ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ
Контрольная работа
По «Экономико-математическим методам»
Фисай А.А.
студента2-го курса
заочной формы обучения
Москва 2009г
Вариант 2.
№1.
Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:
х
1
+х
2
-х
3
+2х
4
=2
-х
1
+х
2
-3х
3
-х
4
=1
3х
1
-х
2
+5х
3
+4х
4
=3.
Решение:
х
1
|
х
2
|
х
3
|
х
4
|
в
i
|
|
1
|
-1
|
2
|
2
|
-1
|
1
|
-3
|
-1
|
1
|
3
|
-1
|
5
|
4
|
3
|
1
|
1
|
-1
|
2
|
2
|
0
|
|
-4
|
1
|
3
|
0
|
-4
|
8
|
-2
|
-3
|
1
|
0
|
1
|
|
|
0
|
1
|
-2
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
3
|
+II;∙ (-3)+III
∙ 2+III; :2
Получим эквивалентную систему уравнений
Последнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.
№2
Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min
f
(
x
)
= -6x
1
+9x
2
х
1
, х
2
≥0.
Решение.
(*)
х
1
, х
2
≥0.
Построим граничные прямые
(1)
х1
0 3
х2
3 2
(2)
х1
0 1
х2
5 7
(3)
х1
0 0
х2
0 2
Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))
Получим область решений Д.
Построим
=(-6;9);
- линия уровня,
. Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).
Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X*
составляем величину, равную 0.
Ответ:
(3;2) +
(6;4),
; min
№3.
Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min
f
(
)
= - 2x
1
- 3x
2
Решение.
f
(
)
= - 2x
1
- 3x
2
+ 0х
3
+ 0х
4
+0х
5
min
xj
0, j
=
i
|
АБ
|
СБ
|
В
|
-2
|
-3
|
0
|
0
|
0
|
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
А5
|
1
2
3
|
А3
А4
А5
|
0
0
0
|
15
9
4
|
3
1
1
|
3
0
|
1
0
0
|
0
1
0
|
0
0
1
|
5
3min
-
|
m+1
|
0
|
2
|
3
|
0
|
0
|
0
|
1
2
3
|
А3
А2
А5
|
0
-3
0
|
6
3
4
|
⅓
1
|
0
1
0
|
1
0
0
|
-1
⅓
0
|
0
0
1
|
3min
9
4
|
m+1
|
-9
|
1
|
0
|
0
|
-1
|
0
|
1
2
3
|
А1
А2
А5
|
-2
-3
0
|
3
2
1
|
1
0
0
|
0
|
|
-
|
0
|
m+1
|
-12
|
0
|
0
|
0
|
-
|
-
|
0
|
Все полученные оценки не положительны. План оптимален.
X* = (х
1
= 3; х
2
= 2)
f min
= f
(X*) = -2 ∙ 3 – 3 ∙ 2 = -12,
f min
= -12.
Ответ:
X* = (х
1
= 3; х
2
= 2);
f
min
= f
(X*) = -12.
№4.
Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В –
вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):
А =
(300; 350; 160; 200), С =
;
В =
(400; 400; 200),
Решение
н1
=0 н2
=1 н3
=-1
в
j
aj
|
400
|
400
|
200
|
300
|
4
|
300 1
|
2
|
350
|
50 3
|
100 4
|
200 2
|
150
|
150 1
|
3
|
1
|
200
|
200 1
|
4
|
3
|
u1
= 0
u2
= 3
u3
= 1
u4
= 1
Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n – 1 = 4 + 3 – 1 = 6.
Определим потенциалы:
u1
+ н2
= 1; u2
+ н1
= 3; u2
+ н2
= 4; u2 +
н3
= 2;
u3
+ н1
= 1; u4
+ н1
= 1.
Пусть u1
= 0, тогда u2
= 3; u1
= 0; u3
= -1; u3
= 1; u4
= 1.
Оценки свободных клеток
Ѕ11
=4-(0+0)>0; Ѕ13
=2-(0-1)>0; Ѕ32
=3-(1+1)>0;
Ѕ33
=1-(1-1)>0; Ѕ42
=4-(1+1)>0; Ѕ43
=3-(1-1)>0.
План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозок
X* =
;
минимальная стоимость Z min
= Z (X*) = 300∙1 + 50∙3 + 100∙4 + ∙200∙2 + + 150∙1 + 200∙1 =∙1600.
№5.
Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:
Тип
ресурса
|
Нормы затрат ресурсов на единицу продукции
|
Наличие
ресурсов
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Сырье
Рабочее время
Оборудование
Прибыль на единицу продукции
|
3
22
10
30
|
5
14
14
25
|
2
18
8
8
|
4
30
16
16
|
60
400
128
|
Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.
Решение.
Обозначим через х
1
, х
2
, х
3
, х
4
объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х
1
+ 25х
2
+ 8х
3
+ 16х
4
х
j
0
(j
=
).
Перейдем к задаче в каноническом виде:
х
j
0
(j
=
).
i
|
АБ
|
СБ
|
В
|
30
|
25
|
8
|
16
|
0
|
0
|
0
|
|
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
А5
|
А6
|
А7
|
1
2
3
|
А5
А6
А7
|
0
0
0
|
60
400
128
|
3
22
|
5
14
14
|
2
18
8
|
4
30
16
|
1
0
0
|
0
1
0
|
0
0
1
|
20
12,8
|
m+1
|
0
|
-30
|
-25
|
-8
|
-16
|
0
|
0
|
0
|
min
Z (X) = 30х
1
+ 25х
2
+ 8х
3
+ 16х
4
+ 0х
5
+0х
6
+0х
7
max
i
|
АБ
|
СБ
|
В
|
30
|
25
|
8
|
16
|
0
|
0
|
0
|
| |