Главная              Рефераты - Экономическая теория

Методы и модели в экономике - контрольная работа

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОУ ВПО Омский государственный технический университет

Кафедра «Экономика и организация труда»

Контрольная раБОтА

по дисциплине «Методы и модели в экономике»

Вариант 28

Выполнил:

студент гр. ЗУТ-217

Чупраков Д. А.

Проверила:

__________ Е. Н. Казанцева

«___» ___________ 2009 г.

Омск 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Задача 2

Задача 3


Задача №1

1. Составить математическую модель задачи.

Сельскохозяйственное предприятие обязалось поставить в два магазина 25 и 35 т картофеля соответственно. Предприятие располагает тремя складами с запасами картофеля 15, 20 и 30 т соответственно. Расходы на поставку 1 т картофеля с каждого из складов в оба магазина даны в таблице.

Магазины Склады №1 №2
№1 20 руб. 45 руб.
№2 30 руб. 20 руб.
№3 40 руб. 35 руб.

Составить наиболее дешёвый план перевозок картофеля по каждому из технологических способов, чтобы получить максимум прибыли?

Решение

Введем переменные , представляющие собой количество товара, поставляемого из каждого i-го склада в каждый j-ый магазин.

Поскольку суммарные запасы = 65 (т) и суммарные потребности = 60 (т) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт потребления . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).


Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пунктыпроизводства, i Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3
1 20 45 0 15
2 30 20 0 20
3 40 35 0 30
Объем потребления (спрос) 25 35 5 65

Зададим целевую функцию и ограничения, т.е. построим математическую модель транспортной задачи.

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).

Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

 Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3
1

20

15

45

-

0

-

 15/0
2

30

10

20

10

0

-

 20/10/0
3

40

-

35

25

0

5

 30/5/0
Объем потребления 25/10/0 35/25/0 5/0 65

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:


(т) или = (15; 0; 0; 10; 10; 0; 0;25;5).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (руб.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

 u1 =0

30

10

20

10

0

-

 u2 =-10

40

-

35

25

0

5

 u3 =-25
v1 =20 v2 =10 v3 =-25

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: v1 =20, v2 =10, u2 =-10, v3 = - 25, u3 = - 25, т.е. (0; - 10; -25; 20; 10; -25).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -35 -25 u1 =0
0 0 -15 u2 =-10
∆1 = 10 -10 -5 u3 =-25
v1 =20 v2 =10 v3 =-25

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К31 .

-30

10

+20

10
∆1 =

+40

-

-35

25

Θ = = 10. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

20

15

45

-

0

-

 u1 =0

30

-

20

20

0

-

 u2 =-5

40

10

35

15

0

5

 u3 =-20
v1 =20 v2 =15 v3 =-20

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -20; 20; 15; -20).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -35 -20 u1 =0
-5 0 -15 u2 =-5
∆1 = 0 0 0 u3 =-20
v1 =20 v2 =15 v3 =-20

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (руб.).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L(X) = 1625 руб.

Задача №2

2. Решить графически задачу: найти экстремумы функции , если , .

Решить симплекс-методом

РЕШЕНИЕ

а) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → max

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.1).

x 2

16

5

Рис.1. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → max

Строим вектор из точки (0;0) в точку (3; -2). Точка Е (7;0) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка максимума целевой функции. Тогда максимальное значение функции равно:

.

б) Решим задачу графически при

z = 3x1 – 2x2 → min

, .

Построим на плоскости прямые ограничений, вычислив координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (рис.2).


x 2

16

5

Рис.2. Графическое решение задачи при z = 3x1 – 2x2 → min

Строим вектор из точки (0;0) в точку (-3; 2). Точка Е (0;1) – это последняя вершина многоугольника допустимых решений, через которую проходит линия уровня, двигаясь по направлению вектора . Поэтому Е – это точка минимума целевой функции. Тогда минимальное значение функции равно:

.

Ответ: а) Функция z = 3x1 – 2x2 → max и равна 21 в точке (7;0).

б) Функция z = 3x1 – 2x2 → min и равна - 2 в точке (0;1).


Задача №3

Решить методом потенциалов транспортную задачу, где – цена перевозки единицы груза из пункта в пункт .

Решение

Поскольку суммарные запасы = 35 (ед. груза) и суммарные потребности = 48 (ед. груза) не совпадают (т.е. мы имеем дело с открытой транспортной задачей), необходимо ввести фиктивный пункт производства . Тогда транспортная матрица будет иметь следующий вид (табл.1).

Таблица 1- Общий вид транспортной матрицы

Пунктыпроизводства, i Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3 4
1 6 8 4 2 10
2 5 6 9 8 10
3 4 2 3 8 15
4 0 0 0 0 13
Объем потребления (спрос) 5 8 15 20 48

Найдем опорный план транспортной задачи методом северо-западного угла (табл. 2).


Таблица 2 – Транспортная матрица с опорным планом северо-западного угла

Пункты

производства, i

 Пункты потребления, j Объем производства
1 2 3 4
1

6

5

8

5

4

-

2

-

 10/5/0
2

5

-

6

3

9

7

8

-

 10/7/0
3

4

-

2

-

3

8

8

7

 15/7/0
4

0

-

0

-

0

-

0

13

 13/0
Объем потребления 5/0 8/3/0 15/8/0 20/13/0 48

Опорный план , найденный методом северо-западного угла имеет вид:

(ед. груза) или = (5; 5; 0; 0; 0; 3; 7;0;0;0;8;7;0;0;0;13).

Целевая функция, выражающая общие затраты на перевозку, будет иметь вид: (ден. ед.).

Итерация 1.

Шаг 1.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

5

4

-

2

-

 u1 =0

5

-

6

3

9

7

8

-

 u2 =2

4

-

2

-

3

8

8

7

 u3 =8

0

-

0

-

0

-

0

13

 u4 =16
v1 =6 v2 =8 v3 =11 v4 =16

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: v1 =6, v2 =8, u2 =2,v3 =11, v4 =16, u3 =8, u4 =16, т.е. (0; 2; 8; 16; 6; 8; 11; 16).

Шаг 1.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 0 7 14 u1 =0
-1 0 0 6 u2 =2
∆1 = -6 -2 0 0 u3 =8
-10 -8 -5 0 u4 =16
v1 =6 v2 =8 v3 =11 v4 =16

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К14 .

- 8

5

4

-

+2

-

+6

3

- 9

7

8

-
∆1 =

2

-

+3

8

- 8

7

0

-

0

-

0

13

Θ = = 5. Составим новый план перевозки.

Итерация 2.

Шаг 2.1. Вычисление потенциалов

6

5

8

-

4

-

2

5

 u1 =0

5

-

6

8

9

2

8

-

 u2 =-12

4

-

2

-

3

13

8

2

 u3 =-6

0

-

0

-

0

-

0

13

 u4 =2
v1 =6 v2 =-6 v3 =-3 v4 =2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: v1 =6, v2 =-6, u2 =-12,v3 =-3, v4 =2, u3 =-6, u4 =2, т.е. (0; -12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).

Шаг 2.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -14 -7 0 u1 =0
13 0 0 6 u2 =-12
∆1 = 8 -2 0 0 u3 =-6
4 -8 -5 0 u4 =2
v1 =6 v2 =-6 v3 =-3 v4 =2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 1.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К21 .

-6

5

8

-

4

-

+2

5
∆1 =

+5

-

6

8

-9

2

8

-

4

-

2

-

+3

13

-8

2

Θ = = = 2. Возьмем и составим новый план перевозки.

Итерация 3.

Шаг 3.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

 u1 =0

5

2

6

8

9

0

8

-

 u2 =1

4

-

2

-

3

15

8

-

 u3 =7

0

-

0

-

0

-

0

13

 u4 =2
v1 =6 v2 =7 v3 =10 v4 =2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).

Шаг 3.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -1 6 0 u1 =0
0 0 0 -7 u2 =1
∆1 = -5 -2 0 -13 u3 =7
4 5 8 0 u4 =2
v1 =6 v2 =7 v3 =10 v4 =2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 3.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К43 .

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

6

8

-9

0

8

-
∆1 =

4

-

2

-

3

15

8

-

0

-

0

-

+0

-

-0

13

Θ = = 0. Составим новый план перевозки.

Итерация 4.

Шаг 4.1. Вычисление потенциалов

6

3

8

-

4

-

2

7

 u1 =0

5

2

6

8

9

-

8

-

 u2 =1

4

-

2

-

3

15

8

-

 u3 =-1

0

-

0

-

0

0

0

13

 u4 =2
v1 =6 v2 =7 v3 =2 v4 =2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).

Шаг 4.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

0 -1 -2 0 u1 =0
0 0 -8 -7 u2 =1
∆1 = 3 6 0 -5 u3 =-1
4 5 0 0 u4 =2
v1 =6 v2 =7 v3 =2 v4 =2

Так как имеются >0, то переходим к шагу 3.

Шаг 4.3. Составление нового плана перевозок. соответствует клетка К32 .

-6

3

8

-

4

-

+2

7

+5

2

-6

8

-9

-

8

-
∆1 =

4

-

+2

-

-3

15

8

-

0

-

0

-

+0

0

-0

13

Θ = = 3. Составим новый план перевозки.

Итерация 5.

Шаг 5.1. Вычисление потенциалов

6

-

8

-

4

-

2

10

 u1 =0

5

5

6

5

9

-

8

-

 u2 =-5

4

-

2

3

3

12

8

-

 u3 =-1

0

-

0

-

0

3

0

10

 u4 =2
v1 =0 v2 =1 v3 =2 v4 =2

Система для плана имеет вид:

Полагая u1 =0, находим значения всех потенциалов: (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2).

Шаг 5.2. Проверка на оптимальность. Составляем таблицу оценок .

-6 -7 -2 0 u1 =0
0 0 -2 -1 u2 =-5
∆1 = -3 0 0 -5 u3 =-1
-2 -1 0 0 u4 =2
v1 =0 v2 =1 v3 =2 v4 =2

Так как все оценки ≤0, следовательно, план - оптимальный.

Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), следовательно, оптимальное значение целевой функции: (ден. единиц).

Ответ: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1; 2; 2), L(X) = 117 ден. ед.