Рекомендации по улучшению работы смо; стр. 21 Заключение; стр. 22 Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Новосибирский Государственный Технический Университет Кафедра "Высшей математики" Расчётно-графическая работа по теме: Математические методы исследования экономики. (системы массового обслуживания) Выполнили: Аникин С.А. Проверил: Джафаров К.А. Сердцев В.С. Дата Студенты групп ФБЭ – 52, Оценка: ФБЭ – 51 Дата 21.05.07 Новосибирск 2007г Содержание: 1. Введение;………………………………………………………………………..стр. 3 2. Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО); … …………………………………………………………………………………...стр. 4 3. Сводная таблица результатов по выборке;…………………………………...стр. 5 4. Проверка статистических гипотез (ПСГ) при помощи критерия «χ2 » Пирсона:……………………………………………………………………..…..стр. 6 4.1. Проверка статистических гипотез для количества поступивших клиентов систему (X); 4.2. Проверка статистических гипотез для количества обслуженных клиентов системой (Y). 5. Расчёт показателей СМО;………………………………………………...…..стр. 13 6. Расчёт показателей СМО после улучшений, произведённых в системе;…стр. 15 7. Экономическая обоснованность улучшений;………………………….……стр. 19 8. Рекомендации по улучшению работы СМО;…………….…………….……стр. 21 9. Заключение;……………………………………………………………………стр. 22 10. Список используемой литературы;………………………………...………...стр. 23 1. Введение. Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу. Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере парикмахерской). При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики. Визитная карточка организации 2. Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО). Наименование организации: … Род деятельности: парикмахерская Место расположения: … Контактный телефон: … Время работы: с 9.00 до 20.00, без обеда и выходных Необходимые данные для анализа системы: Рассматриваемый промежуток времени: с 19 марта 2007 по 27 апреля 2007г. Рассматриваемый вид обслуживания: стрижка Рассматриваемое количество обслуживающих приборов: 2 Рассматриваемые дни: дни с понедельника по пятницу включительно. Рассматриваемый интервал времени: 11 часов (полное рабочее время). 3. Сводная таблица результатов по выборке. Рассматриваемый месяц День месяца Xi Yi Кол-во клиентов получивших отказ (U) i Кол-во поступивших клиентов i Кол-во обслуженных клиентов Март 19 1 32 1 22 10 20 2 40 2 30 10 21 3 32 3 25 7 22 4 31 4 22 9 23 5 34 5 21 13 Март 26 6 36 6 25 11 27 7 36 7 24 12 28 8 32 8 24 8 29 9 30 9 19 11 30 10 36 10 26 10 Апрель 2 11 31 11 22 9 3 12 27 12 17 10 4 13 31 13 23 8 5 14 32 14 21 11 6 15 42 15 29 13 Апрель 9 16 35 16 24 11 10 17 36 17 25 11 11 18 26 18 17 9 12 19 37 19 27 10 13 20 33 20 23 10 Апрель 16 21 33 21 23 10 17 22 40 22 29 11 18 23 27 23 20 7 19 24 32 24 21 11 20 25 37 25 24 13 Апрель 23 26 35 26 26 9 24 27 30 27 20 10 25 28 23 28 17 6 26 29 31 29 22 9 27 30 39 30 25 14 Итого -/- -/- 996 -/- 693 303 4. Проверка статистических гипотез (ПСГ) при помощи критерия «χ2 » Пирсона. Проверка статистических гипотез необходима для определения закона распределения генеральной совокупности, если этот закон нам заранее не известен. 4.1. Проверка статистических гипотез для количества поступивших клиентов в систему (X). 1. Формулируем гипотезы: H0 – выборка из распределения Пуассона с параметрами λ и μ [F(x)=F0 (x)]. H1 – выборка не из распределения Пуассона [F(x)≠F0 (x)]. 2. Выбираем уровень значимости критерия, необходимого для проверки гипотез: α = 0,01 3. Выбираем статистику критерия, для этого рассчитаем значения параметров: xi – количество поступивших клиентов в систему в i-тый день; λ ( ) - среднее количество клиентов, поступивших в систему: ni – количество дней, соответствующее xi ; ni 2 – количество дней, соответствующее xi , в квадрате; Pi – вероятность свершения i-ого события; Pk – вероятность того, что случайная величина X = k [Pk = P(x = k)]; χ2 расч – расчётное значение критерия «χ2 » Пирсона. , , , . 3.1 Строим таблицу для расчёта среднего значения: Примечание: в данной и последующих проверках для получения среднего значения λ ( ) интервальные ряды не строились, поскольку нас интересуют точные значения среднего. Все расчёты проводились в ручном и машинном варианте, последний из которых представлен ниже (использованы средства Microsoft Excel 2003): Число единиц Частоты (ni ) xi xi *ni 1 23 1 23 23 2 26 1 26 26 3 27 2 27 54 4 30 2 30 60 5 31 4 31 124 6 32 5 32 160 7 33 2 33 66 8 34 1 34 34 9 35 2 35 70 10 36 4 36 144 11 37 2 37 74 12 39 1 39 39 13 40 2 40 80 14 42 1 42 42 Итого 30 996 Среднее значение ( λ) 33,2 3.2 Строим интервальный ряд: , , где: xmax = 42; xmin = 23; R – вариационный размах; K – число интервалов (К = 7); γ – длина интервалов. R = 42 – 23 = 19 γ = 19/7 = 2,714 k Pk 1 0,0000000000 2 0,0000000000 3 0,0000000000 4 0,0000000002 5 0,0000000013 6 0,0000000071 7 0,0000000336 8 0,0000001396 9 0,0000005151 10 0,0000017102 11 0,0000051616 12 0,0000142805 13 0,0000364702 14 0,0000864864 15 0,0001914233 16 0,0003972034 17 0,0007757149 18 0,0014307630 19 0,0025000700 20 0,0041501162 21 0,0065611361 22 0,0099013509 23 0,0142923848 Итого 0,0403449685 k Pk 1 23 0,040345 2 26 0,033527 3 27 0,041226 4 30 0,061931 5 31 0,066326 6 32 0,068813 7 33 0,069230 8 34 0,067601 9 35 0,064124 10 36 0,059137 11 37 0,053063 12 39 0,039466 13 40 0,032757 14 42 0,302454 Итого 1 Интервалы Pi n*Pi Частоты (ni ) Pi n*Pi ni 2 ni 2 / n*Pi 1 [23;25,714) 0,040345 1,210349 Объединение 10 0,243354 7,300622 100 13,69746 2 [25,714;28,428) 0,074753 2,242582 3 [28,428;31,142) 0,128256 3,847691 4 [31,142;33,856) 0,138043 4,141288 14 0,328905 9,867161 196 19,86387 5 [33,856;36,57) 0,190862 5,725873 6 [36,57;39,284) 0,092529 2,775884 6 0,427741 12,83222 36 2,805438 7 [39,284;42] 0,335211 10,05634 Итого 1 30 1 30 36,36677 Хи 2 -расчётное 6,366769 4. Вычисляем критическую (S) и доверительную (D) область: По таблице распределения χ2 при заданном α = 0,01 и числу степеней свободы находим χ2 крит . Число степеней свободы = K – L – 1, где K – число «интервалов», L = 1. Число степеней свободы = 3 – 1 – 1 = 1. Следовательно, χ2 крит = 6,6 Значит критическая и доверительная области выглядят следующим образом: D [0 ; χ2 крит ). S [χ2 крит ; + ∞); D [0 ; 6,6). S [6,6 ; + ∞). 5. Поскольку χ2 расч входит в доверительную область D, то нет оснований отвергать основную гипотезу о Пуассоновском распределении. 4.2. Проверка статистических гипотез для количества обслуженных клиентов системой (Y). 1. Формулируем гипотезы: H0 – выборка из распределения Пуассона с параметрами λ и μ [F(y)=F0 (y)]. H1 – выборка не из распределения Пуассона [F(y)≠F0 (y)]. 2. Выбираем уровень значимости критерия, необходимого для проверки гипотез: α = 0,01 3. Выбираем статистику критерия, для этого рассчитаем значения параметров: xi – количество обслуженных клиентов системой в i-тый день; λ ( ) - среднее количество клиентов, обслуженных системой: ni – количество дней, соответствующее xi ; ni 2 – количество дней, соответствующее xi , в квадрате; Pi – вероятность свершения i-ого события; Pk – вероятность того, что случайная величина X = k [Pk = P(x = k)]; χ2 расч – расчётное значение критерия «χ2 » Пирсона. , , , . 3.1 Строим таблицу для расчёта среднего значения: Все расчёты проводились в ручном и машинном варианте, последний из которых представлен ниже (использованы средства Microsoft Excel 2003): Число единиц Частоты (ni ) xi xi *ni 1 17 3 17 51 2 19 1 19 19 3 20 2 20 40 4 21 3 21 63 5 22 4 22 88 6 23 3 23 69 7 24 4 24 96 8 25 4 25 100 9 26 2 26 52 10 27 1 27 27 11 29 2 29 58 12 30 1 30 30 Итого 30 693 Среднее значение ( λ) 23,1 3.2 Строим интервальный ряд: , , где: xmax = 30; xmin = 17; R – вариационный размах; K – число интервалов (К = 7); γ – длина интервалов. R = 30 – 17 = 13 γ = 13/7 = 1,857 k Pk 1 0,0000000021 2 0,0000000248 3 0,0000001908 4 0,0000011016 5 0,0000050895 6 0,0000195946 7 0,0000646622 8 0,0001867122 9 0,0004792281 10 0,0011070169 11 0,0023247354 12 0,0044751157 13 0,0079519363 14 0,0131206949 15 0,0202058701 16 0,0291722250 17 0,0396399057 Итого 0,1187541059 k Pk 1 17 0,118754 2 19 0,061849 3 20 0,071435 4 21 0,078579 5 22 0,082508 6 23 0,082866 7 24 0,079759 8 25 0,073697 9 26 0,065477 10 27 0,056019 11 29 0,036813 12 30 0,192243 Итого 1,0 Интервалы Pi n*Pi Частоты (ni ) Pi n*Pi ni 2 ni 2 / n*Pi 1 [17;18,857) 0,118754 3,562623 Объединение 6 0,252038 7,561141 36 4,761186 2 [18,857;20,714) 0,133284 3,998517 3 [20,714;22,571) 0,161086 4,832593 14 0,323712 9,711354 196 20,18256 4 [22,571;24,428) 0,162625 4,87876 5 [24,428;26,285) 0,139174 4,175233 7 0,195194 5,855813 49 8,367753 6 [26,285;28,142) 0,056019 1,680581 7 [28,142;30] 0,229057 6,871702 3 0,229057 6,871702 9 1,309719 Итого 1 30 1 30 34,62122 Хи2 -расчётное 4,62122 4. Вычисляем критическую (S) и доверительную (D) область: По таблице распределения χ2 при заданном α = 0,01 и числу степеней свободы находим χ2 крит . Число степеней свободы = K – L – 1, где K – число «интервалов», L = 1. Число степеней свободы = 4 – 1 – 1 = 2. Следовательно, χ2 крит = 9,2 Значит критическая и доверительная области выглядят следующим образом: D [0 ; χ2 крит ). S [χ2 крит ; + ∞); D [0 ; 9,2). S [9,2 ; + ∞). 5. Поскольку χ2 расч входит в доверительную область D, то нет оснований отвергать основную гипотезу о Пуассоновском распределении. 5. Расчёт показателей СМО.