Задание 1
Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).
Требуется:
1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a
1
=0,3; a
2
=0,6; a
3
=0,3.
2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d
-критерию (критические значения d
1
= 1,10 и d
2
= 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r
1
= 0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
Таблица 1
Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года
t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
2
|
13
|
14
|
15
|
16
|
Y(t)
|
28
|
36
|
43
|
28
|
31
|
40
|
49
|
30
|
34
|
44
|
52
|
33
|
39
|
48
|
58
|
36
|
Решение
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
, (1)
где k
– период упреждения;
Y
р
(
t
)
— расчетное значение экономического показателя для t
-гo периода;
a
(
t
)
, b
(
t
)
и F
(
t
)
- коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t
-1
к t
;
F
(
t
+
k
-
L
)
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L
- период сезонности (для квартальных данных L
=4
, для месячных – L
=12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F
(
t
+
k
-
L
)
как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t
) коэффициентов модели производится с помощью формул:
; (2)
; (3)
. (4)
Параметры сглаживания a
1
, a
2
и a
3
подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).
Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а
(1) и b
(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t
=1-1=0). Значения а
(0) и b
(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений а
(0) и b
(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y
(
t
)
из табл. 1. Линейная модель имеет вид:
. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а
(0) и b
(0) по формулам 6 - 9:
; (6)
; (7)
; (8)
. (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а
(0) и b
(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:
Таблица 2
t
|
Y(t)
|
t-tcp
|
Y-Ycp
|
(t-tcp
)2
|
(Y-Ycp
)(t-tcp
)
|
1
|
28
|
-3,5
|
-7,625
|
12,25
|
26,6875
|
2
|
36
|
-2,5
|
0,375
|
6,25
|
-0,9375
|
3
|
43
|
-1,5
|
7,375
|
2,25
|
-11,0625
|
4
|
28
|
-0,5
|
-7,625
|
0,25
|
3,8125
|
5
|
31
|
0,5
|
-4,625
|
0,25
|
-2,3125
|
6
|
40
|
1,5
|
4,375
|
2,25
|
6,5625
|
7
|
49
|
2,5
|
13,375
|
6,25
|
33,4375
|
8
|
30
|
3,5
|
-5,625
|
12,25
|
-19,6875
|
S
|
36
|
285
|
0
|
0
|
42
|
36,5
|
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp
(
t
)
=31,714+0,869·t
. Из этого уравнения находим расчетные значения Y
р
(
t
)
и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F
(-3)
, F
(-2)
, F
(-1)
и F
(0)
для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F
(1),
F
(2),
F
(3),
F
(4)
и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y
(
t
)
и рассчитанных по линейной модели значений Yp
(
t
)
t
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Y(t)
|
28
|
36
|
43
|
28
|
31
|
40
|
49
|
30
|
Yp
(t)
|
32,583
|
33,452
|
34,321
|
35,190
|
306,060
|
36,929
|
37,798
|
38,667
|
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F
(-3)
может служить отношение фактических и расчетных значений Y
(
t
)
I квартала первого года, равное Y
(1)
/Y
р
(1)
, и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t
=5) Y
(5)/
Y
р(5)
. Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F
(-3) = [ Y
(1) / Yp
(1) + Y
(5) / Yp
(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F
(-2) = [Y
(2) / Yp
(2) + Y
(6) / Yp
(6) ] / 2 = 1,0797;
F
(-1) = [Y
(3) / Yp
(3) + Y
(7) / Yp
(7) ] / 2 = 1,2746;
F
(0) = [Y
(4) / Yp
(4) + Y
(8) / Yp
(8) ] / 2 = 0,7858.
Оценив значения а
(0),
b
(0), а также F
(-3), F
(-2), F
(-1) и F
(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.
Из условия задачи имеем параметры сглаживания a
1
=0,3; a
2
=0,6; a
3
=0,3. Рассчитаем значения Yp
(t
), a
(t
), b
(t
) и F
(t
) для t
=l.
Из уравнения 1, полагая что t
=0, k
=1, находим Y
р
(1)
:
Из уравнений 2 - 4, полагая что t
=1, находим:
;
;
.
Аналогично рассчитаем значения Yp
(
t
),
a
(
t
),
b
(
t
)
и F
(
t
)
для t
=2:
;
;
;
для t
=3:
;
;
;
для t
=4:
;
;
;
для t
=5:
Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F
(
t
-
L
)
, уточненные в предыдущем году (L
=4):
;
;
;
Продолжая аналогично для, t
= 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t
, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y
(
t
)
. В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t
равно 16.
Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса
t
|
Y
(
t
)
|
a(t)
|
b(t)
|
F(t)
|
Yp(t)
|
Абс.погр.,
E
(
t
)
|
Отн.погр.,
%
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
0
|
31,71
|
0,87
|
0,7858
|
1
|
28,0
|
32,58
|
0,87
|
0,8594
|
28,01
|
-0,01
|
0,02
|
2
|
36,0
|
33,42
|
0,86
|
1,0782
|
36,11
|
-0,11
|
0,32
|
3
|
43,0
|
34,11
|
0,81
|
1,2661
|
43,69
|
-0,69
|
1,60
|
4
|
28,0
|
35,14
|
0,87
|
0,7924
|
27,44
|
0,56
|
1,99
|
5
|
31,0
|
36,03
|
0,88
|
0,8600
|
30,95
|
0,05
|
0,16
|
6
|
40,0
|
36,97
|
0,90
|
1,0805
|
39,80
|
0,20
|
0,51
|
7
|
49,0
|
38,11
|
0,97
|
1,2778
|
47,94
|
1,06
|
2,17
|
8
|
30,0
|
38,72
|
0,86
|
19
|
30,97
|
-0,97
|
3,24
|
9
|
34,0
|
39,57
|
0,86
|
0,8596
|
34,04
|
-0,04
|
0,11
|
10
|
44,0
|
40,51
|
0,88
|
1,0839
|
43,68
|
0,32
|
0,73
|
11
|
52,0
|
41,19
|
0,82
|
1,2687
|
52,90
|
-0,90
|
1,73
|
12
|
33,0
|
42,07
|
0,84
|
0,7834
|
32,84
|
0,16
|
0,47
|
13
|
39,0
|
43,64
|
1,06
|
0,8800
|
36,88
|
2,12
|
5,43
|
14
|
48,0
|
44,58
|
1,02
|
1,0796
|
48,45
|
-0,45
|
0,95
|
15
|
58,0
|
45,64
|
1,03
|
1,2700
|
57,85
|
0,15
|
0,25
|
16
|
36,0
|
46,45
|
0,97
|
0,7783
|
36,56
|
-0,56
|
1,56
|
Проверка качества модели
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.
Проверка точности модели
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs
{E
(
t
)
}, поделенное на фактическое значение Y
(
t
)
и выраженное в процентах 100%·abs
{E
(
t
)
}/Y
(
t
)
) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.
Следовательно, условие точности выполнено.
Таблица 5
Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Квартал, t
|
Отклонение, E(
t)
|
Точки поворота
|
E(
t)
2
|
[E(t)-E(t-1)
]2
|
E(t)∙E(t-1)
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
1
|
-0,01
|
-
|
0,00
|
-
|
-
|
2
|
-0,11
|
0
|
0,01
|
0,01
|
0,00
|
3
|
-0,69
|
1
|
0,48
|
0,33
|
0,08
|
4
|
0,56
|
1
|
0,31
|
1,56
|
-0,38
|
5
|
0,05
|
1
|
0,00
|
0,26
|
0,03
|
6
|
0,20
|
0
|
0,04
|
0,02
|
0,01
|
7
|
1,06
|
1
|
1,13
|
0,74
|
0,22
|
8
|
-0,97
|
1
|
0,95
|
4,14
|
-1,03
|
9
|
-0,04
|
0
|
0,00
|
0,87
|
0,04
|
10
|
0,32
|
1
|
0,10
|
0,13
|
-0,01
|
11
|
-0,90
|
1
|
0,80
|
1,49
|
-0,29
|
12
|
0,16
|
0
|
0,02
|
1,11
|
-0,14
|
13
|
2,12
|
1
|
4,49
|
3,85
|
0,33
|
14
|
-0,45
|
1
|
0,21
|
6,62
|
-0,96
|
15
|
0,15
|
1
|
0,02
|
0,36
|
-0,07
|
16
|
-0,56
|
-
|
0,32
|
0,50
|
-0,08
|
S
|
0,88
|
10
|
8,88
|
21,98
|
-2,27
|
Проверка условия адекватности
Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E
(
t
)
должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.
Проверка случайности уровней
. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 2 табл. 5) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E
(
t
)
сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 3 табл. 5 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 3 ставится 0. В первой и последней строке гр. 3 табл. 5 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней.
Общее число поворотных точек в нашем примере равно р
= 10.
Рассчитаем значение q
:
.
Функция int
означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N
= 16
.
Если количество поворотных точек р
больше q
, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае р
= 10, q
= 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции)
. Проверку проводим двумя методами:
1) по d
-критерию Дарбина-Уотсона;
2) по первому коэффициенту автокорреляции r
(1).
1)
.
Примечание
. В случае если полученное значение больше 2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d
уточняют, вычитая полученное значение из 4. Находим уточненное значение d
`=
4-2,47=1,53
Полученное (или уточненное) значение d
сравнивают с табличными значениями d
1
и d
2
. Для нашего случая d
1
=1,08, а d
2
=1,36.
Если 0<d
<d
1
, то уровни автокоррелированы, то есть, зависимы, модель неадекватна.
Если d
1
<d
<d
2
, то критерий Дарбина-Уотсона не дает ответа на вопрос о независимости уровней ряда остатков. В таком случае необходимо воспользоваться другими критериями (например, проверить независимость уровней по первому коэффициенту автокорреляции).
Если d
2
<d
<2 , то уровни ряда остатков являются независимыми.
В нашем случае d
2
<d
`
<2 , следовательно уровни ряда остатков являются независимыми.
2)
Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения | r
(1) | < r
та6
, то уровни ряда остатков независимы. Для нашей задачи критический уровень r
та6
= 0,32. Имеем: | r
(1) | = 0,26 < r
таб
= 0,32 - значит уровни независимы.
Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по
RS
-критерию
. Рассчитаем значение RS
:
,
где Е
max
- максимальное значение уровней ряда остатков E
(
t
)
;
Emin
- минимальное значение уровней ряда остатков E
(
t
)
(гр. 2 табл. 5):
S
- среднее квадратическое отклонение.
Е
max
=2,12, Emin
=-0,97, Е
max
-Emin
= 2,12 - (-0,97) = 3,09;
Полученное значение RS
сравнивают с табличными значениями, которые зависят от количества точек N
и уровня значимости. Для N
=16 и 5%-го уровня значимости значение RS
для нормального распределения должно находиться в интервале от 3,00 до 4,21.
Так как 3,00 < 4,02 < 4,21, полученное значение RS
попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.
Расчет прогнозных значений экономического показателя
Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t
=17 по t
=20). Максимальное значение t
, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a
(
t
)
, b
(
t
)
определяется количеством исходных данных и равно 16. Рассчитав значения а
(16) и b
(16) (см. табл. 4), по формуле 1 можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp
(
t
)
. Для t
=17 имеем:
Аналогично находим Yp
(18), Yp
(19), Yp
(20):
Ha нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения цены акции на 1 год вперед. Из рисунка видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис. Сопоставление расчетных и фактических данных
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю;
- момент;
- скорость изменения цен;
- индекс относительной силы;
- %R
, %К
и %D
.
Расчеты проводить для дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Таблица 6
Дни
|
Цены
|
макс.
|
мин.
|
закр.
|
1
|
998
|
970
|
982
|
2
|
970
|
922
|
922
|
3
|
950
|
884
|
902
|
4
|
880
|
823
|
846
|
5
|
920
|
842
|
856
|
6
|
889
|
840
|
881
|
7
|
930
|
865
|
870
|
8
|
890
|
847
|
852
|
9
|
866
|
800
|
802
|
10
|
815
|
680
|
699
|
Решение.
Экспоненциальная скользящая средняя (ЕМА).
При расчете ЕМА
учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания. Однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:
,
где k
=2/(n
+1), n
– интервал сглаживания;
Ct
– цена закрытия t
-го дня;
ЕМА
t
– значения ЕМА
текущего дня t
.
Составим таблицу рассчитанных значений ЕМА
:
Таблица 7
t
|
Цена закрытия,
Ct
|
EMA
t
|
1
|
982
|
-
|
2
|
922
|
-
|
3
|
902
|
-
|
4
|
846
|
-
|
5
|
856
|
|
6
|
881
|
|
7
|
870
|
|
8
|
852
|
874,9926
|
9
|
802
|
850,6617
|
10
|
699
|
800,1078
|
Приведем алгоритм расчета.
1. Выбрать интервал сглаживания n
(в нашем случае n
= 5).
2. Вычислить коэффициент k
(k
= 2/(n
+ 1) = 2/(5 + 1) = 1/3).
3. Вычислить МА для первых 5 дней. Для этого сложим цены закрытия за первые 5 дней. Сумму разделим на 5 и запишем в графу ЕМАt
за 5-ый день.
4. Перейти на одну строку вниз по графе ЕМАt
. Умножить на k
данные по конечной цене текущей строки.
5. Данные по ЕМАt
за предыдущий день взять из предыдущей строки и умножить на (1- k
).
6. Сложить результаты, полученные на предыдущих двух шагах. Полученное значение ЕМАt
записать в графу текущей строки.
7. Повторить шаги 4, 5 и 6 до конца таблицы.
Построим график ЕМАt
.
Момент (МОМ).
Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня Ct
и цены n
дней тому назад Ct
-
n
.
,
где Ct
– цена закрытия t
-го дня;
МОМ
t
– значения МОМ
текущего дня t
.
Составим таблицу рассчитанных значений МОМ
:
Таблица 8
t
|
Цена закрытия,
Ct
|
МОМ
t
|
1
|
982
|
-
|
2
|
922
|
-
|
3
|
902
|
-
|
4
|
846
|
-
|
5
|
856
|
856-982 = -126
|
6
|
881
|
881-922 = -41
|
7
|
870
|
870-902 = -32
|
8
|
852
|
852-846 = 6
|
9
|
802
|
802-856 = -54
|
10
|
699
|
699-881 = -182
|
Построим график МОМ
t
.
Положительные значения МОМ свидетельствуют об относительном росте цен, отрицательные – о снижении. Движение графика момента вверх из зоны отрицательных значений является слабым сигналом покупки до пересечения с нулевой линией. График момента пересекает нулевую линию в районе 7-8-го дня, а затем снова снижатся.
Скорость изменения цен
. Похожий индикатор, показывающий скорость изменения цен (ROC
), рассчитывается как отношение конечной цены текущего дня к цене n
дней тому назад, выраженное в процентах.
,
где Ct
– цена закрытия t
-го дня;
R
О
Ct
– значения R
О
C
текущего дня t
.
Составим таблицу рассчитанных значений R
О
C
:
Таблица 9
t
|
Цена закрытия,
Ct
|
R
О
C
t
,
%
|
1
|
982
|
-
|
2
|
922
|
-
|
3
|
902
|
-
|
4
|
846
|
-
|
5
|
856
|
856 / 982·100 = 87,17
|
6
|
881
|
881 / 922·100 = 95,55
|
7
|
870
|
870 / 902·100 = 96,45
|
8
|
852
|
852 / 846·100 = 100,71
|
9
|
802
|
802 / 856·100 = 93,69
|
10
|
699
|
699 / 881·100 = 79,34
|
Построим график R
О
Ct
.
ROC является отражением скорости изменения цены, а также указывает направление этого изменения. Графическое отображение и правила работы ничем не отличаются от момента. В качестве нулевой линии используется уровень 100%. Этот индикатор также показал сигнал к покупке в районе 7-8-го дня.
Индекс относительной силы (
RSI
).
Наиболее значимым осциллятором, расчет которого предусмотрен во всех компьютерных программах технического анализа, является индекс относительной силы.
Для расчета применяют формулу:
,
где AU
– сумма приростов конечных цен за n последних дней;
AD
– сумма убыли конечных цен за n последних дней.
Рассчитывается RSI следующим образом (таблица 10).
1. Выбираем интервал n
(в нашем случае n
=5).
2. Начиная со 2-го дня до конца таблицы, выполняем следующую процедуру. Вычитаем из конечной цены текущего дня конечную цену предыдущего дня. Если разность больше нуля, то ее записываем в графу «Повышение цены». Иначе абсолютное значение разности записываем в графу «Понижение цены».
3. С 6-го дня и до конца таблицы заполняем графы «Суммы повышений» и «Суммы понижений». Для этого складывают значения из графы «Повышение цены» за последние 5 дней (включая текущий) и полученную сумму записываем в графу «Суммы повышений» (величина AU в формуле). Аналогично находят сумму убыли конечных цен по данным графы «Понижение цены» и записываем в графу «Суммы понижений» (величина AD в формуле).
4. Зная AU и AD, по формуле рассчитываем значение RSI и записываем в графу RSI.
Таблица 10
t
|
Цена закрытия,
Ct
|
Повышение цены
|
Понижение цены
|
Сумма повышений
|
Сумма понижений
|
RSI
|
1
|
982
|
2
|
922
|
17
|
3
|
902
|
4
|
846
|
67
|
5
|
856
|
26
|
6
|
881
|
36
|
36
|
110
|
24,66
|
7
|
870
|
22
|
36
|
115
|
23,84
|
8
|
852
|
1
|
37
|
115
|
24,34
|
9
|
802
|
38
|
75
|
48
|
60,98
|
10
|
699
|
57
|
132
|
22
|
85,71
|
Построим график RSI
.
Зоны перепроданности располагаются обычно ниже 25-20, а перекупленности – выше 75-80%. Как видно из рисунка, индекс относительной силы вышел из зоны, ограниченной линией 25%, на 7-8 день (сигнал к покупке).
Стохастические линии.
Если МОМ, ROC и RSI используют только цены закрытия, то стохастические линии строятся с использованием более полной информации. При их расчете используются также максимальные и минимальные цены. Как правило, применяются следующие стохастические линии: %
R
, %К
и %
D
.
,
где %К
t
– значение индекса текущего дня t
;
Ct
– цена закрытия t
-го дня;
L
5
и H
5
– минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий (в качестве интервала может быть выбрано и другое число дней).
Похожая формула используется для расчета %
R
:
,
где %
Rt
– значение индекса текущего дня t
;
Ct
– цена закрытия t
-го дня;
L
5
и H
5
– минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.
Индекс %
D
рассчитывается аналогично индексу %К
, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct
- L
5
) и (H
5
- L
5
) сглаживают, беря их трехдневную сумму.
Ввиду того что %D имеет большой статистический разброс, строят еще ее трехдневную скользящую среднюю – медленное %D.
Составим таблицу 11 для нахождения всех стохастических линий.
1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).
2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.
3. В графе 7 записываем (Ct
- L
5
) – разность между данными графы 4 и графы 6.
4. Графу 8 составляют значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (H
5
- Ct
).
5. Размах цен за 5 дней (H
5
- L
5
) – разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графу 9.
6. Рассчитанные по формуле значения %K заносим в графу 10.
7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле.
8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.
9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения Ct
- L
5
из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (H
5
- L
5
) из графы 9 складываем за 3 предшествующих дня и заносим в графу 13.
10. По формуле, используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графу 14.
11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й и 10-й строк.
12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графу 15.
Таблица 11
t
|
макс.
Нt
|
мин.
Lt
|
закр.
Ct
|
мак. за 5 дн.
Н5
|
мин. за 5 дн.
L5
|
Ct
- L5
|
H5
- Ct
|
H5
- L5
|
%К
t
|
%Rt
|
сумма за 3 дн. Ct
- L5
|
сумма за 3 дн. H5
– L5
|
%Dt
|
медленное%Dt
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
1
|
998
|
970
|
982
|
2
|
970
|
922
|
922
|
3
|
950
|
884
|
902
|
4
|
88
|
823
|
846
|
5
|
920
|
842
|
856
|
998
|
823
|
33
|
142
|
175
|
18,86
|
81,14
|
6
|
889
|
840
|
881
|
970
|
823
|
58
|
89
|
147
|
39,46
|
60,54
|
7
|
930
|
865
|
870
|
950
|
823
|
47
|
80
|
127
|
37,01
|
62,99
|
138
|
449
|
30,73
|
8
|
890
|
847
|
852
|
930
|
823
|
29
|
78
|
107
|
27,10
|
72,90
|
134
|
381
|
35,17
|
9
|
866
|
800
|
802
|
930
|
800
|
2
|
128
|
130
|
1,54
|
98,46
|
78
|
364
|
21,43
|
29,11
|
10
|
815
|
680
|
699
|
930
|
680
|
19
|
231
|
250
|
7,60
|
92,40
|
50
|
487
|
10,27
|
22,29
|
Построим стохастические линии:
Смысл индексов %К
и %R
состоит в том, что при росте цен цена закрытия бывает ближе к максимальной, а при падении цен наоборот – ближе к минимальной. Индексы %R
и %К
проверяют, куда больше тяготеет цена закрытия.
Задание 3
3.1.
Банк выдал ссуду, размером 500 000 руб. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. Дата выдачи и день возврата считать за один день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 10% годовых. Найти:
3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Решение
Используем формулы
;
:
3.1.1)
,
,
руб.
3.1.2)
,
,
руб.
3.1.3)
,
,
руб.
3.2.
Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 500 000 руб. Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Решение
Используем формулу:
руб.
Дробь в правой части равенства при величине S
называется дисконтным множителем
. Этот множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма ссуды в окончательной величине долга. Дисконт суммы S
равен
руб.
3.3.
Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 500 000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Решение
Используем формулы
,
.
руб.
руб.
3.4.
В кредитном договоре на сумму 500 000 руб. и сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10% годовых. Определите наращенную сумму.
Решение
Воспользуемся формулой наращения для сложных процентов:
руб.
3.5.
Ссуда, размером 500 000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10% годовых. Проценты начисляются 2 раза в год. Вычислить наращенную сумму.
Решение
Начисление процентов два раза в год, т.е. m=2. Всего имеется N = 4·2 =8 периодов начислений. По формуле начислений процентов по номинальной ставке:
находим:
руб.
3.6.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в год, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение
По формуле
находим:
, т.е. 10,25%.
3.7.
Определить какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в год, чтобы обеспечить эффективную ставку 10% годовых.
Решение
По формуле
находим:
, т.е. 9,76%
3.8.
Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 500 000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.
Решение
По формуле
находим:
руб.
3.9.
Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 500 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.
Решение
Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
руб.
Дисконт суммы S
равен:
руб.
3.10.
В течение 4 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 500 000 руб., на которые 2 раза в год начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
По формуле
находим:
руб.
|