Применение теории катастроф маневры и теория катастроф Применение в естественных науках СОДЕРЖАНИЕ Введение. Постановка задачи………………………………...................….….2 Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ………………………………………..……..4 1.1 История создания теория катастроф……………………….………..4 1.2 Физические основы теории катастроф……………………………....8 1.3 Математические основы теории катастроф………………………...12 1.4 Элементарные катастрофы…………………………………………..18 Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ …………………………...32 2.1 Маневры и теория катастроф…………………………………………33 2.2 Применение в естественных науках………………………………….38 2.3 Применение в психологии…………………………………………….43 Глава 3. ФАКУЛЬТАТИВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ КАТАСТРОФ…...45 3.1 Применение в методике обучения……………………………………46 3.2 Факультативные занятия по теории катастроф……………………...48 Заключение………………………………………………………………….........67 Список используемой литературы………………………………………...........68 ВВЕДЕНИЕ Постановка задачи Если внимательно рассмотреть различные процессы (в механике, физике, химии, технике, астрономии, биологи и прочее), то нельзя не заметить, что устойчивое равновесие при непрерывном изменении параметров системы может стать неустойчивым, а непрерывный процесс с течением времени может стать разрывным [1.C.7]. Изучение таких процессов привело к созданию математической теории, которая рассматривает некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий и позволяет судить о взаимодействии различных событиях (казалось бы, несвязанных между собой). Но эта теория часто излагается так, что многочисленные технические детали мешают ее восприятию неспециалистами. Вряд ли кто-нибудь мог бы подготовить современное и очень ясное изложение существа предмета квалифицированно, так чтобы было можно горячо рекомендовать каждому читателю, интересующемуся современными достижениями в науке и технике. Дж. Лайтхилл [1.C.7]. В связи с этим была поставлена основная задача дипломной работы - свести основные знания о теории катастроф и её приложении воедино и адаптировать их для учащихся средней школы. Актуальность данной работы состоит в том что, данная работа способствует формированию мировоззрения (правильного представления об окружающих процессах и явлениях и об ограничениях на их предсказуемость). Целью данной дипломной работы является изучение математической теории катастроф и ее приложений. Объект исследования данной работы – процесс формирования научного мировоззрения учащихся на основе теории катастроф. Предмет исследования – рассмотрение основных направлений приложений теории катастроф. Цель, объект, предмет исследования позволяют сформулировать задачи исследования . Они состоят в следующем: 1) рассмотреть исторический аспект теории катастроф; 2) изучить основы математической теории катастроф; 3) описать все типы катастроф, которые могут иметь место в естествознании и других науках; 4) сделать литературный обзор приложений теории катастроф; 5) рассмотреть мировоззренческий аспект теории катастроф; 6) создать факультативный курс для средних учебных заведений. состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении рассмотрены цели, задачи и актуальность данной дипломной работы. Первая глава посвящена содержанию самой теории катастроф. В ней так же приводятся история становления этой теории. Особое внимание в этой главе уделено типам катастроф, приводится классификация элементарных катастроф Р.Тома. Во второй главе собраны сведения из научной литературы по приложениям теории катастроф. Здесь приведены примеры катастроф в самых различных отраслях человеческой деятельности. Третья глава носит оригинальный характер, так как в ней впервые предлагается факультативный курс по теории катастроф для учащихся старших классов средней школы. В заключении приведены выводы из дипломной работы. Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ 1.1 История создания теории катастроф Для полного понимания становления теории катастроф, необходимо начать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон изложил экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы [1.C.11]. В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им вариационное исчисление для рассмотрения сжатой упругой колонны [1.C.11]. Жозеф Луи Лагранж развил аналитический энергетический метод в механике («Аналитическая механика», 1788) [2.C.4]. Метод Лагранжа привел к фундаментальной теореме о том, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости. Дальнейший существенный вклад в аналитическую механику принадлежит Уильяму Гамильтону, который понял, как описать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. Результатом их деятельности стало формирование представления о консервативной (гамильтоновой) динамической системе. Очень быстрый рост науки и, в частности, прикладной механики привел к специализации и возникновению разнообразных версий первоначальных классических результатов [1.C.13]. Анри Пуанкаре дал набросок общей теории бифуркаций и создал общую качественную теорию динамических систем. Математическую точность основному определению устойчивости придал А.М.Ляпунов. В докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» в 1892 году он ввел обобщенные энергетические функции, носящие теперь его имя [1.C12]. Следуя по пути, предложенному А.Пуанкаре, А.Андронов и А.Понтрягин ввели в 1937 году важное топологическое понятие структурной устойчивости, которое лежит в основе последующих классификаций Тома, Зимана, Смейла и Арнольда [2.C.4]. В настоящее время, достижения качественной теории динамических систем Пуанкаре представляют большую топологическую главу основ механики вообще и теории устойчивости в частности. Дальнейшее исследование бифуркаций было проведено Койтером в его диссертации в 1945 году [1.C13]. Более позднее объяснение нелинейного поведения упругих систем под действием консервативной нагрузки предложено Будянским. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области. В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладких отображений [3.C.8]. Она стала одна из цент­ральных областей математики, связывающая абстрактные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геомет­рию, теорию групп, порожденных отраже­ниями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифур­каций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее). Исследования, проводившиеся по изучению теории устойчивости в Университетском колледже в Лондоне (Генри Чилвером), были связаны главным образом с дискретными консервативными системами. Рене Тома, изучив характер работ Хаслера Уитни по теории особенностей и предшествовавших им работ А.Пуанкаре и А.Андронова по теории бифуркаций, занялся широкой пропагандой этой теории. К. Зиман ввел термин «теория катастроф», как сово­купность теории особенностей и ее приложений. Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Ими были рассмотрены взаимосвязь инженерных и топологических подходов в ряде работ - это имело большое значение для создания единой теории бифуркаций [1.C.14]. Рене Тома сделал обзор приложений теории катастроф. Одна из его работ – «Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф» была издана в 1974 году. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта, включающие теорию катастроф [4.C.12]. Исследование динамических систем с помощью бифуркаций проводили Л. Д. Ландау, позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному течению при возрастании числа Рейнольдса. Ландау описывал этот пере­ход через бифуркации торов все возрастающей размерности. Позже появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотиче­скому (турбулентному) движению [5.C.9]. В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Г.Заславский и Р.Сагдеев опубликовали «Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса». Американ­ский физик Р. Гилмор рассмотрел приложение теории катастроф в сфере точных наук. В 1999 году в Уфимском Государственном Авиационном Технологическом Университете на специализации прикладная математика О.М.Киселёв прочитал курс лекций - «Введение в теорию нелинейных колебаний». Его цель – познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений. В 2001 году в Ижевском НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» была переведена работа французского учёного Д. Рюэля, который представил основные знания по нелинейной динамике, хаосу за последние десятилетия. В настоящее время нелинейной динамикой в России занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения. Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков занялся реализацией идеи о воспитании мышления, основанного на нелинейной динамики, на базе лицея Колледжа прикладных наук и Высшего Колледжа прикладных наук (факультет нелинейных процессов Саратовского госуниверситета). Учёным был разработан 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплины как «Нелинейные колебания», «Теория катастроф», «Динамические системы и бифуркации», «Динамический хаос». А. Кузнецов составил задачник «Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос», содержащий теоретические и исследовательские задачи, который был выпущен в 2000 году. Кроме этого, с теорией катастроф можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books, http://rcd.ru Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, а так же с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук. Т.о. Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин — топологии и ма­тематического анализа, ее источниками являются теория особенностей глад­ких отображений X. Уитни и теория устойчивости и бифуркаций динамиче­ских систем А. Пуанкаре, А. Ляпунова и А. Андронова. Оба эти направления слились благодаря усилиям французского математика Р. Тома в единую стройную теорию, которая получила столь броское название — теория катастроф [5.C.11]. 1.2 Физические основы теории катастроф Что общего между прыгающим мячиком, ледоходом на реке, извержением вулкана, биологической популяцией белок в лесу, распределением вещества во Вселенной, формированием понятия? Все эти объекты могут рассматриваться как динамические системы . А для динамической системы можно указать набор величин, называемый динамическими переменными и характеризующий состояние системы, при чем значения динамических переменных из исходного набора изменяются в любой последующий момент времени по определенному правилу. Это правило задает оператор эволюции [4.C.11]. Например, для мячика оператор эволюции определяется законами движения с учетом силы тяжести и силой удара о землю. Мгновенное состояние будет задаваться двумя величинами – расстоянием от земли и временем. Геометрически мгновенное состояние определяется как точка на фазовой плоскости , где расстояние и время будут осями ординат и абсцисс соответственно (рис.1.). S S t Рис.1. Движение мяча Если состояние системы задается набором N величин, то динамику можно представить как движение точки в N-мерном фазовом пространстве ( эволюционный процесс математически описывается векторным полем). Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (сос­тояние не меняется с течением времени). Однако с течением времени в системе устанавливаются колебания, таким образом, равновесное состояние неустойчиво . Кривые в фазовом пространстве, образованные после­довательными состояниями процесса, называются фазовыми кривыми . [3.C.17]. Установив­шиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости. Эта кривая называется предельным цик­лом в фазовой плоскости (рис.2.) [3.C.17]. Устойчивые Неустойчивые Фокус узел седло узел фокус Рис.2. Типичные фазовые портреты в окрестности точки равновесия Различают два класса динамических систем: консервативные (режим динамики определяется начальным состоянием) и диссипативные (режим динамики становится не зависящим от начального состояния). В курсе теории катастроф рассматриваются диссипативные динамические системы. Множество точек в фазовом пространстве диссипативной динамической системы в установившемся режиме называют аттрактором . [5.C.9]. Простые примеры аттракторов – устойчивое состояние равновесия и предельный цикл, отвечающий режиму периодических колебаний (замкнутая фазовая траектория, к которой приближаются все соседние траектории). Аттракторы, отличные от состояний равновесий и строго периодических колебаний, называются странные аттракторы . Даже малая неточность в задании начального состояния системы нарастает во времени, так что предсказуемость становиться непостижимой на достаточно больших интервалах времени [3.C.25]. Переход от устойчивого состояния равновесия процесса к странному аттрактору может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис.3.). x равновесие цикл удвоенный цикл странный аттрактор потеря удвоение потеря устойчивости t устойчивости периода удвоенного цикла рис.3. Сценарий хаотизации Все выше перечисленные примеры показывают, что состояние системы зависит от параметров системы (динамических переменных, характеризующих состояние системы), при изменении которых происходит изменение состояния системы. Такие параметры называют управляющими параметрами . Система может зависеть от одного или нескольких параметров [2.C.18]. Можно рассмотреть пространство всех систем (рис.4.), разделенное на области, образованные системами общего положения. изображается кривой. Рис.4 Однопараметрическое семей­ство систем Не возможно однозначно предсказать конечное состояние системы по исходным параметрам. Очень трудно задать абсолютно все параметры, а задать начальные значения параметров еще сложнее, к тому же с течением времени исходные значения параметров изменяются [6.C.44]. Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением (предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается. Этот скачок теория называет катастрофой, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория катастроф родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании. Режим, в котором оказывается система после катастрофы, может быть предсказуем - либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем [6.C.21]. Таким образом, катастрофами называются скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. 1.3 Математические основы теории катастроф Математическая сторона теории весьма непроста. Но можно ведь и о самых сложных вещах рассуждать просто, как говорится, объясняясь на пальцах. Сам Эйнштейн, кстати, владел таким способом изложения своих мыслей достаточно хорошо [3.C.88]. Прикладная математика, физика, химия, а так же технические дисциплины часто являются результатом при­менения новых математических идей и методов. Поэтому и прикладная ма­тематическая теория — теория катастроф — в сочетании с современными ме­тодами системного анализа является полезным и эффективным средством анализа различных реальных процессов [1.C.8]. Рассматривать в фазовом пространстве положения равновесия, предельные циклы и перестройки системы в целом (её инвариативных множеств и аттракторов) можно осуществлять с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные зна­чения которых, обычно, неизвестны. Поэтому уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно не­устойчивым и его решение может качественно измениться при сколь угодно малом изменении этих параметров [5.C.9]. Следовательно, при составлении дифференциальных уравнений, описывающих физические системы, необходимо учитывать, какие изменения параметров вызывают изменения системы. Однако математические модельные системы могут оказаться громоздкими из-за большого количества входящих в них переменных, поэтому при изучении таких систем часть переменных, мало изменяющихся в ходе процесса, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, кото­рая и исследуется. Но учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», обычно невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как возмущения . Предметом теории катастроф является изучаемые зависимости качественной природы решений уравнений от значений парамет­ров, присутствующих в заданных уравнениях [4.C.8]. Рассмотрим решения Ф1 (t , x ; ca ), Ф2 ( t , x ; ca ), … системы n уравнений, определённой в пространстве RN с координатами x =( x 1 , x 2, ..., xN ) , Fi (Ф i ; са ; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,………; xl ; d Ф i / dxl , d 2 Ф i / dxl dxm ,……)=0 (1) 1< i < n , 1< l , m < N , 1 < a < k , переменные xi и t можно считать соответственно про­странственными и временными координатами. Решения Фi опи­сывают состояние некоторой системы, поэтому их называют переменными состояния . Уравнения Fi =0 зависят от k параметров са (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и так далее), т. е. они могут качественно влиять на свойства решений Фi , поэтому параметры са являются управляющими параметрами . Не только исследование решений системы уравнений (1), но и выявление зависимости решений этой системы от уп­равляющих параметров са , является сложной задачей [5.C.9]. Чтобы ее упростить, надо сделать ряд последовательных предложений: 1. Пусть система уравнений (1) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е. Fi (Ф i ; са ; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,…; xl ; ----; ----)=0 . (2) 2. Так как решение системы (2) достаточно сложно, то пусть она не зависит от всех пространственных координат х l . Fi (Ф i ; са ; t ; d Ф i / dt ; d 2 Ф i / dt 2 ,………; --- ;--- ; ---)=0 . (3) 3. Пусть в решении системы (3) существуют производные по времени не выше первого порядка и сами производные в функции Fi имеют вид: Fi = d Ф i / dt – fi (Ф i ; са ; t ) . (4) Система уравнений типа Fi = 0 определяет динамическую систему [5.C.11]. 4. Для упрощения динамической системы пусть функция fi не зависит от времени. Тогда получится автономная динамическая система уравнений Fi = d Ф i / dt – fi (Ф i ; са ; -)= 0 . (5) Автономные динамические системы, зависящие от малого числа управляющих параметров ( k < 4), являются более доступными для рассмотрения [5.C.12]. 5. Функция fi схожа с силой в классической механике для консервативных сил. Тогда fi будет антиградиентом к некоторой потенциальной функции: fi = - dU (Ф i ; са ) / d Ф i , Fi = d Ф i / dt + - dU (Ф i ; са ) / d Ф i = 0 . (6) система Fi вида (6) называется градиентной системой [5.C.12]. Состояние равновесия градиентных динамических систем определяется системой уравнений d Ф i / dt = 0 , следовательно dU (Ф i ;са )/ d Ф i =0 . (7) Для уравнений (7) возможны следующие случаи: a) уравнения (7) могут не иметь решения если U (Ф i )= Ф, так как dU (Ф;са )/ d Ф= d Ф / d Ф=1 , но 1/ 0 ; b) уравнения (7) могут иметь одно решение если U (Ф i )= Ф2 , так как dU (Ф;са )/ d Ф= d Ф2 / d Ф=2Ф=0 - Ф=0 ; c) уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если U (Ф i ;с)= Ф4 + c Ф2 , c < 0 , так как dU (Ф;са )/ d Ф= d (Ф4 + c Ф2 ) / d Ф=4Ф3 +2сФ=0 - три решения. Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Ф i (са ) потенциальной функции U (Ф i ;са ) , изменяющийся при изменении управляющих параметров са . Переменные состояния, от которых зависит функция U (Ф i ; са ) по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13]. Обобщенная сила, действующая на систему, по­ведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему ко­ординат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F = - gradU / 0 (рис. 5.)). U(x) grad U(x0 )/ 0 x0 Рис.5. Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y0 )b помощью гладкой замены координат в точке х0 , в которой градиент не равен нулю. Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая произ­водные любого порядка) замена координат: у1 =у1 (х1 ,х2 ,…,х n ), y 2 =у2 (х1 ,х2 ,…,х n ), …………………… yn =у n (х1 ,х2 ,…,х n ), в результате которой в новой системе координат имеем U = y (+const). (8) При исследовании локальных свойств потенциальной функции в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее мож­но также избавиться при помощи соответствующего сдвига на­чала системы координат.) [5.C.14]. Если рассматриваемая физическая система находится в со­стоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU =0 (но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции). При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, Uij = d 2 U / dxi дх j . Однако, если detUi ,/ 0 то теорема Морса, позволяет провести гладкую замену переменных, такую, что потенциальная функция может быть представлена квадратичной формой V = hi yi 2 (9) Где hi - собственные значения матрицы устойчивости Vij , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с yi ’ = hi 1 / 2 yi квадратичная форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V =- y ’ i 2 -…- y ’ i +1 2 +…+ y ’ n 2 = Mi n ( y ’) . (10) Функция Mi n ( y ’) получила название Морсовское i -седло [5.C.15]. Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0) Точки, в которых gradU =0 , являются точками равновесия, или критическими точками , гладкой функции U ( x 1 , х2 , ..., хп ). Критические точки, в которых detVij =0 , называют изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками [5.C.16]. Критические точки функции U ( x 1 , x 2 ,…,х n ) , в которых detUij / 0 , являются неизолированными, вырожден­ными или неморсовскими критическими точками [5.C.16]. Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров С1 , С2 , ... , то матрица устойчивости Uij и ее собственные значения также зависят от этих парамет­ров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значе­ниях управляющих параметров одно (или несколько) собствен­ное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль [4.C.163]. Если это так, то detUij = 0 и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Морса (gradU =0 , detUi j / 0 ) не выполняются, и в точке равновесия потенциаль­ная функция не может быть представлена в канонической форме (10) [1.C.67]. Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке, если l собственных значений h 1 ( c ),…, hn ( c ) обращаются в нуль в hi точке с=с0 . тогда потенциальную функцию можно расщепить на морсовскую и неморсовскую составляющие: U(x,c)= hi y1 (x))2 + fNM (y1 (x;c),…,yl (x;c); c)+ y1 (x))2 (11) Так как теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных (при k < 5 нет ограничений на семейство потенциальных функций U ( x 1 ,.. xn ; c 1 ,.. ck ) ), то потенциальную функцию можно записать следующим образом: fNM (y1 (x;c),…,yl (x;c); c) = CG(l) ( 12) hi y1 (x))2 = Pert(l, k) где функцию CG ( l ) называют ростком катастрофы; функцию Pert ( l , k ) называют возмущением [5.C.19]. Функция катастрофы Са t ( l , k )= CG ( l )+ Pert ( l , k ) , представляет собой функцию l переменных (состояний) и k (управляющих) параметров. Функция катастроф Са t ( l , k ) сводится к ростку катастрофы только тогда, когда в пространстве Rk управляющие параметры принимают значения а1 ,..а k , c 1 ,… ck .. Все функции катастроф Са t ( l , k ) с канониче­ским ростком катастроф CG ( l ) , где k < 5 перечислены в таблице 1. (c.18). 1.4 Элементарные катастрофы Существуют различные подходы к рассмотрению элементарных катастроф. Арнольд В.И. на основе выводов теории особенности рассматривает простые образы вроде складки, сборки, точки возврата и еще несколько образов, получивших собственные имена, например, «ласточкин хвост». Кузнецов А.П. рассматривает примеры систем с катастрофами (катастрофы складки и сборки), при выявлении существенных параметров, классификации критических точек. Найман Э. вводит элементарные катастрофы в теории хаоса в качестве доказательства невозможности предсказать постоянные нелинейные и нерегулярные сложные движения, возникающие в динамической системе. Воспользуемся классификацией Тома Р., которая является таблицей элементарных катастроф и содержит в каждой своей строке две функции: росток катастроф CG ( l ) и ее возмущением Pert ( l , k ) Таблица 1. Элементарные катастрофы Тома [5.C.67]. Тип катастрофы k Росток Возмущение А2 1 x 3 а1 х А±3 2 ±х4 a 1 x + а2 хг А4 3 x 5 а1 х + а2 х2 + a 3 x 3 ■а3 х3 A ±5 4 ±х4 а1 х + а2 х2 + a3 x3 + a4 x4 А6 5 x7 а1 х + а2 х2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 D+ 4 3 x2 y+ y3 а1 х + а2 y + a3 y2 D5 4 x2 y+y4 2 у + у* а1 х + а2 y + a3 x2 + a4 y2 Ь сцу2 D+ 6 5 x2 y+ y5 г У + Уъ а 1 х + а 2 y + a3 x2 + a4 y2 +a5 y3 Е± 6 5 x3 + y4 а1 х + а 2 y + a3 xy+ a4 y2 +a5 xy2 Проанализируем каждый тип катастроф. Катастрофы типа А2 Предположим, что U ( x 1 ..., хп ; с) — общее 1-параметриче­ское семейство потенциальных функций. Тогда при исследова­нии этого семейства можно встретить отдельные функции, кото­рые имеют неморсовские критические точки. Ограничимся изучением зависимости качественных изменений в поведении функции катастрофы F ( x ; a ) от управляющих параметров. Катастрофа А2 задается формулой (7) и графически представлена на рис. 7. А2 : F ( x ; a ) =1/3 x 3 + ax , (13) Коэффициенты в простых ростках катастроф могут быть выбраны равными каноническим значениям, например, ±1 [5.C.67]. В тех случаях, когда берутся производные, могут быть вы­браны другие канонические значения с помощью изменения масштабов. Для удобства такие же множители могут быть введены и в возмущение [5.C.67]. Критические и дважды вырожденные критические точки функции F ( x ; а) определяются соответственно из условий равенства нулю гра­диента F { x ; а) и d 2 F / dx 2 = 0, следовательно х2 + а=0 и 2х=0 . (14) a>0 a<0 a=0 Рис.7. Все функции F(x;a) Рассмотрим полную потенциальную энергию – U ( Q ) . Точки, соответствующие максимуму и минимуму потенциальной энергии, это точки в которых, в которых dU / dQ обращается в нуль. При этом функция U = U ( q , q ) имеет только одну активную координату [1.C.24]. При построении модели (рис. 8) трансформация энергии обозначим Q и L общие переменные, заменяющие локальные переменные, которые обозначались строчными буквами q и q . Полученное слиянии и исчезновении минимума и максимума, под действием единственного управляющего параметра, называется катастрофой складки . [1.C.25]. Ей соответствует траектория равновесия XCY , которая загибается в критической точке С, меняя при этом характер устойчивости. Рис.8. Изменение энергии в случае катастрофы складки. Покажем, что катастрофа типа А2 представлена складкой . На горизонтальной плоскости-проекции выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части (условно на меньшую и большую). Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проекти­руется три точки поверхности), точки большей части — лишь по одному, точки кривой — по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (из трех) сли­ваются и исчезают (в этом месте особенность — складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза [5.C.69]. Рис.9. Катастрофа складки. При изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (рис.9). Вне этих значений положения равновесия гладко зависят от параметров [5.C.70]. Катастрофы типа А3 Критические, дважды вырожденные критические и трижды вырожденные критические точки катастрофы А3 определяются приравниванием соответственно первой, второй и третьей производных F ( x ; a , b ) нулю: сепаратриса катастрофы, определяемая уравнениями dF / dx = 0, dF 2 / dx 2 = 0, разделяет пространство управляющих параметров на две открытые области, представляющие функции с одной критической точкой или функции с тремя критическими точками. Катастрофа типа А3 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от двух управляющих параметров а и b : А+3 : F ( x ; a , b ) = + x 4 + ax + bx 2 . (15) Гра­фик функции (рис.10) при различных зна­чениях управляющих параметров (а, b ): внутри области имеет форму сборки или симметричной бифуркации. Рис. 10. График функции F(x;a,b) = + x4 + ax+bx2 . F ( x ; a , b ) имеет три изолированные крити­ческие точки, а вне этой области — всего одну; на границе функция семейства имеет изолированную критическую точку и дважды вырожденную критическую точку, а в начале коорди­нат— трижды вырожденную критическую точку. Положение критических точек находится путем решения кубического урав­нения вида gradF = x 3 + ax + b = 0. (16) Рис. 11. График функции F = x3 + ax + b = 0. Катастрофы типа А4 Катастрофа типа А4 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от трех управляющих параметров а, b , с: А4 : F ( x ; a , b , c )= x 5 + ax + bx 2 +сх3 . (17) Критические точки определяются через приравненные к нулю производные: 1. Критические точки: 5х4 + а + 2 b х + 3х2 с = 0. 2. Дважды вырожденные: 10х3 + b +3х =0. 3. Трижды вырожденные: 1 0x2 + 1=0. 4. Четырежды вырожденные: x =0. Функция А4 : F ( x ;0,0,0) имеет четырежды выраженную точку х=0 . Рис. 13. График функции F(x;a,b,c)=x5 + ax+bx2 +сх3 . Катастрофы типа A +5 Катастрофа типа А+ 5 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от четырех управляющих параметров а, b , с, d : А+5 : F ( x ; a , b , c , d )= + x 4 +ах+ bx 2 +сх3 + dx 4 . (15) 1. Критические точки: + 4х3 +х+2 b х+3 cx 2 +4 dx 3 =0 2. Дважды вырожденные: + 6х2 + b +3 cx +6 dx 2 =0 3. Трижды вырожденные: + 4 a х+ c +4 dx =0 Рис. 14. График функции F(x; a, b, c) =+ x4 +bx2 +сх3 +dx4 . Катастрофы типа A 6 Катастрофа типа А6 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b , с, d , e : А6 : F ( x ; a , b , c )=х7 + а x + bx 2 +сх3 + dx 4 + ex 5 (19) 1. Критические точки: 7х6 + a +2 b х+3 c х2 +4 dx 3 +5 ex 4 =0 . 2. Дважды вырожденные: 24х5 + b +3 c х+6 d х2 +10 ex 3 =0 . 3. Трижды вырожденные: 40х4 + c +4 dx +10 ex 2 =0 . 4. Четырежды вырожденные: 40х3 + d +5 ex =0 . 5. Пяти вырожденные: 24 х2 + ex =0 . 6. Шести вырожденные: 48х+е=0 . Рис. 15. График функции F(x; a, b, c) = х7 + аx+bx2 +сх3 +dx4 +ex5 . Катастрофы типа D + 4 Катастрофа типа D+ 4 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от трех управляющих параметров а, b , с: D+ 4 : F(x,y;a,b,c)= x2 y+ y2 + ах +by + cy2 =0 . (20) Рис. 16. График функции F(x; a, b, c) = x2 y+ y2 +ах+by+ cy2 =0. Катастрофы типа D 5 Катастрофа типа А+ 5 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от четырех управляющих параметров а, b , с, d : D 5 : F ( x ; a , b , c , d )= х2 у+у4 + ax + b у+ cx 2 + d у2 . (22) Рис. 17. График функции F(x;a ,b, c, d)= х2 у+у4 + ax+bу+cx2 +dу2 . Катастрофы типа D -6 Катастрофа типа D-6 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b , с, d , e : D - 6 : F ( x ; a , b , c , d )= х2 у+ у5 + ax + b у+ cx 2 + d у2 + ey 3 . (23) Рис. 18. График функции F(x;a ,b, c, d)= х2 у+у5 + ax+bу+cx2 +dу2 +ey3 . Рис. 19. График функции F(x; a, b, c, d) = х2 у+у5 + ax+bу+cx2 +dу2 +ey3 . Катастрофы типа E+6 Катастрофа типа E+6 задается следующим семейством функ­ций, зависящих от пяти управляющих параметров а, b , с, d , e : E+6 : F ( x ; a , b , c , d , e )= х3 + у4 + ax + b у+ cxy + d у2 + exy 2 . (24) Рис. 20. График функции F(x;a ,b, c, d,e)= х3 + у4 + ax+bу+cxy+dу2 +exy2 . Установле­ние наличия и типа катастрофы в рассмотренных выше случаях возрастаю­щей неопределенности в описании системы могут помочь определить упрощенную модельную потенциальную функцию, зависящую только от существенных переменных состояния и управляющих параметров. Cответствующий росток потенциальной функции может помочь установить соответствующий тип уравнений, и то, каким образом потенциальная функция может входить в такие уравнения. Хотя катастрофы обнаруживаются при качественных исследованиях уравнений, существует эффект обратной связи, который иногда позволяет получить качественные следствия даже в том случае, когда мы не знаем самих уравнений при условии, что мы в состоянии установить их наличие и тип катастрофы [2.C.144]. Среди огромного количества катастроф можно выделить ряд характеристик, позволяющие говорить о наличии катастрофы. 1. Модальность. Рис. 21. Катастрофа сборки. Физическая система может иметь два или более различных физических состояния. Другими словами, описывающая систему потенциальная функция имеет более чем один локальный мини­мум в некоторой области изменения внешних управляющих параметров. Катастрофа сборки становится бимодальной, если управляющие параметры лежат в пределах области сборки. 2. Недостижимость. Если система находится в состоянии равновесия, которое оказывается морсовским i-седлом (рис.22), то такое состояние является неустойчивым, поскольку существуют инфинитезимальные возмущения, приводящие к уменьшению значения по­тенциала. Всякий раз, когда потенциальная функция имеет бо­лее чем один локальный минимум, она должна иметь, по край­ней мере, одно i-седло (с>0), которое является состоянием неустойчивого равновесия [4.C.83]. Два слоя в области сборки, представляющие локально устойчивые минимумы, разделены срединным недостижимым слоем, представ­ляющим неустойчивые локальные максимумы. Рис. 22. Морсовское седло. 3. Катастрофические скачки. Малые изменения в зна­чениях управляющих параметров могут вызывать большие из­менения («катастрофический скачок») в значениях переменных состояния по мере того, как система перескакивает из одного локального минимума в другой [5.C.3]. Согласно принципу Максвелла, этот неожиданный скачок сопровождается плавным, но не дифференцируемым изменением значений потенциала. Переход из окрестности одного локального минимума в другой проявляет себя в большом изменении значения переменной состояния, которое часто происходит в сверхбыстрой временной шкале. Свойства устойчивости критических точек функции ката­строфы-сборки легко определяют­ся из рассмотрения многообразия этой катастрофы. Неожиданный скачок в значении переменной состояния происходит, как только состояние системы перескакивает с одного слоя поверхности ка­тастрофы сборки на другой (рис.23). Рис.23. Катастрофа сборки. 4. Расходимость. Конечные изменения в значении управляющих параметров приводят к конечным изменениям в значениях переменных со­стояния в точке равновесия [5.C.87]. Обычно малые возмущения в исход­ных значениях управляющих параметров ведут лишь к неболь­шому изменению начальных и конечных значений переменных состояния. Однако в окрестности неморсовской критической точки малые изменения начальных значений переменных состояния могут привести к большим изменениям конечных значений этих переменных. Неустойчивость физического процесса при возмущениях в траектории управляющих параметров назы­вается расходимостью. Расходимость в случае катастрофы сборки. Два близких пути в пространстве управляющих парамет­ров могут приводить к далеко расходящимся конечным значениям переменных состояния (рис.24). Рис.24 . Катастрофа сборки. 5. Гистерезис. Гистерезис имеет место, когда физический процесс не яв­ляется полностью обратимым, т. е. над той же самой точкой пространства управляющих параметров скачок из локального минимума 1 в локальный минимум 2 может и не произойти, в то время как скачок из локального минимума 2 в локальный ми­нимум 1 имел место [2.C.113]. Рис.25. Явление гистерезиса. Явление гистерезиса имеет место, когда скачок с одного листа на другой не случается при тех же значе­ниях управляющих парамет­ров, что и возвратный скачок. Модальность, недостижимость, катастрофиче­ские скачки, расходимость и гистерезис обычно встречаются в совокупности. Они зависят от достижимости физической систе­мой области пространства управляющих переменных, в которой потенциал имеет более чем один локальный минимум. Явление гистерезиса может быть не наблюдаемо, если поведение системы подчиняется принципу Максвелла, однако даже в этом случае иногда возможно наблюдать его (сверхохлаждение, сверхнагре­вание) с помощью экспериментальных методов [5.C.93]. Глава 2. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ КАТАСТРОФ В теории катастроф есть нечто таинственное – это удивительные совпадения связей между далекими на первый взгляд предметами теориями [7.С.62]. Теория катастроф дает универсальный ме­тод исследования скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений. Существуют различные публикации, в которых теории катастроф применяется к исследованиям биения сердца, в геометрической и физической оптике, эмбриологии, лингвистике, психологии, экономике, гид­родинамике, геологии и теории элементарных частиц. Среди опубликованных работ по теории катастроф есть исследования устойчивости кораблей, моделирования дея­тельности мозга и психических расстройств, восстаний заключенных в тюрьмах, поведения биржевых игроков, влияния алкоголя на водителей транспортных средств [3.C.7]. Кроме того, явления устойчивости представляют огромный интерес для всех научных работников и инженеров из самых разных областей науки и техники. Например, потеря устойчивости тонкостенных конструкций под действием веса и ветровой нагрузки, астрофизика коллапсирующих звезд, внезапное разрушение кристаллической решетки, фазовые переходы в термодинамических системах, взрывное развитие популяций конкурирующих экологических видов, возникновение турбулентности в быстро движущейся жидкости, хаотическое движение в простых детерминистических моделях, управление положением космического корабля и нейродинамика мозга. Общая точка зрения на все эти различные проблемы устойчивости достигается при помощи теории катастроф. Чтобы понять предмет достаточно глубоко, требуется некоторое знание математики, только тогда можно составить правильное представление об области применения теории катастроф [2.C.12] 2.1 Манёвры и теория катастроф Состояния равновесия процесса образуют поверхность