Показникові та логарифмічні рівняння, нерівності та їх системи в шкільному курсі математики - реферат

Висновки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнута мета за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція».

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму ^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів, ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції».}

У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функції, їх властивості та графіки, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової і логарифмічної функції, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи, здійснювати обчислення числових виразів з логарифмами і степенями.

Учні повинні навчитися схематично зображати графіки показникових і логарифмічних функцій при різних основах, пам’ятати основні властивості цих функцій та вміти використовувати їх при розв’язанні показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей та їх систем. Бажано ознайьмити учнів на факультативних чи гурткових заняттях із схематичним зображенням графіків показникових та логарифмічних функцій з модулями.

У процесі розв’язування показникових і логарифмічних рівнянь та їх систем корисно систематизувати знання учнів про рівносильність рівнянь і систем, виділити операції, які можуть порушувати рівносильність. Слід звернути увагу на причини виникнення сторонніх коренів при розв’язуванні рівнянь і в зв’язку з цим на необхідність перевірки знайдених розв’язків, а також на причини втрати коренів.

Засвоення учнями нових знань при вивченні розділу базується на раніше вивченному матеріалі про степені й корені, розв’язанні системи алгеьраїчних рівнянь і нерівностей, тощо. Бажано, щоб актуальні питання раніше вивченного матеріалу грунтовно систематизувалися за рахунок часу, виділеного на узагальнююче повторення. При плануванні узагальнюючого повторювання це слід урахувати, і до повторенного матеріалу безпотреби можна не повертатися.

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності в шкільному курсі алгебри».

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» є однією з основних тем в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється велика кількість навчального часу (20(30)). У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• абстрактно- дедуктивний

• дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 8 параграфів, висновки та додатки.

В результаті написання кваліфікаційної роботи мною була досягнуті цілі за допомогою виконання тих завдань, які були намічені, тобто:

Систематизувала відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи. Розглянула всі основні способи розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем, теореми про рівносильність, та всі типові складності які виникають при розв’язуванні цих рівнянь.

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». З’ясувала місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувала вимоги до уявлень, знань, умінь та навичок учнів.

Проаналізувала сучасні діючі і пробні підручники з алгебри і початків аналізу. Провела логіко-дидактичний аналіз тем «Показникова функція» і «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С.

Запропонувала методичні рекомендації щодо викладання тем «Показникова і логарифмічна функція» в старших класах загальноосвітньої школи.

Сформулювала навчальні цілі, розробила тематичні плани до тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція», а токож фрагменти уроків, план- конспект уроку формування навичок і вмінь на тему: І Розв’язування логарифмічних рівняняьІ за підручником «Алгебра і початки аналізу» під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук .

Підібрала диференційовану систему вправ, подала приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та для самостійного розв`язування.

За допомогою комп’ютера і використовуючи програму ^Arbаit, розробила самоконтролюючу та контолюючу програму для перевірки знань учнів (теоретичних і практичних), ^{яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Яку я продемонструю.}

^{1. Диференційована система вправ:}

Система задач має три рівні складності:

І. Обов’язковий рівень - містить задачі та вправи, в основному репродуктивного характеру на 2-3 логічних кроки, представлені у формі тестів. Для їх розв’язування цчням достатньо знати правила, означення, формули, теореми та ознаки, передбачені навчальними програмами, а також вміти виконувати найпростіші тотожні перетворення, спрощення та обчислення.

ІІ. Підвищенний рівень - містить завдання на 4-6 логічних кроки, розв’язання яких вимагає від учня творчого застосування одержаних знань з достатньо повним і строгим обгрунтуванням ходу розв’язку.

ІІІ. Поглиблений рівень - це, як правило задачі та вправи, розв’язання яких вимагає вміння орієнтуватися в нестандартних ситуаціях, застосовувати орігінальні та штучні прийоми, глибини та строгості суджень, характерних для тих, хто вивчає шкільний курс математики на поглибленому рівні.

^{а) Показникові рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Розв’язати рівняння.

1.

1) ,

2) ,

3. ,

4. .

2.

1. 1,

2. 2,

3. 2; 3,

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. 3,

8. 4,

9. інша відповідь.

10. 

11. 3,

12. -3,

13. 1,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. 2,

19. інша відповідь.

Розв’язати нерівності.

1.

1. ,

2. ,

3. 

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. ,

9. інша відповідь.

10. 

11. ,

12. ,

13. ,

14. інша відповідь.

15. 

16. ,

17. ,

18. ,

19. інша відповідь.

20. 

21. ,

22. ,

23. .

24. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Розв’язати нерівность графічно.

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

1.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. ,

Розв’язати нерівності

1.

^{б) Логарифмічні рівняння і нерівності;}

Обов’язковий рівень.

Знайти корені рівняння.

1. 

2. 5,

3. 3,

4. 4,

5. інша відповідь.

   
   

2.

1) ,

2. ,

3. інша відповідь.

4. 

5. -2; 0,

6. інша відповідь,

7. 0; -2.

8. 

9. 3,

10. 8,

11. інша відповідь.

12. 

13. -4,

14. 4,

15. 2

16. інша відповідь.

При яких значеннях справедлива рівність.

1. 

2. ,

3. ,

4. ,

5. інша відповідь.

2.

1. ,

2. 9,

3. -9

4. інша відповідь.

5. 

6. 2,

7. ,

8. -2

9. інша відповідь.

Розв’язати нерівності

1. 

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

5. 

6. ,

7. ,

8. інша відповідь.

3.

1. ,

2. ,

3. ,

4. інша відповідь.

4.

1. ,

2. ,

3. інша відповідь.

Підвищний рівень

Розв’язати рівняння

Розв’язати нерівності

Поглиблений рівень

Розв’язати рівняння.

Розв’язати нерівності

3. ^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

Хочу поділитися своїми враженнями від нової форми навчання - за допомогою комп’ютера. Звичайно, не можна все зводити до нього, - і кількість годин, проведенних за екраном, не може служити критерієм якості навчання, як це намагаються представити в деяких приватних школах. Але безсумнівно одне - комп’ютер відмінний помічник для организації індивідуального навчання. Бо як тільки педагог перестає бачить в учені просто сосуд, який треба наповнити знаннями та вміннями, йому доводиться шукати індивідуальний підхід до кожного, підстраюватися до його інтересів, темп засвоєння матеріалу, особисті особливості психіки. Наприклад, в деяких школах кожен учень може вибрати для себя не просто курс, який його цікавить, але навіть окремі предмети. Комп’ютер, як відомо, виконує ту программу, яка в нього закладена, і надає великий вибір тем для вивчення. Сучасні методи представлення інформації в комп’ютерах включають в себе не просто текст, але і картинки, відео, звукові фрагменти. Це дозволяє задіяти практично всі органи почуттів, використовуваємих для сприйняття інформації, при цьому здійснюється її дублювання по різним каналам сприйняття, що різко підвищує швидкість і якість засвоєння матеріалу. Комп’ютерный підручник неможна вже порівнювати з книгою, як це було всього декілька років тому - зараз більшість навчаючих програм неможливо відрізнити від ігр, і для того, щоб перемогти в такій грі, будуть потрібні знання, які дитині важко приїняти як необхідні йому тільки зараз - але ж всім нам притаманно відкладати "на потім" рішення багатьох проблем. А такий елемент сучасних комп’ютерних документів, як гипертекстова ссилка дозволяє при необхідності звернутися до будь-якого місця документа за додатковою інформацією, і втой же час при повторному вивченні не перевантажує початковий текст документу. Доречі, по принципу гіпертексту влаштована всесвітня інформаційна мережа Internet, за допомогою якої вже зараз проводится так зване "дистанціоне навчання" - коли професори престижних університетів виступають з лекціями і відповідають на питання не звичної студентської аудиторії, а перед тими, хто в цей момент підключен до їх вузлу мережи. Недивлячись на тишу і візуальну відстутність слухачів, яких може бути не менше, чим глядачів у телеекрана, але на відміну від книги чи телепередачі зберігається зворотній зв’язок між викладачем і учнями. Це - реальність сьогоднішнього дня. Цікаво, що нас (і наших дітей) чекає в недалекому третьому тисячолітті.

^{Широке впровадження в навчальний процес нових інформаційних технологій відкриває широкі перспективи щодо поглиблення і розширення теоретичної бази знань, надання результатам навчання практичного значення, активізації пізнавальної діяльності, створення умов для повного розкриття творчого потенціалу учнів з урахуванням вікових особливостей, індивідуальних нахилів.}

^{На сьогодні розроблено значну кількість програмних засобів, що дозволяють розв’язувати за допомогою комп’ютера досить широке коло математичних задач різних рівнів складності. Це такі програми як DERIVE, EURIKA, GRAN1, Maple, MathCad. Причому одні з цих програм розраховані на фахівців досить високої кваліфікації в галузі математики, інші - на учнів середніх навчальних закладів та студентів.}

^{Можливість провести необхідний чисельний експеримент, швидко виконати потрібні обчислення чи графічні побудови, перевірити ту чи іншу гіпотезу, випробувати той чи інший метод розв’язування задачі, вміти проаналізувати та пояснити результати, отримані за допомогою комп’ютера, з’ясувати межі можливостей застосування комп’ютера чи обраного методу розв’язування задачі має надзвичайне значення у вивченні математики.}

^{Не торкаючись докладно всіх тем, які вивчаються в курсі математики загальноосвітньої середньої школи, можна зауважити, що комп’ютерні програми згаданого типу можуть бути використані практично на всіх уроках математики, починаючи вже з п’ятих-шостих класів, зокрема під час вивчення системи координат на прямій і на площині, поняття функції, елементарних функцій та їхніх властивостей, методів розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, елементів теорії границь числових послідовностей, диференціального та інтегрального числень та їх застосування.}

^{Використовуючи програму Arbeit я розробила програму, яка може бути використана при вивченні тем «Показникова і логарифмічна функції». Це контролююча програма, в якій передбачено самокотроль знань та контроль знань. Тобто за допомогою цієї програми учень може сам перевіряти набуті знання, і вчитель може перевіряти знання певного учня.}

Вступ.

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Історична довідка.

Логарифми: Винайдення логарифмів значною мірою прискорилось потребами удосконалення обчислень. Винайшли логарифми і майже одночасно почали їх застосовувати шотландський математик Джон Непер (1550-1617) і швейцарський математик, астроном і механік Йост Бюргі (1552-1632). Проте перший крок до спрощення обчислень зробив німецький математик Михаель Штіфель (1487-1567), у якого поняття логарифма з’явилося в результаті зіставлення геометричної і арифметичної прогресій. Ця ідея бере свій початок у працях Архімеда (бл. 287-212 до н.е.).

Таблиці логарифмів дуже спрощували обчислення, дії другого ступеня (множення, ділення) звелися до дій першого ступення (додавання, віднімання) над відповідними логарифмами. При цьому довелося виконувати дії із значно меншими числами. Але у зв’язку з впровадженням сучасних ЕОМ обчислення за допомогою логарифмів втаратило своє значення.

Показникова функція: До початку XVII ст. у математиці уникали вживання дробових та від’ємних показників степенів. Лише в кінці XVII ст. у зв’язку з ускладенням математичних задач виникла необхідність поширити область визначення показника степеня на всі дійсні числа. Узагальнення поняття степеня , де n - будь-яке дійсне число, дало змогу розглянути показникову функцію на множині дійсних чисел і степеневу функцію на множині додатних чисел ( для цілих n степенева функція визначена і для x<0). Питання, пов’язане з показниковою функцією, розробляв Леонард Ейлер. У двох розділах своєї праці «Вступ до аналізу» він описав «показникові і логарифмічні кількості». В ній, зокрема зазначено, що показникові кількості можуть бути різноманітними залежно від того, «чи буде змінною кількістю один лише показник степеня, чи, крім того, ще і кількість, яку підносять до степеня». До перших належать , до других .

Кваліфікаційна робота написана на тему «Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності та їх системи».

МЕТА РОБОТИ - системазувати відомості про показникові та логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи в шкільному курсі алгебри старшої школи і розкрити роль і місце вивчення показникових та логарифмічних рівняньта нерівностей в школі та вибрати методику подання цієї теми.

ДЛЯ ДОСЯГНЕННЯ МЕТИ БУЛИ ПОСТАВЛЕНІ ТАКІ ЗАВДАННЯ:

1. Систематизувати відомості про розв’язування показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в шкільному курсі алгебри старшої школи.

2. З’ясувати місце показникових та логарифмічних рівнянь й нерівностей та їх систем в діючій та проекті нової програми з математики, конкретизувати вимоги до знань, умінь і навичок учнів.

3. Проаналізувати сучасні діючі і пробні підручники з алгебри.

4. Запропонувати методичні рекомендаціі щодо викладання тем “Показникова функція” та «Логарифмічна функція» в середній загальноосвітній школі.

5. Підібрати диференційовану систему вправ.

6. Подати приклади розв’язування рівнянь та нерівностей різної складності та задачі самостійного розв’язування.

7. Опробувати розроблену методику в сучасній школі.

8. Зробити висновки.

В ПРОЦЕСІ РОБОТИ ВИКОРИСТОВУВАЛИСЬ ТАКІ МЕТОДИ:

• дослідницький метод при вивченні психологопедагогічної, наукової та методичної літератури з предмету дослідження;

• аналітичні методи;

• практична реалізація запропонованої методики.

ПРИ ПРОВЕДЕННІ УРОКІВ В ШКОЛІ ПРОПОНУЄТЬСЯ ЗАСТОСУВАТИ ТАКІ МЕТОДИ:

• пояснювально--ілюстраційний;

• конкретно--індуктивний;

• дослідницький.

Робота складається з таких частин: Вступ, 3 розділи, які включають в себе 7 параграфів.

Розділ I - Загальна теорія рівнянь

§1 -це основні види рівняння, означення, твердження.

§2 - розглядається класифікація і способи розв’язання показникових рівнянь та нерівностей.

§3 - розглядається класифікація і способи розв’язання логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Розділ II - Місце показникових та логарифмічних рівняннь в шкільному курсі алгебри.

§1 Місце в діючий програмі.

§2 Аналіз діючих підручників та тестів

Розділ III- Методика навчання розв’язання показникових та логарифмічних рівнянь.

§1 методичні особливости навчання.

§2 Диференційована система вправ.

§3 ^{Використання нових інформаційних технології при вивченні тем показникові і логарифмічні рівняння та нерівності.}

В данній кваліфікаційній роботі проаналізовані різни підходи при вивченні показникових та логарифмічних рівнянь, а також взагалі при вивченні теми «Показникова і логарифмічна функції». Також проведений логіко- дидактичний аналіз тем «Показникова функція», «Логарифмічна функція» за новим підручником «Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. Проведено порівняльну характеристику вивчення данної теми в підручниках під редакцією А.Н. Колмогорова та під редакцією Шкіль М.І., Слєпкань З.І., Дубінчук О.С. А токож приведені фрагменти уроків, розроблено тематичний план до цих тем, розроблено план-конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь», а також складена система задач.

Актуальність теми полягає в тому, що тема «Показникова і логарифмічна функції» займає велике місце в шкільній програмі з математики в 11 класі, її приділяється багато часу. У процесі вивчення цього розділу учні систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про степені і корені та їх властивості, засвоюють поняття показникової і логарифмічної функцій, їх властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової та логарифмічної функціями, розв’язувати показникові і логарифмічні рівняння й нерівності та їх системи.

Останнім часом розв’язуванню задач, а точніше рівнянь або нерівностей, показникових та логарифмічних, приділяється багато уваги, осбливо на вступних екзаменах до ВУЗів та інших навчальних закладах. Тому розгляд цієї теми дуже важливий.

План- конспект уроку формування навичок та вмінь на тему «Розв’язування логарифмічних рівнянь».

Тема: Розв’язування логарифмічних рівнянь.

Мета уроку: Навчити учнів розв’язувати логарифмічні рівняння

різними методами.

Обладнання уроку: Таблиці властивостей логарифмів.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

А) Пропонується учням відповісти на поставлені запитання.

1. Що називається логарифмом числа за даною основою ?

Очікувана відповідь: Логарифмом числа за основою ( і ) називається показник степеня , до якого треба піднести , щоб дістати число .

2. Записати основну логарифмічну тотожність?

Очікувана відповідь: .

3. Перерахуйте основні властивості логарифмів ?

Очікувана відповідь:

Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів.

Т2: Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника (чисельника і значенника).

Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня.

Т4: Логарифм кореня з додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня.

4) Що таке потенціювання?

Очікувана відповідь: Перетворення, за допомогою якого за даним логарифмом числа (виразу) визначають саме число (вираз), називається потенціюванням. Це перетворення є оберненим до логарифмування.

5. Записати формулу переходу від однієй основи логарифма до іншої?

Очікувана відповідь: , , , , .

6. Які рівняння називають логарифмічними ?

Очікувана відповідь: Логарифмічними називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

7. Який вигляд і розв’язок має найпростіше логарифмічне рівняння?

Очікувана відповідь: Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд , де , , - будь-яке число. Воно має єдиний розв’язок , який можна дістати за допомогою потенціювання.

8. Яка причина появи сторонніх коренів?

Очікувана відповідь: Під час розв’язування логарифмічних рівнянь може статися розширення області визначення і можуть з’явитися сторонні корені.

Б) Математичний диктант.

Читається кожне завдання окремо. Числові дані записуються на дошці (можна використовувати кодоскоп).

1. Знаючи , знайти .

2. Знайти , якщо .

3. Чи правильно, що ? Чому?

4. Довести, що .

5. Чи правильно, що ? Чому?

Пропонується учням ( на кожній парті) обмінятися виконаними завданнями і здійснити перевірку диктанта.

Правильні відповіді на всі завдання диктанта демонструються на дошці ( були написані попередньо) або за допомогою кодоскопа.

Учні самі виставляють оцінки за такими нормами: правильно розв’язане завдання - «+», неправильно розв’язане завдання - «-», залежно від кількості «+» і «-» виставляється оцінка: 5 «+» - «5», 4 «+» - «4», 3 «+» - «3», менше 3 «+» - 2.

ІІ. Постановка задачі урока.

Завдання даного уроку - навчитись розв’язувати логарифмічні рівняння різними методами.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу .

А) Первинне застосування набутих знань.

Спочатку нагадуємо, що для розв’язання рівняння ( , ) (1) досить розв’язати рівняння (2) і його розв’язки підставити в систему нерівностей (3), яка задає область визначення рівняння. Коренями рівняння (1) є тільки ті розв’язки рівняння (2), які задовольняють систему (3), тобто належатьобласті визначення рівняння, заданого формулою (1).

Завдання 1 і 2 розв’язуються колективно під керівництвом вчителя.

Завдання 1: Розв’язання рівняння

Розв’язання :

Вчитель ставить ряд запитань, щоб проаналізувати розв’язування рівняння.

1. Уважно розглянувши праву і ліву частини рівняння, ми бачимо,що основи логарифмів однакові і ми можемо пропотенціювати обидві частини. Що для цього треба зробити?

(Використовуючи властивості Т1: Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів, Т3: Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня , помноженого на логарифм основи цього степеня, отримаємо )

Після потенціювання одержимо . Звідсі , .

2. Зробимо перевірку: Підставимо в дане рівняння замість невідомого числа -9. У лівій частині дістанемо вирази і , чи може таке бути?

( Вирази і не мають смислу, бо логарифми від’ємних чисел не існують)

Отже значення є стороннім коренем. Тепер перевіримо, чи є коренем даного рівняння число 2. Ліва частина рівняння має вигляд:

.

Ліва частина дорівнює правій. Отже, - корінь даного рівняння.

Прийом потенціювання широко застосовується під час розв’язування логарифмічних рівнянь.

Завдання 2: Розв’язти рівняння

Розв’язання : Скористаємося вже відомим вам методом заміни зміної.

Що нам зручно прийняти за ? ( )

Тоді ми дістанемо квадратне рівняння . Знаходимо його корені: , . Дістанемо два рівняння: ,

За означенням логарифма знаходимо розв’язки першого і другого рівняння. (самостійно в зошитах), , .

За допомогою перевірки з’ясовуємо, що обидва знайдених значення є корнями даного рівняння. (Перевірку учні роблять самостійно в зошитах).

Відповідь: , 16.

Б) Коментоване розв’язування вправ.

Завдання 3: Розв’язати рівняння (№52(6))

Завдання 4: Розв’язати рівняння (№53(4))

Завдання 5: Розв’язати рівняння (№53(12)

Завдання 6: Розв’язати рівняння (№53(13)).

Учні розв’язують рівняння самостійно. Більш підготовленому учню вчитель пропонує прокоментувати розв’язування.

Наведемо для прикладу один з можливих варіантів коментування учнем розв’язування рівняння 3. (в залежності від класу вчитель може допомогати при розв’язуванні, підказуючи, якщо виникають складнощі, спосіб розв’язування ).

Це рівняння можна розв’язати за допомогою означення логарифма, тобто рівняння можна переписати так , і розв’язуємо це рівняння. Отримуємо, що є коренем рівняння, який належить області визначення рівняння.

Розв’язання завдання 4:

.

Відповідь: .

Розв’язання завдання 5: Розв’язати рівняння

Область визначення рівняння

3 6

Відповідь: Розв’язків немає.

Розв’язання завдання 6: .

Рівняння такого типу розв’язуються логарифмуванням і називаються показниково-логарифмічними.

, робимо заміну змінної

,

і

і

Відповідь: 10; 100.

В) Самостійне розв’язування задач .

Завдання 7: Розв’язати рівняння

Завдання 8: Розв’язати рівняння

Завдання 9: Розв’язати рівняння .

Самостійна робота перевіряється на уроці

ІV. Підсумки уроку.

1. Як працював клас.

2. Оцінка роботи окремих учнів.

3. Домашнє завдання.

Підручник під редакцією М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубінчук «Алгебра і початки аналізу у 10-11 кл.» К: Зодіак-ЕКО,1995р

Розділ V, №№ 52(8,12,14), 53(1, 2, 3, 6, 11, 16)

^{І. Загальна теорія рівнянь:}

1. ^{Рівняння основні означення, твердження}

1) В алгебрі розглядають два види рівностей - тотожності і рівняння. Розглянемо функції y=f(x), визначену на множині M, і y=g(x), визначену на множині N.

Якщо на деякій множині R, яка є підмножиною як М, так і N, має місто рівність

f(x)=g(x),

то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність

f(x)=g(x)

при цьому називається тотожністю на множині R.

Часто приходиться розглядати функції, про які невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій вони тотожно рівні. В такому випадку рівність

f(x)=g(x)

називають рівнянням. Воно виражає задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) і g(x) рівні. Шукані значення х при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, які належать множині допустимих значень рівняння і задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називають коренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f і g.

Букви, які входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення і називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення яких потрібно знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x₁,x₂,...,x_n або y₁,y₂,...,y_k ).

В загальному вигляді рівняння з n невідомими x₁,x₂,...,x_n може бути записано у вигляді

f(x₁,x₂,...,x_n)=g(x₁,x₂,...,x_n), (1)

де f(x₁,x₂,...,x_n),g(x₁,x₂,...,x_n) - функції вказаних змінних. В залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і більше невідомими.

Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено всі його корені або показано, що рівняння коренів немає.

Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).

Якщо всі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння j(x)=y(x), то говорять, що рівняння j(x)=y(x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), і записують

f(х)=g(x) Юj(x)=y(x).

Два рівняння f(х)=g(x) і j(x)=y(x) називають еквівалентними, якщо кожне з них являється наслідком другого, і записують

f(х)=g(x) Ы j(x)=y(x).

Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.

Рівняння f(х)=g(x) вважають еквівалентним двом (або декільком) рівнянням f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає з сукупністю множин розв’язків рівнянь f₁(x)=g₁(x), f₂(x)= g₂(x).

Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком другого.

Деякі еквівалентні рівняння:

1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

3.Рівняння FґG=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 і G=0, кожне з яких розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.

4.Рівняння Fⁿ=0 еквівалентне рівнянню F=0.

5.Рівняння Fⁿ=Gⁿ при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G і F=-G.

Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням або заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називається рівносильним переходом.

Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.

ТеоремаІ. Рівняння

f(х)=g(x) і f(х)+j(x)=g(x)+j(x)

рівносильні, якщо j(x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).

З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданку на протилежний.

Теорема ІІ. Якщо обидві частини рівняння

f(х)=g(x) (1)

помножити на вираз j(x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння

f(х)ґj(x)=g(x)ґj(x) ( 2),

яке є наслідком рівняння (1).

Якщо при цьому j(x)№0, то рівняння (1) і (2) рівносильні.

Теорема ІІІ. Рівняння

fⁿ(х)=gⁿ(x), (*)

де nі2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).

Це значить, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем і рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), але рівняння fⁿ(х)=gⁿ(x), може мати ще й інші корені, які не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.

Розрізняють рівняння алгебраїчні і трансцендентні. В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, тільки операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.

Якщо над невідомими здійснюються й інші операції, то рівняння називають трансцендентним.

Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.

У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розв’язанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, які належать до їх складу. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. Зокрема, до них відносяться показникові та логафмичні рівняння.

В процесі розв’язування рівняння за допомогою різних перетворень замінюють простішим, рівносильним йому рівнянням. Якщо це не вдається, то можливі два такі випадки.

1. Під час переходу до нового рівняння може трапитись втрата коренів.

2. Нове рівняння може містити корені, що не є коренями вихідного рівняння (зайві корені). Зайві корені можна виявити за допомогою перевірки (підстановкою всіх коренів нового рівняння у вихідне).

Нехай f(x) - числова функція однієї чи декількох змінних (аргументів). Вираз, в якому є знаки ">" (<) або "і" (Ј), називають нерівністю.

Розв’язати нерівність

f(x)<0 (f(x)>0) (4)

- це значить знайти всі значення аргументу (аргументів) функції f , при яких нерівність (4) справедлива. Множина всіх значень аргументу функції f, при яких нерівність (4) справедлива, називається множиною розв’язків нерівності або просто розв’язком нерівності.

Множина розв’язків нестрогої нерівності

f(x)Ј0 (f(x)і0) (5)

представляє собою сукупність множини розв’язків нерівності (4) і множини розв’язків рівняння f(x)=0.

Дві нерівності f₁(x)<0 (1(x)) і f₂(x)<0 (2(x)) називаються еквівалентними, якщо множини їх розв’язків співпадають.

При цьому пишуть

f₁(x)<0 (g₁(x)) Ы f₂(x)<0 (g₂(x)).

Якщо дві нерівності не мають розв’язків, то за означенням вони також вважаються рівносильними.

Під множиною допустимих значень невідомих, які входять в нерівність, розуміють область визначення функції f(x).

Рівносильні нерівності можуть мати різні області допустимих значень (наприклад, нерівність x>1 рівносильна нерівності >1, при цьому ми