ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра статистики

Экономический факультет

Контрольная работа

по дисциплине: Эконометрика

Вариант №3

Выполнила студентка III курса 33 группы

Специальность: «Финансы и кредит»

заочная форма обучения сокращ.прогр.

Проверила: доц.

Москва 2009

Содержание

Задача 1.3

Задача 2.11

Задача 3.12

Список литературы.. 16

Задача 1.

По данным за два года изучаетсязависимость оборота розничной торговли (Y, млрд. руб.) от ряда факторов: X - денежные доходы населения, млрд. руб.; Х - доля доходов, используемая на покупку товаров и оплату услуг, млрд. руб.; Х - численность безработных, млн. чел.; Х - официальный курс рубля по отношению к доллару США.

Таблица №1

Задание:

1. Для заданного набора данных постройте линейную модель множественной регрессии. Оцените точность и адекватность построенного уравнения регрессии.

2. Выделите значимые и незначимые факторы в модели. Постройте уравнение регрессии со статистически значимыми факторами. Дайте экономическую интерпретацию параметров модели.

3. Для полученной модели проверьте выполнение условия гомоскедастичности остатков, применив тест Голдфельда-Квандта.

4. Проверьте полученную модель на наличие автокорреляции остатков с помощью теста Дарвина-Уотсона

5. Проверьте, адекватно ли предположение об однородности исходных данных в регрессивном смысле. Можно ли объединить выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Решение:

1. Для заданного набора данных построим линейную модель множественной регрессии.

Y_х = а + b₁ Х₁ + b₂ Х₂ + b₃ Х₃ + b₄ Х₄ + e

Таблица №2

Параметры модели рассчитаем методом наименьших квадратов:

а = - 63,12, b₁ = 0,5, b₂ = 0,98, b₃ = -1,31 и b₄ = 1,09

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Y_х = - 63,12 + 0,5Х₁ + 0,98Х₂ – 1,31Х₃ + 1,09Х₄ + e

Оценим точность полученной модели. Вычислим парные коэффициенты корреляции используя формулу:

r_{yxi =}

Сводные результаты корреляционного анализа представим в таблице:

Таблица №3

Для оценки адекватности построенного уравнения регрессии заполним следующую таблицу:

Таблица №4

Коэффициент множественной корреляции показывает, что факторы Х₁ , Х₂ , Х₃ , Х₄ , объясняют вариацию признака Y на 99,8%, а необъясненные факторы 0,2%.

С помощью t-критерия Стьюдента оценим значимость коэффициентов уравнения регрессии а, b₁ , b₂ , b₃ и b₄ :

Таблица №5

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (24 – 4 – 1 = 19) составляет 2,09, условие выполняется для коэффициентов b₁ , b₂ и b₄ , значит они существенны (значимы), соответственно коэффициент b₃ не значим.

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F = *

F = * = 945

получили F>F_табл = 2,90 для a = 0,05; m₁ = m = 4, m₂ = n – m – 1 = 19.

Поскольку F_рас >F_табл , уравнение множественной регрессии следует признать адекватным.

2. Исключим несущественные факторы Х₃ и построим уравнение зависимости (балансовой прибыли) от объясняющих переменных Х₁ , Х₂ , и Х₄ .

Построим уравнение регрессии со статистически значимыми факторами.

Y = a + b₁ X₁ + b₂ X₂ + b₄ X₄ + e

Методом наименьших квадратов найдем параметры модели:

а = - 80,81, b₁ = 0,51, b₂ = 1,06, b₄ = 0,90

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

Y_х = - 80,81 + 0,51Х₁ + 1,06Х₂ + 0,90Х₄ + e

Таблица № 6

Оценим точность и адекватность полученной модели.

Коэффициент детерминации: R² = 0,995.

Коэффициент корреляции: r_ху = 0,997.

Остаточная сумма квадратов: С = 147,69

На основе вычисления F-критерия Фишера произведем проверку значимости полученного уравнения регрессии с вероятностью 0,95:

F =

F = = 945

получили F>F_табл = 3,10 для a = 0,05; m₁ = m = 3, m₂ = n – m – 1 = 20.

Поскольку F_рас >F_табл , уравнение множественной регрессии следует признать значимым.

Экономическая интерпретация параметров модели.

b₁ = 0,51, значит при увеличении только денежных доходов населения на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,51 млрд. руб.

b₂ = 1,06, значит при увеличении только доли доходов, используемых на покупку товаров и услуг, на 1 млрд. руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 1,06 млрд. руб.

b₄ = 0,9, значит при увеличении только официального курса рубля по отношению к доллару на 1 руб. объем оборота розничной торговли в среднем вырастет на 0,9 млрд. руб.

Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

_

Х₁ 185,81

Э₁ = b₁ — = 0,51 * ———— = 0,83

Y 114,3

_

Х₂ 79,49

Э₂ = b₂ — = 1,06 * ——— = 0,74

Y 114,3

_

Х₄ 17,39

Э₄ = b₄ — = 0,9 * ——— = 0,14

Y 114,3

Они показывают, на сколько процентов изменяется зависимая переменная Y при изменении фактора Х_i на один процент.

3. Применим тест Голдфельда-Квандта для проверки гомоскедастичности остатков в полученной модели.

Упорядочим наблюдения в порядке возрастания переменной Х₁ и, исключив из рассмотрения 6 центральных наблюдения, разделим совокупность из оставшихся 18 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора Х₁ ). Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Проверка линейной регрессии на гомоскедастичность.

Таблица № 7

Получаем R = 49,69 / 5,93 = 8,38, т.к. R больше табличного значения F-критерия 5,05 при 5%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 5 для каждой остаточной суммы квадратов ((24 – 6 – 4*2) / 2), то условие Голдфельда-Квандта не выполняется, т.е. не подтверждается гомоскедастичность остатков.

4. Проверим полученную модель на наличие автокорреляции остатков помощью теста Дарбина-Уотсона.

Построим вспомогательную таблицу:

Таблица №8

При проверке независимости уровней ряда остатков определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей. Это проверяется с помощью d – критерия Дарбина-Уотсона, в соответствии с которым вычисляется коэффициент d:

.

d = 1,198959

По таблице критических точек распределения Дарбина–Уотсона для заданного уровня значимости , числа наблюдений и количества объясняющих переменных m определить два значения: d _н - нижняя граница и d _в - верхняя граница.

В нашем случае модель содержит 3 объясняющие переменные (m =3), нижняя и верхняя границы равны соответственно d _н = 1,10 и d _в = 1,66.

Расчетное значение d-статистики лежит в интервале 0≤d≤d _н . Следовательно, в ряду остатков существует положительная автокорреляция.

5. Проверим адекватность предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле. Можно ли объединить две выборки (по первым 12 и остальным наблюдениям) в одну и рассматривать единую модель регрессии Y по Х?

Для проверки предположения об однородности исходных данных в регрессионном смысле применим тест Чоу.

Разделим совокупность наблюдений на две группы: первые 12 наблюдений и последние 12 наблюдений. Определим по каждой из групп уравнение регрессии и остаточной суммы квадратов.

Таблица №9

Таким образом, С₁ = 17,29, С₂ = 22,09.

Остаточная сумма квадратов по кусочно-линейной модели:

С_кл = С₁ + С₂ = 17,29 + 22,09 = 39,38

Соответствующее ей число степеней свободы составит 16

Остаточная сумма квадратов единого уравнения тренда: С = 147,69

Сокращение остаточной дисперсии при переходе от единого уравнения к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

ΔС = С – С_кл = 147,69 – 39,38 = 108,31

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определим фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

F_рас = = = 11,0

Получили F_рас > F_табл = 3,01 значит, гипотеза о структурной стабильности тенденции не принимается, а влияние структурных изменений на динамику Y признаем значимым.

Задача 2.

Модель макроэкономической производственной функции описывается следующим уравнением:

lnY = -3,52 + 1,53lnK + 0,47lnL + ε , R ² = 0,875.

(2,43) (0,55) (0,09) F = 237,4

В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии.

Задание :

1. Оцените значимость коэффициентов модели по t-критерию Стьюдента и сделайте вывод о целесообразности включения факторов в модель.

2. Запишите уравнение в степенной форме и дайте интерпретацию параметров.

3. Можно ли сказать, что прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда?

Решение:

1. Коэффициент детерминации =0,875, показывает, что данная модель объясняет 87,5% вариацию ВНП, а необъясненные факторы – 12,5%.

Значимость коэффициентов модели b₀ , b₁ , b₂ оценим с использованием t-критерия Стьюдента:

t_{b 0} = -3,52 / 2,43 = -1,45

t_{b 1} = 1,53 / 0,55 = 2,78

t_{b 2} = 0,47 / 0,09 = 5,22

Табличное значение t - критерия при 5% уровне значимости составляет 2,16. так как выполняется только для коэффициентов b₁ и b₂ , то коэффициенты модели b₁ и b₂ существенны (значимы).

Таким образом, целесообразно включение в модель обоих факторов (затраты капитала и затраты труда).

2. Запишем уравнение в степенной форме:

Y = е ^-3,52 * К^1,53 * L^0,47 * ε¹

Интерпретация параметров:

b₁ = 1,53, значит при увеличении только затрат капитала на 1% ВНП в среднем увеличится на 1,5% (1,01^1,53 = 1,015);

b₂ = 0,47, значит при увеличении только затрат труда на 1% ВНП вырастет в среднем на 0,5% (1,01^,47 = 1,005).

3. Прирост ВНП в большей степени связан с приростом затрат капитала, нежели с приростом затрат труда, это видно из интерпретации параметров.

Задача 3.

Структурная форма модели имеет вид:

где: C_t – совокупное потребление в период t ,

Y_t – совокупный доход в период t ,

I_t – инвестиции в период t ,

Т _t – налоги в период t ,

G_t – государственные расходы в период t ,

Y_{t -1} – совокупный доход в период t -1 .

Задание:

1. Проверьте каждое уравнение модели на идентифицируемость, применив необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

2. Запишите приведенную форму модели.

3. Определите метод оценки структурных параметров каждого уравнения.

Решение:

1 уравнения – функция потребления

2 уравнения – функция инвестиций

3 уравнения – функция налога

4 уравнения – тождество дохода

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое уравнения системы на необходимое и достаточное условия идентифицируемости.

В модели четыре эндогенные переменные (С_t , I_t , T_t , Y_t ) и две предопределенных переменных – одна экзогенная (G_t ) и одна лаговая (Y_{t -1} ). Последнее уравнение представляет собой тождество, поэтому практически статистическое решение необходимо только для первых трех уравнений системы, которые необходимо проверить на идентифицируемость.

1. Обозначим через Н число эндогенных переменных в уравнении системы и через D число экзогенных переменных, отсутствующих в уравнении системы.

1 уравнения

С_t = а₁ + b₁₁ Y_t + b₁₂ T_t + e₁

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы неидентифицируемо, ибо оно содержит Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие (D + 1 = Н), однако, не выполняется достаточное условие идентификации, ранг матрицы равен 2 < 3, что видно в следующей таблице:

2 уравнения

I_t = а₂ + b₂₁ Y_{t -1} + e₂

Второе уравнение системы сверхидентифицируемо: Н = 1 и D = 1, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

3 уравнения

T_t = а₃ + b₃₁ Y_t + e₃

Третье уравнение системы также сверхидентифицируемо: Н = 2 и D = 2, т.е. счетное правило выполнено: D + 1 > Н, также выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и определитель не равен 0:

Таким образом, структурная модель неидентифицируема, поскольку в системе имеются неидентифицируемые уравнения.

2. Запишем приведенную форму модели.

С_t = δ₁ + δ₁₁ G_t + δ₁₂ Y_{t -1} + ζ₁

I_t = δ₂ + δ₂₁ G_t + δ₂₂ Y_t-1 + ζ₂

T_t = δ₃ + δ₃₁ G_t + δ₃₂ Y_t-1 + ζ₃

Y_t = δ₄ + δ₄₁ G_t + δ₄₂ Y_t-1 + ζ₄

3. Метод оценки структурных параметров первого уравнения системы – метод максимального правдоподобия, а второго и третьего уравнений системы - двухшаговый метод наименьших квадратов.

Список литературы

1. «Практикум по эконометрике: Учебное пособие», И.И. Елисеева, С.В, Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; под ред. И.И. Елисеевой, – М.: Финансы и статистика, 2005;

2. «Эконометрика: учебник», под ред. И.И. Елисеевой, - М.: «Финансы и статистика», 2008;

3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А., «Эконометрика: начальный курс», - М.: «Дело», 2004;

4. Орлова И.В., «Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в среде EXCEL. Практикум: Учебное пособие для вузов», – М.: Финстатинформ, 2006.

«___»_________200_г. ____________________