Задача № 1
Имеются следующие выборочные данные по предприятиям одной из отраслей промышленности в отчетном году (выборка 20%-тная, механическая), млн. руб.:
Таблица 1 – Исходные данные
№
предприятия
|
Выручка от продажи продукции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
№ предприятия
|
Выручка от продажи продукции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
1
|
36,45
|
30,255
|
16
|
36,936
|
31,026
|
2
|
23,4
|
20,124
|
17
|
53,392
|
42,714
|
3
|
46,540
|
38,163
|
18
|
41,0
|
33,62
|
4
|
59,752
|
47,204
|
19
|
55,680
|
43,987
|
5
|
41,415
|
33,546
|
20
|
18,2
|
15,652
|
6
|
26,86
|
22,831
|
21
|
31,8
|
26,394
|
7
|
79,2
|
60,984
|
22
|
39,204
|
32,539
|
8
|
54,72
|
43,776
|
23
|
57,128
|
45,702
|
9
|
40,424
|
33,148
|
24
|
28,44
|
23,89
|
10
|
30,21
|
25,376
|
25
|
43,344
|
35,542
|
11
|
42,418
|
34,359
|
26
|
70,720
|
54,454
|
12
|
64,575
|
51,014
|
27
|
41,832
|
34,302
|
13
|
51,612
|
41,806
|
28
|
69,345
|
54,089
|
14
|
35,42
|
29,753
|
29
|
35,903
|
30,159
|
15
|
14,4
|
12,528
|
30
|
50,220
|
40,678
|
По исходным данным:
1. Построим статистический ряд распределения предприятий по признаку прибыль от продаж
, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Построим график полученного ряда распределения. Графически определим значения моды и медианы.
3. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
4. Вычислим среднюю арифметическую по исходным данным, сравним ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п.3 для интервального ряда распределения.
Решение:
1. Рассчитаем прибыль от продаж продукции, как разность от продажи продукции и затратами на производство и реализацию продукции
В результате получим новую таблицу:
Таблица 2 – Расчет прибыли от продаж
№ предприятия
|
Выручка от продажи продук-ции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
Прибыль от продаж
|
№ предприятия
|
Выручка от продажи продукции
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
Прибыль от продаж
|
1
|
36,45
|
30,255
|
6,195
|
16
|
36,936
|
31,026
|
5,910
|
2
|
23,4
|
20,124
|
3,276
|
17
|
53,392
|
42,714
|
10,678
|
3
|
46,54
|
38,163
|
8,377
|
18
|
41
|
33,62
|
7,380
|
4
|
59,752
|
47,204
|
12,548
|
19
|
55,68
|
43,987
|
11,693
|
5
|
41,415
|
33,546
|
7,869
|
20
|
18,2
|
15,652
|
2,548
|
6
|
26,86
|
22,831
|
4,029
|
21
|
31,8
|
26,394
|
5,406
|
7
|
79,2
|
60,984
|
18,216
|
22
|
39,204
|
32,539
|
6,665
|
8
|
54,72
|
43,776
|
10,944
|
23
|
57,128
|
45,702
|
11,426
|
9
|
40,424
|
33,148
|
7,276
|
24
|
28,44
|
23,89
|
4,550
|
10
|
30,21
|
25,376
|
4,834
|
25
|
43,344
|
35,542
|
7,802
|
11
|
42,418
|
34,359
|
8,059
|
26
|
70,72
|
54,454
|
16,266
|
12
|
64,575
|
51,014
|
13,561
|
27
|
41,832
|
34,302
|
7,530
|
13
|
51,612
|
41,806
|
9,806
|
28
|
69,345
|
54,089
|
15,256
|
14
|
35,42
|
29,753
|
5,667
|
29
|
35,903
|
30,159
|
5,744
|
15
|
14,4
|
12,528
|
1,872
|
30
|
50,22
|
40,678
|
9,542
|
2. Сначала вычислим величину интервала группировочного признака (прибыль от продаж
):
i=(х максимальное значение
–х минимальное значение
) /5 групп =
= (18,216 – 1,872)/5=3,2688 млн.руб.
Таблица 3 - Распределение предприятий по признаку прибыль от продаж
№
группы
|
Группы предприятий по прибыли от продаж
.
млн.руб.
x
|
Число предприятий
f
|
%
к итогу
|
Накоп-ленная частость
S
|
Середина интервала
x`
|
x`f
|
I
|
1,872-5,1408
|
6
|
20
|
6
|
3,5064
|
21,0384
|
II
|
5,1408-8,4096
|
13
|
43
|
19
|
6,7752
|
88,0776
|
III
|
8,4096-11,6784
|
5
|
17
|
24
|
10,044
|
50,22
|
IV
|
11,6784-14,9472
|
3
|
10
|
27
|
13,3128
|
39,9384
|
V
|
14,9472-18,216
|
3
|
10
|
30
|
16,5816
|
49,7448
|
Итого:
|
30
|
100
|
249,0192
|
Результаты группировки показывают, что наибольшая часть предприятий, т.е. 43 % имеет прибыль от продаж в размере от 5,14 до 8,41 млн.руб.
3. Построим график полученного ряда распределения:
Рис.1. Гистограмма распределения предприятий по прибыли от продаж
Мода
Мо
- это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту. Моду находим по формуле:
где:
минимальная граница модального интервала;
- величина модального интервала;
{частоты модального интервала, предшествующего и следующего за ним
= 5,1408+3,2688 *(13-6/ ((13-6)+(13-5)) =6,6662 млн.руб.
Рис.2. Графическое определение моды в распределении предприятий по прибыли от продаж
Медиана
Ме
- варианта, находящаяся в середине ряда распределения. Медиану находим по формуле:
где:
- нижняя граница медианного интервала;
- величина медианного интервала;
- полусумма частот ряда;
- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
- частота медианного интервала.
= 5,1408+3,2688*((0,5*30-6)/ 13) =7,4038 млн.руб.
Рис.3. Графическое определение медианы в распределении предприятий по прибыли от продаж
Значит, наиболее часто встречающееся значение находится в пределе 6,67 млн.руб., а серединное значение 7,4 млн.руб.
4. Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения предприятий по прибыли от продаж: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
Средняя арифметическая взвешенная
xcр
= ∑xf/∑f = 249,02/30 = 8,3 млн.руб. в среднем составляет прибыль от продаж
Среднеквадратическое отклонение
σ =
=
= 3,9347 млн. руб.
(на данную величину в среднем отклоняются значения ряда распределения от среднего значения)
Таблица 4
№
группы
|
Группы предприятий по прибыли от продаж
.
млн.руб.
x
|
Число предприятий
f
|
%
к итогу
|
Середина интервала
x`
|
|xi
-xcp
|
xcp=
8,3
|
(xi
-xcp
)2
*f
|
I
|
1,872-5,1408
|
6
|
20
|
3,5064
|
4,7936
|
137,8716
|
II
|
5,1408-8,4096
|
13
|
43
|
6,7752
|
1,5248
|
30,2252
|
III
|
8,4096-11,6784
|
5
|
17
|
10,044
|
1,744
|
15,20768
|
IV
|
11,6784-14,9472
|
3
|
10
|
13,3128
|
5,0128
|
75,38449
|
V
|
14,9472-18,216
|
3
|
10
|
16,5816
|
8,2816
|
205,7547
|
Итого:
|
30
|
100
|
464,4437
|
Дисперсия
Коэффициент вариации
υ = σ/xcp
*100 = 3,9347/8,3 * 100 = 47,41 % - значение характеризующее однородность ряда. Так как коэффициент вариации превышает 33 %, то делаем вывод, что наш ряд распределения не однороден.
Выводы:
1. Средняя величина прибыли от продажи продукции на предприятии составляет 8,301 млн. руб.
2. Среднеквадратическое отклонение показывает, что значение признака в совокупности отклоняется от средней величины в ту или иную сторону в среднем на 3,9347 млн. руб
3. Совокупность данных неоднородна, т.к. коэффициент вариации больше 33%.
Задача № 2
Связь между признаками – затраты на производство и реализацию продукции и прибыль от продаж
.
1. Установим наличие и характер связи между признаками затраты на производство и реализацию продукции
и прибыль от продаж
, образовав заданное число групп с равными интервалами по обоим признакам, методами:
а) аналитической группировки,
б) корреляционной таблицы.
Решение:
1. Прибыль предприятия напрямую зависит от затрат на производство и реализацию продукции, тогда обозначим затраты независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие, то на прибыль предприятия, кроме затрат на производство и реализацию продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать, что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по затратам, а интервал высчитаем по формуле:
е=(хmax
– xmin
)/k,
где k
– число выделенных интервалов.
е
=(60,984-12,528)/5=9,691 млн.руб.
Получим следующие интервалы:
12,528-22,219; 22,219-31,910; 31,910-41,602; 41,602-51,293; 51,293-60,984
Таблица 5
|
Группировка предприятий по затратам, млн.руб.
|
№ предприятия
|
Затраты на пр-во и реализ., млн.руб
Х
|
Прибыль млн.руб.
У
|
У2
|
I
|
12,528-22,219
|
15
|
12,528
|
1,872
|
3,504384
|
20
|
15,652
|
2,548
|
6,492304
|
2
|
20,124
|
3,276
|
10,73218
|
|
3
|
48,304
|
7,696
|
20,7289
|
В среднем на 1 предприятие
|
16,101
|
2,565
|
II
|
22,219-31,910
|
6
|
22,81
|
4,029
|
16,23284
|
24
|
23,89
|
4,55
|
20,7025
|
10
|
25,376
|
4,834
|
23,36756
|
21
|
26,394
|
5,406
|
29,22484
|
14
|
29,753
|
5,667
|
32,11489
|
29
|
30,159
|
5,744
|
32,99354
|
1
|
30,255
|
6,195
|
38,37803
|
16
|
31,026
|
5,91
|
34,9281
|
|
8
|
219,663
|
42,335
|
227,942
|
В среднем на 1 предприятие
|
27,458
|
5,292
|
III
|
31,910-41,602
|
22
|
32,539
|
6,665
|
44,42223
|
9
|
33,148
|
7,276
|
52,94018
|
5
|
33,546
|
7,869
|
61,92116
|
18
|
33,62
|
7,38
|
54,4644
|
27
|
34,302
|
7,53
|
56,7009
|
11
|
34,359
|
8,059
|
64,94748
|
25
|
35,542
|
7,802
|
60,8712
|
3
|
38,163
|
8,377
|
70,17413
|
30
|
40,678
|
9,542
|
91,04976
|
|
9
|
315,897
|
70,5
|
557,491
|
В среднем на 1 предприятие
|
35,10
|
7,833
|
IV
|
41,602-51,293
|
13
|
41,806
|
9,806
|
96,15764
|
17
|
42,714
|
10,678
|
114,0197
|
8
|
43,776
|
10,944
|
119,7711
|
19
|
43,987
|
11,693
|
136,7262
|
23
|
45,702
|
11,426
|
130,5535
|
4
|
47,204
|
12,548
|
157,4523
|
12
|
51,014
|
13,561
|
183,9007
|
|
7
|
316,203
|
80,656
|
938,581
|
В среднем на 1 предприятие
|
45,172
|
11,522
|
V
|
51,293-60,984
|
28
|
54,089
|
15,256
|
232,7455
|
26
|
54,454
|
16,266
|
264,5828
|
7
|
60,974
|
18,216
|
331,8227
|
|
3
|
169,517
|
49,738
|
829,151
|
В среднем на 1 предприятие
|
56,506
|
16,579
|
|
ИТОГО
|
1069,615
|
250,925
|
2573,89
|
В среднем
|
35,65
|
8,364
|
Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу 6:
Таблица 6
Группы предприятий по затратам, млн.руб
|
Число предприятий
|
Затраты на производство и реализацию продукции
|
Прибыль, млн.руб
|
Всего
|
В среднем на одно пр-тие
|
Всего
|
В среднем на одно пр-тие
|
12,528-22,219
|
3
|
48,304
|
16,101
|
7,696
|
2,565
|
22,219-31,910
|
8
|
219,663
|
27,458
|
42,335
|
5,292
|
31,910-41,602
|
9
|
315,897
|
35,1
|
70,5
|
7,833
|
41,602-51,293
|
7
|
316,203
|
45,172
|
80,656
|
11,522
|
51,293-60,984
|
3
|
169,517
|
56,506
|
49,768
|
16,579
|
∑
|
30
|
1070
|
35,65
|
250,925
|
8,364
|
По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом затрат на производство и реализацию продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
2. Строим расчетную таблицу 7:
Таблица 7
Группы предприятий по затратам, млн.руб.
|
Число пр-тий
|
Прибыль, млн.руб
|
|
|
|
f
|
Всего
|
В среднем на одно пр-тие,
‾yi
|
12,528-22,219
|
3
|
7,696
|
2,565
|
-5,799
|
33,628
|
100,885
|
22,219-31,910
|
8
|
42,335
|
5,292
|
-3,072
|
9,437
|
75,497
|
31,910-41,602
|
9
|
70,5
|
7,833
|
-0,531
|
0,282
|
2,538
|
41,602-51,293
|
7
|
80,656
|
11,522
|
3,158
|
9,972
|
69,812
|
51,293-60,984
|
3
|
49,768
|
16,579
|
8,215
|
67,486
|
202,459
|
Сумма
|
30
|
250,925
|
8,364
|
|
|
451,19
|
Вычисляем коэффициент детерминации по формуле:
где
- межгрупповая дисперсия, находящаяся по формуле:
- общая дисперсия результативного признака, находящаяся по формуле:
Теперь находим межгрупповую дисперсию:
=451,19/30=15,04
Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать:
y2
=2573,89/30=85,796
=85,796-(8,364)2
=15,84
Вычисляем коэффициент детерминации:
η2
=εy
2
/δy
2
η2
=15,04/15,84=0,95 или 95%
Следовательно, на 95% вариация прибыли предприятия зависит от вариации затрат на производство и реализацию продукции и на 5% зависит от неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составляет:
η
= √0,95=0,975
Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между затратами и суммой прибыли.
Задача № 3
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:
1. Ошибку выборки средней суммы прибыли от продаж и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли в генеральной совокупности.
2. Ошибку выборки доли организаций с суммой прибыли 14,948 млн. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение:
Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле:
если Р=0,683, то t=1. Т.к. выборка механическая 20%-ная, то N=150
Δх
=1*√(15,472/30)*(1-30/150)=0.7млн. руб.
Ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие Δх
=0,7млн.руб.
Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :
8,301- 0,7≤ ≤8,301+0,7
7,601≤ ≤9.001
С вероятностью 0,683 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах от 7,601 млн. руб. до 9,001 млн. руб.
Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :
Выборочная доля составит:
w
=3/30=0,1 или 10%
Ошибку выборки определяем по формуле:
|