264 |
6 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
17 |
484 |
0,9091 |
0,8264 |
7 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
18 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
8 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
19 |
482 |
-1,0909 |
1,1901 |
9 |
481 |
-2,0909 |
4,3719 |
20 |
481 |
-2,0909 |
4,3719 |
10 |
480 |
-3,0909 |
9,5537 |
21 |
481 |
-2,0909 |
4,3719 |
11 |
486 |
2,9091 |
8,4628 |
22 |
483 |
-0,0909 |
0,0083 |
|
|
|
|
Σ
|
|
0
|
55,8182
|
при n
= 22;
Сравниваем
с
.
Так как
,
то результат
измерения №10
не является
ошибочным и
окончательно
остается 22
измерения, т.е.
n
= 22.
3. Проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.
– Применяем
критерий 1, вычисляем
отношение
(10)
– задаемся
доверительной
вероятностью
P1
= 0,99 и для уровня
значимости
q1
= 1 – P1
по таблице П7
определяем
квантили
распределения
и
,
,
для
n
= 22.
– сравниваем
с
и
:
,
значит гипотеза
о нормальном
законе распределения
вероятности
результата
измерения
согласуется
с экспериментальными
данными, т.е.
результаты
наблюдений
можно считать
распределенными
нормально.
Так как
n
> 15, применяем
критерий 2.
– задаемся
доверительной
вероятностью
P2
= 0,98 и для уровня
значимости
q2
= 1 – P2
с учетом n
= 22 определяем
по таблице П8
значения m
и P*.
m
= 2; P*
= 0,97.
– для
вероятности
P*
из таблиц для
интегральной
функции нормированного
нормального
распределения
Ф(t)
определяем
значение t:
;
(11)
при Ф(t)
= 0,485 t
= 2,17;
Рассчитываем
E:
; (12)
;
Согласно
критерию 2 результаты
наблюдений
принадлежат
нормальному
закону распределения,
если не более
m
разностей
превысили E.
Из таблицы 4
видно, что ни
одна разность
не превышает
E
= 3,4566. Следовательно,
гипотеза о
нормальном
законе распределения
вероятности
результата
измерения
согласуется
с экспериментальными
данными.
Соблюдаются
оба критерия,
значит закон
можно признать
нормальным
с вероятностью
,
.
4. Определяем
стандартное
отклонение
среднего
арифметического.
Так как
закон распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
то стандартное
отклонение
определяем
как:
(13)
5. Определяем
доверительный
интервал.
Закон
распределения
вероятности
результата
измерений
признан нормальным,
поэтому доверительный
интервал для
заданной
доверительной
вероятности
P
определяется
из распределения
Стьюдента.
P
= 0,98;
;
t
= 2,33;
;
(14)
Значение
Q
будет находиться
в пределах:
3. Обработка
результатов
нескольких
серий измерений
Условие.
При многократных
измерениях
одной и той же
величины получены
две серии по
12 (nj)
результатов
измерений в
каждой. Эти
результаты
после внесения
поправок представлены
в таблице 5.
Вычислить
результат
многократных
измерений.
Исходные
данные:
Таблица 5
Серия
1 |
Серия
2 |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
№ изме-рения |
Результат
измерения |
1 |
482 |
7 |
483 |
1 |
483 |
7 |
483 |
2 |
485 |
8 |
483 |
2 |
483 |
8 |
482 |
3 |
486 |
9 |
481 |
3 |
483 |
9 |
481 |
4 |
486 |
10 |
480 |
4 |
483 |
10 |
481 |
5 |
483 |
11 |
492 |
5 |
484 |
11 |
483 |
6 |
483 |
12 |
486 |
6 |
484 |
12 |
495 |
Расчет.
1. Обрабатываем
экспериментальные
данные по алгоритму,
изложенному
в п.п. 1–3 задания
2, при этом:
– определяем
оценки результата
измерения
и среднеквадратического
отклонения
;
– обнаруживаем
и исключаем
ошибки;
– проверяем
гипотезу о
нормальности
распределения
оставшихся
результатов
измерений.
(15)
(16)
Таблица 6
Серия
1 |
Серия
2 |
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Q1i)
|
|
|
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Q2i)
|
|
|
1 |
482 |
-2,1667 |
4,6944 |
1 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
2 |
485 |
0,8333 |
0,6944 |
2 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
3 |
486 |
1,8333 |
3,3611 |
3 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
4 |
486 |
1,8333 |
3,3611 |
4 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
5 |
483 |
-1,1667 |
1,3611 |
5 |
484 |
0,2500 |
0,0625 |
6 |
483 |
-1,1667 |
1,3611 |
6 |
484 |
0,2500 |
0,0625 |
7 |
483 |
-1,1667 |
1,3611 |
7 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
8 |
483 |
-1,1667 |
1,3611 |
8 |
482 |
-1,7500 |
3,0625 |
9 |
481 |
-3,1667 |
10,0278 |
9 |
481 |
-2,7500 |
7,5625 |
10 |
480 |
-4,1667 |
17,3611 |
10 |
481 |
-2,7500 |
7,5625 |
11 |
492 |
7,8333 |
61,3611 |
11 |
483 |
-0,7500 |
0,5625 |
12 |
486 |
1,8333 |
3,3611 |
12 |
495 |
11,2500 |
126,5625 |
Σ
|
|
0
|
109,6667
|
Σ
|
|
0
|
148,2500
|
;
(17)
;
;
при n
= 12;
– сравниваем
и
с
:
и
.
Результаты
измерения Q1,11
и Q2,12
являются ошибочными,
они должны быть
отброшены.
Повторяем
вычисления,
при этом отбрасываем
измерения №1-11
и №2-12:
(18)
(19)
Таблица 7
Серия
1 |
Серия
2 |
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Q1i)
|
|
|
№ из-мерения |
Результат
измере-ния
(Q2i)
|
|
|
1 |
482 |
-1,4545 |
2,1157 |
1 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
2 |
485 |
1,5455 |
2,3884 |
2 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
3 |
486 |
2,5455 |
6,4793 |
3 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
4 |
486 |
2,5455 |
6,4793 |
4 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
5 |
483 |
-0,4545 |
0,2066 |
5 |
484 |
1,2727 |
1,6198 |
6 |
483 |
-0,4545 |
0,2066 |
6 |
484 |
1,2727 |
1,6198 |
7 |
483 |
-0,4545 |
0,2066 |
7 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
8 |
483 |
-0,4545 |
0,2066 |
8 |
482 |
-0,7273 |
0,5289 |
9 |
481 |
-2,4545 |
6,0248 |
9 |
481 |
-1,7273 |
2,9835 |
10 |
480 |
-3,4545 |
11,9339 |
10 |
481 |
-1,7273 |
2,9835 |
11 |
486 |
2,5455 |
6,4793 |
11 |
483 |
0,2727 |
0,0744 |
Σ
|
|
0
|
42,7273
|
Σ
|
|
0
|
10,1818
|
;
;
;
при n
= 11;
Сравниваем
и
с
содержание ..
462
463
464 ..
|
|
|