МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
Эконометрика
Липецк 2009
Задача 1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (
, млн. руб.) от объема капиталовложений (
, млн. руб.)
Требуется:
1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков
; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью
- критерия Фишера
, найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости
, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения
точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
· гиперболической;
· степенной;
· показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
|
17 |
22 |
10 |
7 |
12 |
21 |
14 |
7 |
20 |
3 |
|
26 |
27 |
22 |
19 |
21 |
26 |
20 |
15 |
30 |
13 |
Решение
1. Уравнение линейной регрессии имеет вид: y
=
a
+
b
*
x
.
Данные, используемые для расчета параметров a
иb
линейной модели, представлены в табл. 1:
Таблица 1
n
|
х
|
у
|
ух
|
хх
|
y-ycp
|
(у-уср
)2
|
х-хср
|
(х-хср
)2
|
Упр
|
ε
|
ε2
|
εt
-ε
t-1
|
(εt
-ε
t-1
)2
|
1 |
17 |
26 |
442 |
289 |
4,1 |
16,81 |
3,7 |
13,69 |
27,71 |
1,71 |
2,92 |
2 |
22 |
27 |
594 |
484 |
5,1 |
26,01 |
8,7 |
75,69 |
32,26 |
5,26 |
27,67 |
3,55 |
12,60 |
3 |
10 |
22 |
220 |
100 |
0,1 |
0,01 |
-3,3 |
10,89 |
21,34 |
-0,66 |
0,44 |
-5,92 |
35,05 |
4 |
7 |
19 |
133 |
49 |
-2,9 |
8,41 |
-6,3 |
39,69 |
18,61 |
-0,39 |
0,15 |
0,27 |
0,07 |
5 |
12 |
21 |
252 |
144 |
-0,9 |
0,81 |
-1,3 |
1,69 |
23,16 |
2,16 |
4,67 |
2,55 |
6,50 |
6 |
21 |
26 |
546 |
441 |
4,1 |
16,81 |
7,7 |
59,29 |
31,35 |
5,35 |
28,62 |
3,19 |
10,18 |
7 |
14 |
20 |
280 |
196 |
-1,9 |
3,61 |
0,7 |
0,49 |
24,98 |
4,98 |
24,80 |
-0,37 |
0,14 |
8 |
7 |
15 |
105 |
49 |
-6,9 |
47,61 |
-6,3 |
39,69 |
18,61 |
3,61 |
13,03 |
-1,37 |
1,88 |
9 |
20 |
30 |
600 |
400 |
8,1 |
65,61 |
6,7 |
44,89 |
30,44 |
0,44 |
0,19 |
-3,17 |
10,05 |
10 |
3 |
13 |
39 |
9 |
-8,9 |
79,21 |
-10,3 |
106,09 |
14,97 |
1,97 |
3,88 |
1,53 |
2,34 |
сумма |
133 |
219 |
3211 |
2161 |
264,90 |
392,1 |
24,43 |
106,37 |
0,26 |
78,80 |
ср. знач. |
13,3 |
21,9 |
321,1 |
216,1 |
;
Уравнение линейной регрессии имеет вид: у=
11,78+0,76х
С увеличением объема капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем на 76 тыс. руб. Это свидетельствует об эффективности работы предприятия.
2. Вычисленные остатки и остаточная сумма квадратов представлены в таблице 1. Дисперсию остатков
оценим по формуле:
–
стандартная ошибка оценки.Построим график остатков (рис. 1)
Рисунок 1
3. Проверим выполнение предпосылок МНК на основе анализа остаточной компоненты (см. табл. 1).
Независимость остатков проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона по формуле
, т. к.
=0,74, d1
=1,08, d2
=1,36, т.е. d<d1
, значитряд остатковсодержит автокорреляцию.
Для обнаружения гетероскедастичности используем тест Голдфельда – Квандта:
1) Упорядочим наблюдения по мере возрастания переменной х.
2) Разделим совокупность на 2 группы по 5 наблюдений и для каждой определим уравнение регрессии. Воспользуемся инструментом Регрессия пакета Анализ данных, полученные результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
n
|
у1
|
Предсказанное у1
|
е1
|
е12
|
у2
|
Предсказанное у2
|
е2
|
е22
|
1 |
13 |
13,81 |
-0,81 |
0,66 |
22 |
22,46 |
-0,46 |
0,21 |
2 |
15 |
16,52 |
-1,52 |
2,30 |
26 |
25,73 |
0,27 |
0,07 |
3 |
19 |
16,52 |
2,48 |
6,16 |
26 |
27,60 |
-1,60 |
2,57 |
4 |
20 |
21,25 |
-1,25 |
1,57 |
27 |
28,07 |
-1,07 |
1,15 |
5 |
21 |
19,90 |
1,10 |
1,21 |
30 |
27,14 |
2,86 |
8,20 |
сумма |
11,90 |
12,20 |
3) Определим остаточную сумму квадратов для первой
и второй регрессии
.
4) Вычислим отношение
, т. к. Fнабл
=0,98, Fкр(α,к1,к2)
= Fкр(0,05,5,5)
=5,05 (из таблицы критерия Фишера), Fнабл
<Fкр,
то гетероскедастичность отсутствует, предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величии не нарушена.
4. Проверим значимость параметров уравнения регрессии с помощью t‑критерия Стьюдента
Расчетные значения t‑критерия Стьюдента для коэффициента уравнения регрессии а1
приведены в четвертом столбце протокола Excel, полученном при использовании инструмента Регрессия (рис. 2).
Рисунок 2
Табличное значение t‑критерия Стьюдента 2,30. tрасч
=6,92, так как tрасч
>tтабл
, то коэффициент а1
значим.
5. Значение коэффициента детерминации (R – квадрат) можно найти в таблице Регрессионная статистика (рис. 2). Коэффициент детерминации/ Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 85,7% вариации зависимой переменной (объем выпуска продукции) учтено в модели и обусловлено влиянием включенного фактора (объем капиталовложений).
Значение F– критерия Фишера можно найти в таблице протокола Excel (рис. 2), Fрасч
=47,83. Табличное значение F– критерия при доверительной вероятности 0,05 равно 4,46, т. к. Fрасч
>Fтабл
, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации? в среднем расчетные значения у
для линейной модели отличаются от фактических на 1% – хорошее качество модели.
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя
при уровне значимости
, если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
Модель зависимости объема выпуска продукции от величины капиталовложений у=
11,78+0,76х.
Для того чтобы определить среднее значение фактора У при 80% максимального значения фактора Х, необходимо подставить Хпрогн
=Хmax
*0,8=22*0,8=17,6 в полученную модель: Упрогн
=11,78+0,76*17,6=25,17
Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Критерий Стьюдента (при v=n -2=10–2=8) равен 1,8595. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
,
таким образом, прогнозное значение будет находиться между:
Yпрогн(80 %
max
)
+= 25,17+7,26=32,43 – верхняя граница прогноза,
Yпрогн(80 %
max
)
– =25,17–7,26=17,91 – нижняя граница прогноза.
7. Графическое представление (рис. 3) модели парной регрессии зависимости объема выпуска продукции от объема капиталовложений: фактические и модельные значения
точки прогноза.
Рисунок 3
8. Уравнение гиперболической функции: y
=
a
+
b
/
x
. Произведем линеаризацию путем замены Х=1/х
. В результате получим линейное уравнение y
=
a
+
b
Х.
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 3
Таблица 3
n
|
х
|
у
|
Х
|
уХ
|
Х2
|
y-ycp
|
(у-уср
)2
|
Упр
|
ε
|
ε2
|
/ε/у/*100%
|
1 |
17 |
26 |
0,05882 |
1,52941 |
0,0035 |
4,1 |
16,81 |
24,3846 |
1,62 |
2,61 |
6,213 |
2 |
22 |
27 |
0,04545 |
1,22727 |
0,0021 |
5,1 |
26,01 |
25,066 |
1,93 |
3,74 |
7,163 |
3 |
10 |
22 |
0,10000 |
2,20000 |
0,0100 |
0,1 |
0,01 |
22,2859 |
-0,29 |
0,08 |
1,299 |
4 |
7 |
19 |
0,14286 |
2,71429 |
0,0204 |
-2,9 |
8,41 |
20,1015 |
-1,10 |
1,21 |
5,797 |
5 |
12 |
21 |
0,08333 |
1,75000 |
0,0069 |
-0,9 |
0,81 |
23,1354 |
-2,14 |
4,56 |
10,168 |
6 |
21 |
26 |
0,04762 |
1,23810 |
0,0023 |
4,1 |
16,81 |
24,9557 |
1,04 |
1,09 |
4,016 |
7 |
14 |
20 |
0,07143 |
1,42857 |
0,0051 |
-1,9 |
3,61 |
23,7422 |
-3,74 |
14,00 |
18,711 |
8 |
7 |
15 |
0,14286 |
2,14286 |
0,0204 |
-6,9 |
47,61 |
20,1015 |
-5,10 |
26,02 |
34,010 |
9 |
20 |
30 |
0,05000 |
1,50000 |
0,0025 |
8,1 |
65,61 |
24,8344 |
5,17 |
26,68 |
17,219 |
10 |
3 |
13 |
0,33333 |
4,33333 |
0,1111 |
-8,9 |
79,21 |
10,3929 |
2,61 |
6,80 |
20,054 |
сумма |
219 |
20,0638 |
0,1843 |
265 |
219 |
0,00 |
86,80 |
124,65 |
ср. знач. |
13,3 |
21,9 |
0,10757 |
2,00638 |
0,0184 |
12,465 |
,
получим следующее уравнение гиперболической модели: ỹ =27,38–50,97/х
.
Уравнение степенной модели имеет вид: у=а*х
b
. Для линеаризации переменных произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg
a
+blgx
. Обозначим Y=lgy', X=lgx, A=lga
. Тогда уравнение примет вид Y=A+bX
– линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 4:
Таблица 4
n
|
у
|
Y=lg(y)
|
х
|
X=lg(x)
|
YX
|
X2
|
yпр
|
ε
|
ε2
|
|ε/y|*100%
|
1 |
26 |
1,415 |
17 |
1,230 |
1,741 |
1,514 |
24,823 |
1,177 |
1,385 |
0,045 |
2 |
27 |
1,431 |
22 |
1,342 |
1,921 |
1,802 |
27,476 |
-0,476 |
0,226 |
0,018 |
3 |
22 |
1,342 |
10 |
1,000 |
1,342 |
1,000 |
20,142 |
1,858 |
3,452 |
0,084 |
4 |
19 |
1,279 |
7 |
0,845 |
1,081 |
0,714 |
17,503 |
1,497 |
2,242 |
0,079 |
5 |
21 |
1,322 |
12 |
1,079 |
1,427 |
1,165 |
21,641 |
-0,641 |
0,411 |
0,031 |
6 |
26 |
1,415 |
21 |
1,322 |
1,871 |
1,748 |
26,977 |
-0,977 |
0,955 |
0,038 |
7 |
20 |
1,301 |
14 |
1,146 |
1,491 |
1,314 |
22,996 |
-2,996 |
8,975 |
0,150 |
8 |
15 |
1,176 |
7 |
0,845 |
0,994 |
0,714 |
17,503 |
-2,503 |
6,263 |
0,167 |
9 |
30 |
1,477 |
20 |
1,301 |
1,922 |
1,693 |
26,464 |
3,536 |
12,505 |
0,118 |
10 |
13 |
1,114 |
3 |
0,477 |
0,531 |
0,228 |
12,537 |
0,463 |
0,214 |
0,036 |
сумма |
219 |
13,273 |
10,589 |
14,322 |
11,891 |
0,939 |
36,630 |
0,764 |
ср. знач. |
1,327 |
1,059 |
1,432 |
1,189 |
0,076 |
Уравнение регрессии будет иметь вид: У=0,9103+0,3938*Х. Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения: ỹ=100,9103
*х0,3938
.
Получим уравнение степенной модели регрессии: ỹ=8,1339*х0,3938
.
Уравнение показательной кривой: ỹ=а*bx
.
Осуществим логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lg
a
+x*lgb
. Обозначим Y=lgy', В=lgb, A=lga.
Получим линейное уравнение регрессии: Y=A+Вх
. Рассчитаем его параметры, используя данные табл. 5
Таблица 5
n
|
у
|
Y=lg(y)
|
х
|
Ух
|
х2
|
У-Уср
|
(У-Уср
)2
|
х-хср
|
(х-хср
)2
|
Упр
|
ε
|
ε2
|
|ε/y|*100%
|
1 |
26 |
1,415 |
17 |
24,0545 |
289 |
0,088 |
0,008 |
3,7 |
13,69 |
24,365 |
1,635 |
2,673 |
26 |
2 |
27 |
1,431 |
22 |
31,49 |
484 |
0,104 |
0,011 |
8,7 |
75,69 |
29,318 |
-2,318 |
5,375 |
27 |
3 |
22 |
1,342 |
10 |
13,4242 |
100 |
0,015 |
0,000 |
-3,3 |
10,89 |
18,804 |
3,196 |
10,21 |
22 |
4 |
19 |
1,279 |
7 |
8,95128 |
49 |
-0,049 |
0,002 |
-6,3 |
39,69 |
16,827 |
2,173 |
4,720 |
19 |
5 |
21 |
1,322 |
12 |
15,8666 |
144 |
-0,005 |
0,000 |
-1,3 |
1,69 |
20,248 |
0,752 |
0,565 |
21 |
6 |
26 |
1,415 |
21 |
29,7144 |
441 |
0,088 |
0,008 |
7,7 |
59,29 |
28,253 |
-2,253 |
5,076 |
26 |
7 |
20 |
1,301 |
14 |
18,2144 |
196 |
-0,026 |
0,001 |
0,7 |
0,49 |
21,804 |
-1,804 |
3,255 |
20 |
8 |
15 |
1,176 |
7 |
8,23264 |
49 |
-0,151 |
0,023 |
-6,3 |
39,69 |
16,827 |
-1,827 |
3,339 |
15 |
9 |
30 |
1,477 |
20 |
29,5424 |
400 |
0,150 |
0,022 |
6,7 |
44,89 |
27,226 |
2,774 |
7,693 |
30 |
10 |
13 |
1,114 |
3 |
3,34183 |
9 |
-0,213 |
0,046 |
-10,3 |
106,09 |
14,512 |
-1,512 |
2,285 |
13 |
сумма |
219 |
13,273 |
133 |
182,832 |
2161 |
0,120 |
392,1 |
0,814 |
45,199 |
219 |
ср. зн |
1,327 |
13,3 |
18,2832 |
216,1 |
Уравнение имеет вид: У=1,11+0,0161х
. Перейдем к исходным переменным х
и у
, выполнив потенцирование уравнения:
ỹ
=101,11
(10 0,0161
)х
, ỹ
=12,99*1,038х
– уравнение показательной кривой.
Графики построенных уравнений регрессии приведены на рис. 4.
Рисунок 4
9. Коэффициент детерминации:
Для сравнения и выбора лучшей модели строим сводную таблицу результатов (табл. 6).
Таблица 6
Параметры
Модель
|
коэффициент детерминации |
средняя относительная ошибка аппроксимации |
коэффициент эластичности |
гиперболическая |
0,672 |
7,257 |
-0,250 |
степенная |
0,862 |
0,034 |
0,239 |
показательная |
0,829 |
3,82 |
0,010 |
Вывод: на основании полученных данных лучшей является степенная модель регрессии, т. к. она имеет наибольший коэффициент детерминации R2
=0,862, т.е. вариация факторного признака У (объем выпуска продукции) на 86,2% объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений), и наименьшую относительную ошибку (в среднем расчетные значения для степенной модели отличаются от фактических данных на 0,034%). Также степенная модель имеет наибольший коэффициент эластичности, т.е. при изменении фактора на 1% зависимая переменная изменится на 0,24%, таким образом степенную модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Задача 2а и 2б
Имеются два варианта структурной формы модели, заданные в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо для каждой матрицы записать системы одновременных уравнений и проверить их на идентифицируемость.
Задача 2а
Решение.
Запишем систему одновременных уравнений:
у1=
b
12
у2+
b
13
у3+
a
12
х2+
a
13
х3
у2=
b
23
у3+
a
21
х1+
a
22
х2+
a
24
x4
у3 =
b
32
у2+
a
31
х1+
a
32
х2+
a
33
х3
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В первом уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3
(Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х4
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1
и х4
(табл. 7)
Таблица 7
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
х1
|
х4
|
2 |
a
21
|
a
24
|
3 |
a
31
|
0
|
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Во втором уравнении две эндогенные переменные у2, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х3
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1
и х3
(табл. 8)
Таблица 8
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
у1
|
х3
|
1 |
-1
|
a
13
|
3 |
0
|
a
33
|
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, второе уравнение идентифицируемо.
3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у2, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х4
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у1
и х4
(табл. 9)
Таблица 9
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
у1
|
х4
|
1 |
-1
|
0
|
2 |
0
|
a
24
|
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, третье уравнение идентифицируемо.
Вывод: все уравнения системы идентифицируемы, систему можно решать.
Задача 2б
Решение
Запишем систему уравнений:
у1=
b
13
у3+
a
11
х1+
a
13
х3+
a
14
х4
у2=
b
21
у1+
b
23
у3+
a
22
х2+
a
24
х4
у3=
b
31
у1+
a
31
х1+
a
33
х3+
a
34
х4
Проверим каждое уравнение на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.
1) В первом уравнении две эндогенные переменные у1, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2
(D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2
и х2
(табл. 10)
Таблица 10
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
у2
|
х2
|
2 |
-1 |
a
22
|
3 |
-1 |
0 |
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
2) Во втором уравнении три эндогенные переменные у1, у2, у3
(Н=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1, х3
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 2+1=3 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х1
и х3
(табл. 11)
Таблица 11
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
х1
|
х3
|
1 |
a
11
|
а13
|
3 |
a
31
|
a
33
|
Определитель матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, первое уравнение идентифицируемо.
3) В третьем уравнении две эндогенные переменные у1, у3
(Н=2). В нем отсутствует экзогенная переменная х2
(D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H, 1+1=2 выполнено.
Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных у2
и х2
(табл. 12)
Таблица 12
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных |
Переменные |
у2
|
х2
|
1 |
0 |
0 |
2 |
-1 |
a
22
|
Определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Вывод: не все уравнения системы идентифицируемы, систему решать нельзя.
Задача 2в
По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов (КМНК), построить структурную форму модели вида:
y1= a01 + b12 y2 + a11 x1 +
e
1
y2= a02 + b21 y1 + a22 x2 +
e
2
Вар. |
n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
8 |
1 |
61,3 |
31,3 |
9 |
7 |
2 |
88,2 |
52,2 |
9 |
20 |
3 |
38,0 |
14,1 |
4 |
2 |
4 |
48,4 |
21,7 |
2 |
9 |
5 |
57,0 |
27,6 |
7 |
7 |
6 |
59,7 |
30,3 |
3 |
13 |
Решение
Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в табл. 13.
Таблица 13. Фактические данные для построения модели
n
|
y1
|
y2
|
x1
|
x2
|
1 |
61,3 |
31,3 |
9 |
7 |
2 |
88,2 |
52,2 |
9 |
20 |
3 |
38 |
14,1 |
4 |
2 |
4 |
48,4 |
21,7 |
2 |
9 |
5 |
57 |
27,6 |
7 |
7 |
6 |
59,7 |
30,3 |
3 |
13 |
Сумма |
352,60 |
177,20 |
34,00 |
58,00 |
Среднее значение |
58,77 |
29,53 |
5,67 |
9,67 |
Структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:
у1=
d
11
x
1+
d
12
x
2+
u
1
y
2=
d
21
x
1+
d
22
x
2+
u
2
, где u1 и u2 – случайные ошибки.
Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d
можно применить МНК. Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней у=у-уср
и х=х-хср
. Преобразованные таким образом данные табл. 13 сведены в табл. 14. Здесь же показаны промежуточные рассчеты, необходимые для определения коэффициентов d
.
Таблица 14
n
|
у1
|
у2
|
х1
|
х2
|
у1*х1
|
х1
2
|
х1*х2
|
у1*х2
|
у2*х1
|
у2*х2
|
х2
2
|
1 |
2,53 |
1,77 |
3,33 |
-2,67 |
8,444 |
11,111 |
-8,889 |
-6,756 |
5,889 |
-4,711 |
7,111 |
2 |
29,43 |
22,67 |
3,33 |
10,33 |
98,111 |
11,111 |
34,444 |
304,144 |
75,556 |
234,222 |
106,778 |
3 |
-20,77 |
-15,43 |
-1,67 |
-7,67 |
34,611 |
2,778 |
12,778 |
159,211 |
25,722 |
118,322 |
58,778 |
4 |
-10,37 |
-7,83 |
-3,67 |
-0,67 |
38,011 |
13,444 |
2,444 |
6,911 |
28,722 |
5,222 |
0,444 |
5 |
-1,77 |
-1,93 |
1,33 |
-2,67 |
-2,356 |
1,778 |
-3,556 |
4,711 |
-2,578 |
5,156 |
7,111 |
6 |
0,93 |
0,77 |
-2,67 |
3,33 |
-2,489 |
7,111 |
-8,889 |
3,111 |
-2,044 |
2,556 |
11,111 |
Σ |
|