Инвариантные свойства ортогонального проецирования - реферат

Инвариантные свойства ортогонального проецирования .

1. Проекция точки есть точка

Это очевидно из самого определения проекции как точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью.

2. Проекция прямой есть прямая (рис. 1.6)

3. Если точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис. 1.6).

4. Если точка К делит отрезок АD в отношении m: n то и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис. 1.6):

5. Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых (рис. 1.7)

6. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.8)

7. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.

Исключение составляет многоугольник (плоская ломаная или кривая линия) расположенный в проецирующей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию (рис. 1. 9).

8. Прямая, параллельная направлению проецирования, проецируется в точку (рис. 1.9)

9. Проекция плоской фигуры, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре

Проекции центральные и параллельные. Метод Монжа. Точка в системе плоскостей проекций.

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ!

Представление о центральной проекции можно получить, если изучить изображение, которое дает человеческий глаз.

Для построения центральной проекции объекта нужно между глазом и изучаемым предметом поместить прозрачный экран и отметить на нем точки пересечения лучей, которые идут от глаза человека к отдельным точкам предмета. При соединении всех точек на экране получаем изображение (проекцию) фигуры (рис. 2). Эта проекция называется центральной.

Центральная проекция – это проекция, которая образуется с помощью проецирующихся лучей, проходящих через одну точку.

Изображение предметов при помощи центральной проекции встречается очень часто, особенно для предметов, обладающих большими размерами.

ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ!

Параллельная проекция – это такой вид проекции, при построении которого используются параллельные проецирующиеся лучи.

При построении параллельных проекций нужно задать направление проецирующих лучей (рис. 3). На данном примере в качестве направляющего луча выбран луч l. При построении изображений через все точки проводятся прямые, параллельные установленному направлению проецирования, до точки пересечения с плоскостью проекции. Соединяя полученные точки, получаем параллельную проекцию предмета.

Параллельные проекции могут быть ортогональными или косоугольными в зависимости от направления проецирующих лучей.

Проекция называется ортогональной, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости.

Проекция называется косоугольной, если угол наклона проецирующих лучей направлен относительно плоскости под углом, отличным от прямого.

Изображение, полученное при помощи параллельной проекции, намного меньше искажено, чем изображение, полученное с помощью центральной проекции.

МЕТОД МОНЖА!

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Одну из плоскостей проекций П1 располагают горизонтально, а вторую П2 - вертикально. П1 - горизонтальная плоскость проекций, П2- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций.

Комплексный чертеж точки. Положение точки относительно плоскостей проекций.

Полученный плоский чертеж называется комплексным чертежом. Он представляет собой изображение предмета на нескольких совмещенных плоскостях. Комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций, связанных между собой, называется двухпроекционным. На этом чертеже горизонтальная и фронтальная проекции точки всегда лежат на одной вертикальной линии связи.

Прямые частного положения. Особенности чертежей прямых частного положения.

К прямым частного положения относятся прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций.

Любую линию (прямую или кривую), параллельную плоскости проекций, называют линией уровня. В инженерной графике различают три основные линии уровня: горизонталь, фронталь и профильную линии.

Горизонталью называют любую линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций. Фронтальная проекция горизонтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок горизонтали на горизонтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона горизонтали (прямой) к фронтальной плоскости проекций.

Фронталью называют линию, параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.2.3-б). Горизонтальная проекция фронтали всегда перпендикулярна линиям связи. Любой отрезок фронтали на фронтальную плоскость проекций проецируется в истинную величину. В истинную величину проецируется на эту плоскость и угол наклона фронтали (прямой) к горизонтальной плоскости

Профильной линией называют линию, параллельную профильной плоскости проекций. Горизонтальная и фронтальная проекции профильной линии параллельны линиям связи этих проекций. Любой отрезок профильной линии (прямой) проецируется на профильную плоскость в истинную величину. На эту же плоскость проецируются в истинную величину и углы наклона профильной прямой к плоскостям проекций П1 и П2. При задании профильной прямой на комплексном чертеже нужно обязательно указать две точки этой прямой.

Прямые уровня, параллельные двум плоскостям проекций, будут перпендикулярны третьей плоскости проекций. Такие прямые называют проецирующими. Различают три основные проецирующие прямые: горизонтально, фронтально и профильно проецирующие прямые.

Прямые общего положения. Определение длины отрезка прямой общего положения.

Прямой общего положения (рис.2.2) называют прямую, не параллельную ни одной из данных плоскостей проекций. Любой отрезок такой прямой проецируется в данной системе плоскостей проекций искаженно. Искаженно проецируются и углы наклона этой прямой к плоскостям проекций.

Проекции прямого угла.

Решение многих метрических задач требует применения перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на свойства прямоугольного проецирования прямого угла.

Прямой угол проецируется без искажения, если обе стороны параллельны плоскости проекций. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекции.Теорему о проецировании прямого угла мы рассматривали при изучении свойств ортогонального проецирования. Напомним эту теорему.

Теорема:

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д.

Особенности чертежей плоскостей частного положения. По расположению относительно плоскостей проекций плоскости делят на плоскости общего и частного положения. К плоскостям общего положения относятся плоскости, непараллельные и неперпендикулярные ни одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже (см. рис. 88) проекции элементов, которыми задана плоскость, как правило, занимают общее положение. К плоскостям частного положения относятся плоскости, параллельные или перпендикулярные одной из плоскостей проекций. В свою очередь, плоскости частного положения делятся на проецирующие плоскости и плоскости уровня. К проецирующим плоскостям относятся плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. Проецирующая плоскость отличается тем, что проекция ее на плоскость проекций, ей перпендикулярную, всегда изображается в виде прямой линии и фигур, лежащих в проецирующей плоскости. Проекция плоскости, выраженной в прямой, вполне определяет положение плоскости относительно плоскостей проекций. К плоскостям уровня относятся плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций. Их можно считать дважды проецирующими плоскостями, так как у них на комплексном чертеже две проекции имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линии связи, а третья проекция дает изображение всех элементов, лежащих в этой плоскости, в натуральную величину. Плоскости уровня обычно обозначаются: Г — горизонтальная плоскость уровня; Ф — фронтальная плоскость уровня; U — профильная плоскость уровня. Плоскости уровня отличаются тем, что на плоскости проекций, им перпендикулярную, они проецируются в прямую линию, на которой располагаются точки, прямые и фигуры, расположенные в плоскости уровня. Эти прямые являются вырожденными проекциями заданной плоскости. На плоскость проекций, параллельную заданной плоскости, все изображения этой плоскости проецируются без искажений, т. е. в натуральную величину. Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекаться. Параллельными будут плоскости, если одна из них задана пересекающимися прямыми, параллельными пересекающимся, задающим вторую плоскость; Если плоскости пересекаются, то линия их пересечения — прямая. Плоскости, перпендикулярные между собой, представляют случай их пересечения, когда угол между плоскостями составляет 90°.

Проекционные свойства плоских кривых линий. Кривые второго порядка

1. Секущая m к кривой l проецируется в секущую m1 к проекции l1.

2. Касательная t к кривой l проецируется в касательную t1 к проекции l1.

3. Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные проекции ее точек.

4. Число точек пересечения кривых равно числу точек пересечения их проекций.

На основании перечисленных свойств можно сделать выводы:

1) порядок плоской алгебраической кривой при проецировании не изменяется;

2) эллипс может спроецироваться в эллипс или окружность, окружность - в окружность или эллипс, парабола - в параболу, гипербола - в гиперболу.

Вышеперечисленные проекционные свойства плоских кривых линий вытекают из инвариантов параллельного проецирования (гл. 1). Кривая второго порядка имеет уравнение второй степени в декартовой системе координат. С прямой линией пересекается в двух точках (действительных, совпавших или мнимых).

Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (длине большой оси эллипса). Эллипc не имеет несобственных точек.

Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы). Парабола имеет одну несобственную точку.

Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (расстоянию между вершинами гиперболы). Гипербола имеет две несобственные точки, по одной на каждой асимптоте.

Кривые второго порядка - эллипс, окружность, парабола и гипербола - могут быть получены при пересечении конуса плоскостью и поэтому называются коническими сечениями.

Инженерный дискриминант. Обводы. Способы построения обводов. Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых.

В технике такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline ). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных в точках стыка.

Пространственные кривые. Образование и построение винтовой линии.

В отличие о плоских кривых, пространственные кривые (линии двоякой кривизны) не лежат всеми своими точками на одной плоскости.

Общие свойства пространственной кривой, ее проекции связаны со свойствами проецирования и справедливы для проекций плоских кривых:

а) несобственная точка кривой проецируется в несобственную точку ее проекции;

б) касательная кривой проецируется в касательную к ее проекции;

в) порядок проекции алгебраической кривой равен порядку самой кривой.

В частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший, чем у кривой, порядок. Например, кривая второго порядка, лежащая в проецирующей плоскости, проецируется в «двойную» прямую.

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой траекторию точки, совершающей равномерное движение вдоль некоторой прямой, которая в свою очередь равномерно вращается вокруг параллельной ее оси. Образование винтовой линии. Рассмотрим рисунок 113а на нем точка М двигается равномерно по некоторой окружности, которая представляет собой сечение круглого цилиндра плоскостью Р. Здесь эта плоскость перпендикулярна его оси.

Допустим, что и сама окружность движется равномерно вверх или вниз по поверхности цилиндра. При этом плоскость Р , которая содержит окружность, будет оставаться всё время параллельной самой себе. Пять различных положений плоскости, которая содержит движущуюся точку, показаны на рисунке 113 б.

Вследствие этих двух равномерных движений данная точка М пройдет некоторую пространственную кривую М 1М 2М 3М 4М 5. На рисунке 113в показана эта линия, которая располагается на поверхности цилиндра и носит название цилиндрической винтовой линии . Она не может быть совмещена с плоскостью. На рисунке 113 г показано наглядное представление о винтовой линии, которое дает пружина.

Способы задания поверхностей. Способы образования.

Поверхность может быть задана аналитически, графически. Графических

способов задания поверхности три: очерк, каркас, определитель

Познакомимся с графическими способами задания поверхности.

Очерк поверхностипри ортогональном проецировании – это границы

проекций поверхности или следы проецирующей поверхности, огибающей

заданную поверхность, на плоскостях проекций.Каркас поверхности– это множество точек или линий формирующих поверхность. Точечный каркас поверхности – множество точек принадлежащих поверхности. Линейчатый каркас поверхности – множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит одна линия

каркаса. Определитель поверхности– это совокупность геометрических

элементов определяющих поверхность и закономерность описывающая их

движение в пространстве. Здесь в качестве образующей взята прямая 1 . Закон перемещения образующей задан направляющей а и прямой b . При этом имеется в виду, что образующая 1 скользит по направляющей а , все время оставаясь параллельной прямой b . Такой способ образования поверхностей называют кинематическим. С его помощью можно образовывать и задавать на чертеже различные поверхности. В частности, на рис.3.1 изображен самый общий случай цилиндрической поверхности. Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий. При этом точки и линии выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи. Множество точек или линий, определяющих поверхность, называют ее каркасом. В зависимости от того, чем задается каркас поверхности, точками или линиями, каркасы подразделяют на точечные и линейные.

Образование цилиндрических поверхностей. Сечение цилиндра плоскостью.

В общем случае цилиндрическая поверхность формируется при

перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной направляющей

m. Определитель цилиндрической поверхности Ф (L, к)(A).

На рисунке 73 представлена цилиндрическая поверхность вращения.

Определитель этой поверхности Ф (L, к)(A) или Ф (L, i)(Вращение). При сечении цилиндра плоскостью можно получить различные фигуры сечения:
Прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси вращения; Круг, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения. Такое сечение называется нормальным сечением; Эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения.

Образование конической поверхности. Конические сечения. В общем случае коническая поверхность формируется при перемещении прямолинейной образующей L по криволинейной направляющей m и проходит в каждом положении через одну точку S, которую называют вершиной. На рисунке 75 представлена коническая поверхность вращения.Коническое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса. Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом. Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае, если секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости, получаем эллипс, если секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса, получаем параболу, если секущая плоскость пересекает обе полости конуса, получаем гиперболу.

Образование и изображение поверхностей вращения. Параллели. Меридианы. Сечения их плоскостью. Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей mвокруг оси i . Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть включает две операции:На образующей mвыделяют ряд точек A, B, C, …F ;Каждую точку вращают вокруг оси i. Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей (рис.8.5), плоскости которых расположены перпендикулярно оси i . Эти окружности называются параллелями ; наименьшая параллель называется горлом , наибольшая – экватором .

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства: Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели . Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам . Сечение – например конус.

Образование и изображение винтовой поверхности. Прямой и наклонный геликоид.

интовые поверхности образуются винтовым движением некоторой лининии образующей.Под винтовым движением понимается совокупность двух движений:поступательного параллельно некоторой оси, и вращательного, вокруг той же оси. При этом поступательное и угловое перемещение находятся в определенной зависимости ∆ h = k ∆ v , где ∆h – линейное перемещение за время ∆t, ∆v – угловое перемещение за то же время, k – коэффициент пропорциональности. Если k=Const, то шаг поверхности постоянный. Геометрическая часть определителя винтовой поверхности ничем не отличается от поверхности вращения и состоит из двух линий: образующей m и оси i. Алгоритмическая часть: 1. На образующей m выделяют ряд точек А, В, С, … 2. Строят винтовые линии заданного шага и направления, по которым перемещаются заданные точки. Винтовые поверхности являются частным случаем поверхности коноида. Криволинейной направляющей к является винтовая линия, прямолинейной направляющей n является ось вращения винтовой линии. Плоскостью

параллелизма a является одна из плоскостей проекций.

Винтовые поверхности называют – прямой геликоид и наклонный

геликоид. Прямой геликоид Поверхность прямого геликоида формируется при движении

прямолинейной образующей L по цилиндрической винтовой линии к

(криволинейная направляющая) и прямолинейной направляющей n (ось

цилиндрической винтовой линии). В каждом своем положении образующая L

пересекает ось винтовой линии под прямым углом. Плоскостью параллелизма

прямого геликоида представленного на рис. 80 является горизонтальная

плоскость проекций П1. Наклонный геликоид. Поверхность наклонного геликоида формируется при движении прямолинейной образующей L по конической винтовой линии к (криволинейная направляющей) и прямолинейной направляющей n (ось

конической винтовой линии). Образующая в каждом своем положении

пересекает ось i под постоянным углом w, то есть образующая наклонного геликоида L параллельна образующим направляющего конуса с углом при

вершине 2w.

Образование и изображение линейчатой поверхности. Основные определения. Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а , b , с . Возьмем на кривой а произвольную точку М , примем ее за вершину конической поверхности  , а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c . Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью  , то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L . Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN с = L , МNL – образующая поверхности  , заданной тремя кривыми. Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые выделят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Движение прямой – образующей по трем направляющим, не единственный способ образования линейчатой поверхности. При образовании линейчатой поверхности может быть задана одна или две направляющие. Дополнительные условия движения образующей прямой должны быть даны в законе движения образующей. Линейчатая поверхность в дифференциальной геометрии - поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие,- направляющей кривой.

Образование изображение торовых поверхностей. Сечение их плоскостью. При вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости образующей окружности, образуются торовые поверхности. Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка.

Образование линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма. Цилиндр, коноид, косая плоскость.

Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m , n (рис. 8.13).

Поверхность цилиндроида (рис. 77) формируется при движении

прямолинейной образующей L по двум криволинейным направляющим К и m.

Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-

проецирующей плоскости параллелизма a. Поверхность коноида (рис. 78) формируется при движении прямолинейной образующей L по двум направляющим, одна из которых прямая линия m, другая кривая линия К. Образующая L в каждом своем положении параллельна горизонтально-проецирующей плоскости параллелизма a.

Поверхность гиперболического параболоида (рис. 79) формируется при

движении прямолинейной образующей L по двум прямолинейным

направляющим m и n, на рис. 79 плоскостью параллелизма гиперболического

параболоида является фронтальная плоскость проекций П2.

Построение линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей. При построении линии пересечения двух поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей секущие плоскости, принятые в качестве посредников, могут быть и общего, и частного положения. Более широкое применение находят плоскости частного положения. Сущность метода состоит в том что в качестве вспомогательных поверхностей выбирают плоскости, которые могут занимать общее положение в пространстве, быть проецирующими или плоскостями уровня. Наиболее широко используются плоскости уровня – фронтальные и горизонтальные. Чаще всего плоскости пересекают заданные поверхности по прямым и окружностям частного положения, поэтому построение их проекций не вызывает особых затруднений.

Способ вспомогательных секущих сфер.

Основу способа вспомогательных секущих сфер составляют особенности взаимного пересечения так называемых <соосных поверхностей вращения>. К ним относятся поверхности, оси вращения которых совпадают, то есть несколько поверхностей имеют одну и туже ось вращения. Сущность применения способа вспомогательных секущих сфер для построения линии взаимного пересечения двух поверхностей вращения состоит в том, что каждая из заданных поверхностей вращения пересекается одной и той же вспомогательной сферой. При пересечении вспомогательной сферы с каждой из заданных поверхностей вращения образуются окружности. Точки пересечения полученных окружностей являются общими для обеих поверхностей вращения и поэтому принадлежат линии взаимного пересечения этих поверхностей. При этом пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций. Каждая из поверхностей должна содержать семейство окружностей, по которым ее могут пересекать вспомогательные сферы, общие для обеих поверхностей. В зависимости от расположения осей пересекающихся поверхностей вращения относительно друг друга применяются две разновидности способа вспомогательных секущих сфер. Если оси поверхностей пересекаются, то применяется способ вспомогательных концентрических секущих сфер, то есть сфер, проведенных из одного общего центра. Центром проведения таких сфер является точка пересечения осей вращения заданных поверхностей. Если же оси поверхностей параллельны друг другу или являются скрещивающимися, то применяется способ вспомогательных эксцентрических сфер. В этом случае вспомогательные секущие сферы проводят из разных центров.

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты, которых удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени. Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют биквадратной кривой.В некоторых случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.Опуская доказательства, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение. Теорема 1 . Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются.Теорема 2 .(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскость которых проходит через отрезок АВ, соединяющий точки касания.Теорема 3 . (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки линий касания.Теорема 4 . Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость симметрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой второго порядка.

Развертка поверхностей. Свойства разверток. Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся , а полученную плоскую фигуру – ее разверткой . Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической.

Развертки поверхностей. Приближенные и условные. В качестве примера приближенной развертки наклонного цилиндра при построении приближенных разверток наклонных цилиндрических поверхностей применялся способ аппроксимирующих призм, при котором данную цилиндрическую поверхность заменяют вписанной в нее поверхностью n – гранной призмы. Затем строится развертка призмы с предварительным преобразованием ее ребер в линии уровня. Соединив вершины на развертке плавными кривыми, получаем искомую приближенную развертку боковой поверхности цилиндра.Для неразвертываемых поверхностей строят условные развертки. В отличие от точных и приближенных разверток, условные могут представлять собой фигуры с вырезами (разрывами).В работе рассматривались два способа развертки сферы. В первом случае сфера разбивалась меридианами на n – частей (лепестков), а во втором – параллелями на n – поясов. Аналогично строится условная развертка любой другой поверхности вращения.Построение разверток является важным технологическим этапом на производствах, связанных с листовыми материалами, таких как легкая, нефтехимическая, газовая отрасли промышленности, судостроение, авиастроение и т.д. Развертки изделий строятся, как правило, на стадии их проектирования.

Метод триангуляции. Общим методом построения разверток криволинейных поверхностей является метод триангуляции, при котором поверхность аппроксимируется (заменяется) вписанной или описанной многогранной поверхностью, грани которой – треугольники, а затем строится развертка многогранной поверхности, которая будет приближенной или условной разверткой криволинейной поверхности.

Этот метод применяется при построении развертки конической поверхности, которая аппроксимируется вписанной (реже описанной) пирамидальной поверхностью. Построение развертки конуса сводится к построению развертки пирамиды, у которой боковые грани являются треугольниками.

Прямая и плоскость, касательная к поверхности. Нормаль к поверхности. Касательной к поверхности в некоторой ее точке называют прямую, касательную к какой-либо кривой на поверхности, проходящей через данную точку. Очевидно, в данной точке М поверхности Θ можно провести бесчисленное множество касательных прямых tⁱ . Множество касательных tⁱ , проведенных к поверхности в некоторой ее точке М , принадлежит плоскости  , если точка М является регулярной точкой поверхности. Если точка М будет особой точкой поверхности Θ , то множество касательныхtⁱ образует поверхность конуса в этой точке. Касательной плоскостью к поверхности ее в регулярной точке называют плоскость, содержащую множество касательных, проведенных к всевозможным кривым поверхности, проходящим через эту точку. С понятием касательной плоскости тесно связано понятие нормали к поверхности.
Нормалью h поверхности Θ в некоторой ее точке М называют прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную касательной плоскости, построенной в этой точке. Из этого определения непосредственно следует способ построения нормали. В особой точке поверхности положения нормали неопределенно лежит.
Касательная плоскость может пересекать поверхность по действительной или мнимой кривой. Например, на рис. 2 показана касательная плоскость  в точке М , принадлежащая горлу однополостного гиперболоида. Она пересекает поверхность по двум прямым l ¹ и l ² .

Графические алгоритмы построения касательных плоскостей и нормали.
Для построения касательной плоскости и нормали в заданной точке М необходимо: на поверхности взять две линии, проходящие через точку М ;провести касательные в точке М к выбранным линиям; две пересекающиеся касательные определяют касательную плоскость; провести перпендикуляр к касательной плоскости в точке М .

Аксонометрические проекции. Прямоугольные и косоугольные аксонометрические поверхности. Аксонометрические изображения широко применяются благодаря хорошей наглядности и простоте построений.Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает измерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и с параллельным, и с центральным проецированием при условии, что предмет проецируется вместе с координатной системой.Сущность метода параллельного аксонометрического проецирования заключается в том, что предмет относят к некоторой системе координат и затем проецируют параллельными лучами на плоскость вместе с координатной системой. В зависимости от направления проектирующих лучей аксонометрические проекции разделяются на: прямоугольные или ортогональные (проектирующие лучи перпендикулярны аксонометрической плоскости П') и косоугольные (проектирующие лучи наклонены к аксонометрической плоскости).
В зависимости от наклона осей координат к аксонометрической плоскости , а следовательно, от степени уменьшения размеров аксонометрических проекций отрезков, имеющих направление осей координат - все аксонометрические проекции делятся на три основных вида:
1)изометрические , т.е. одинакового измерения (оси z', х' и у' наклонены одинаково; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей одинаковое);
2)диметрические , т. е. двойного измерения (две оси координат имеют один и тот же наклон, а третья - другой; следовательно, уменьшение размеров по этим двум осям будет одно и то же, а по третьей оси - другое);
3)триметрические , т.е. тройного измерения (все оси имеют разный наклон; следовательно, уменьшение размеров по направлению всех трех осей разное).
В машиностроительном черчении из прямоугольных аксонометрических проекций чаще всего применяют изометрическую и диметриче-скую, а из косоугольных - диметрическую, которую иначе называют фронтальной диметрической проекцией.

Плоскости общего положения. Особые линии плоскости.f - фронталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₂ ; w - профильная прямая плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₃ . h - горизонталь плоскости - прямая принадлежащая данной плоскости и || П₁ ; Прямая, принадлежащая плоскости и к горизонтали, фронтали или профильной прямой, называется линией наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций П₁ , П₂ или П₃ . Линию наибольшего наклона к плоскости проекций П₁ называют линией наибольшего ската. Прямые уровня и линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций называют главными линиями плоскости.

Построение прямой, перпендикулярной плоскости. Прямая, которая пересекает плоскость, может быть расположена к ней под прямым углом. Известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости. В качестве двух пересекающих прямых, принадлежащих плоскости, удобно использовать главные линии плоскости: горизонталь и фронталь. На основании теоремы о проецировании прямого угла необходимо горизонтальную проекцию перпендикуляра к плоскости провести перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальную проекцию перпендикуляра провести перпендикулярно фронтальной проекции фронтали. Используя это свойство прямых, перпендикулярных плоскости, можно решать как метрические, так и позиционные задачи. Например, задачи по определению расстояния от точки до плоскости, определению углов наклона прямой к заданной плоскости и т. д.

Пересечение двух плоскостей общего положения. теперь рассмотрим пример пересечения двух плоскостей общего положения. Для построения линии пересечения двух плоскостей  и  необходимо найти две точки, N и M каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для нахождения точек N и M можно воспользоваться следующим алгоритмом:Взять две дополнительные плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП ; Определить линии пересечения плоскостей частного положения 1ЧП и 2ЧП с плоскостями общего положения  и  с помощью метода, приведенного в предыдущем пункте; Определить точки N и M пересечения полученных линий.

Плоскость перемены плоскостей проекций. Суть способа заключается в том, что геометрический объект остается в пространстве неподвижным, а система плоскостей П₁ и П₂ дополняется плоскостями, образующими с П₁ или П₂ или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, по отношению к которым элементы геометрического объекта - частные положения. Рассмотренные закономерности можно сформулировать таким образом. Любая плоскость проекций первоначальной системы может быть заменена новой плоскостью, перпендикулярной основной плоскости. На комплексном чертеже первоначальную и вновь образованную системы плоскостей проекций обозначают осями проекций, имеющими соответствующие обозначения (например, х₁₂ ). Оставшуюся проекцию точки с новой ее проекцией соединяет линией проекционная связь, которая перпендикулярна новой оси проекций. Направление новой проекционной связи соответствует новому направлению проецирования, выбираемому в зависимости от поставленной задачи. Расстояние от заменяемой плоскости проекции точки до оси проекций в первоначальной системе равно расстоянию от новой проекции точки до оси проекций в новой системе (оно остается "памятью" о заменяемой проекции).

Способ вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций. Если вращать геометрическую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то проекция на этой плоскости не изменяется ни по виду, ни по величине (меняется лишь положение проекции относительно оси проекций). Проекции точек геометрической фигуры на плоскости, параллельной оси вращения, перемещаются по прямым, параллельным оси проекции ( за исключением проекций точек, расположенных на оси вращения), и проекция в целом изменяется по форме и величине. Поэтому можно применять способ вращения, не задаваясь изображением оси вращения. В этом случае, не изменяя величины и формы одной из проекций геометрического образа, перемещают эту проекцию в требуемое положение, а затем строят другую проекцию так, как указано выше. Применение способа вращения без указания осей несколько упрощает построения, не происходит наложения одной проекции на другую, но чертеж занимает большую площадь

Способ плоскопараллельного перемещения. Изменение взаимного положения проецируемого объекта и плоскостей проекций методом плоскопараллельного перемещения осуществляется путем изменения положения геометрического объекта так, чтобы траектория движения её точек находилась в параллельных плоскостях. Плоскости носители траекторий перемещения точек параллельны какой-либо плоскости проекций (рис. 145). Траектория произвольная линия. При параллельном переносе геометрического объекта относительно плоскостей проекций, проекция фигуры хотя и меняет свое положение, но остается конгруэнтной проекции фигуры в ее исходном положении. Свойства плоскопараллельного перемещения:

1. При всяком перемещении точек в плоскости параллельной плоскости П₁ , её фронтальная проекция перемещается по прямой линии, параллельной оси х .

2. В случае произвольного перемещения точки в плоскости параллельной П₂ , её горизонтальная проекция перемещается по прямой параллельной оси х .

Многогранники. Прямая и наклонная призма. Пирамида. Тела, ограниченные плоскими многоугольниками; Призма — многогранник, две грани которого являются конгруэнтнымимногоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками. Призма является частным случаем цилиндра — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину^[1] . По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.

.