Молекулярная физика и термодинамика Кафедра физики И. И. ПРОНЕВИЧ, Р.Г. ПИНЧУК, В. Я. МАТЮШЕНКО ФИЗИКА Ч а с т ь 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения Гомель 2008 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ “БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА” Кафедра физики ФИЗИКА Ч а с т ь 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения Гомель 2008 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ “БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА” Кафедра физики ФИЗИКА Ч а с т ь 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Учебно-методическое пособие для студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения Одобрено методической комиссией строительного факультета Гомель 2009 УДК 53 (075.8) ББК 22.3 П90 Р е ц е н з е н т – доктор техн. наук, профессор О. В. Холодилов ( УО “БелГУТ ” ) Проневич И. И. П81 Физика : учеб.-метод. пособие для студентов инж.-техн. специальностей безотрывной формы обучения: в 6 ч. Ч. 2. Молекулярная физика и термодинамика / И. И. Проневич, Р. Г. Пинчук, И.В. Приходько, В. Я. Матюшенко ; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. – Гомель : БелГУТ, 2008. – c. ISBN-978-985-468-334-8 Приведены общие методические указания, вопросы для изучения теоретического материала по разделам программы, основная и дополнительная литература, сведения из теории, примеры решения задач, задачи для контрольных работ и справочные таблицы по разделу "Молекулярная физика и термодинамика" программы курса физики. Предназначено для методического обеспечения самостоятельной работы по физике студентов инженерно-технических специальностей безотрывной формы обучения. УДК 53 (075.8) ББК 22.3 ISBN -978-985-468-334-8 © Проневич И. И., Пинчук Р. Г., Приходько И.В., Матюшенко В. Я., 2009 © Оформление. УО “БелГУТ”, 2009 ОБЩИЕ МЕТОДИЧКСКИЕ УКАЗАНИЯ Курс физики втузов делится на шесть разделов. В соответствии с этим учебный материал пособия разделен на три части, которые включают в себя по два раздела курса. Изучение каждого раздела сопровождается выполнением одной контрольной работы из восьми задач. Варианты задач контрольных работ выдаются преподавателем в конце соответствующей экзаменационной сессии. Процесс изучения курса физики студентом безотрывной формы обучения состоит из следующих основных этапов: самостоятельное изучение физики по учебной литературе, решение задач, выполнение контрольных работ и их защита преподавателю, выполнение лабораторных работ, сдача зачетов и экзаменов. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЕ Этот вид занятий является главным в учебной работе студента безотрывной формы обучения. При этом необходимо руководствоваться следующим: 1 Курс физики необходимо изучать систематически в течение всего учебного процесса. Изучение курса в сжатые сроки перед экзаменом не дает глубоких и прочных знаний. 2 Избрав какой-нибудь учебник в качестве основного, студент должен придерживаться его при изучении всего курса или, по крайней мере, целого раздела. Замена одного учебника другим в процессе изучения ведет к утрате логической связи между отдельными вопросами. Если же основное пособие не дает полного ответа на отдельные вопросы программы, необходимо обратиться и к другой учебной литературе. 3 Работа над учебником сопровождается составлением конспекта, в котором записываются формулировки законов и выражающие их формулы, определения физических величин и единиц их измерения, выполняется чертеж и решаются типовые задачи. 4 Изучая курс физики, студент встречается с большим количеством единиц измерения, которые объединяются в Международную систему единиц (СИ). Студент должен помнить, что без основательного знания системы единиц, без умения пользоваться ими при решении физических задач невозможно усвоить курс физики и тем более применять физические знания на практике. Студент не должен ограничиваться только запоминанием физических формул. Он должен осмыслить их и уметь самостоятельно вывести. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Необходимым условием успешного изучения курса общей физики является систематическое решение задач, которое помогает уяснить физический смысл явлений, закрепить в памяти студента формулы, выработать навыки практического применения теоретических знаний. При решении задач необходимо: 1 Выбрать основные законы и формулы, которые используются при решении задачи, их формулировку, разъяснить буквенные обозначения, употребляемые при написании формул. 2 Сопровождать решение краткими исчерпывающими пояснениями. 3 Все величины, входящие в условие задачи, выразить в единицах СИ. Проверить размерность искомой величины, для этого подставить в правую часть полученной формулы вместо обозначений величин наименования их единиц и проверить, получается ли в результате единица искомой величины; верно полученная рабочая формула должна давать правильную размерность искомой величины. 4 В окончательную формулу, полученную в результате решения задачи в общем виде, подставить числовые значения, выраженные в единицах одной системы (СИ). Пренебрежение этим правилом приводит к неверному результату. 5 Произвести вычисления величин, подставленных в формулу, руководствуясь правилами приближенных вычислений, при необходимости– представлять результат в виде степенного числа. Записать в ответе числовое значение и размерность единицы измерения искомой величины в СИ. 6 Оценить правдоподобность полученного результата. Физические задачи весьма разнообразны, и дать единую схему их решения невозможно. Однако, как правило, физические задачи следует решать в общем виде, т. е. в буквенных выражениях, не производя вычисления промежуточных величин. Числовые значения подставляются только в окончательную рабочую формулу, выражающую искомую величину. Умение решать задачи приобретается длительными и систематическими упражнениями. ВЫПОЛНЕНИЕ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Выполнение контрольных работ студентом и их рецензирование преследует две цели: во-первых, таким путем осуществляется контроль за самостоятельной работой студента; во-вторых, проверяется усвоение студентом соответствующего материала с целью оказать при необходимости ему помощь по вопросам, которые оказались слабо усвоены или не поняты студентом. По каждому разделу курса общей физики студент-заочник приступает к выполнению контрольных работ только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомления с приемами решения задач, приведенных в данном пособии по каждому разделу курса. При этом необходимо руководствоваться следующим : 1 Контрольные работы от первой до последней выполняются в обычной школьной тетради (каждая в отдельной тетради), только по условиям задач данного пособия. Замена какой-либо контрольной работы другой, взятой из аналогичного пособия, не допускается. 2 На лицевой стороне контрольной работы приводятся сведения по следующему образцу: Кафедра физики Контрольная работа № __ по физике (задачи № ) студента __ курса (группа ______ ) Иванова Ивана Ивановича Учебный шифр № ______________ 246028, г. Гомель, ул. им. Кожара, д. 27, кв. 15 3 Выполнять контрольные работы следует чернилами или шариковой ручкой. Каждая следующая задача должна начинаться с новой страницы. Условие задачи переписывается полностью, без сокращений. Для замечаний рецензента на страницах тетради оставляются поля. 4 Все решаемые задачи сопровождаются краткими, но исчерпывающими пояснениями, раскрывающими физический смысл употребляемых формул, и с обязательным выполнением основных правил решения задач. 5 В конце каждой контрольной работы студент-заочник должен привести название учебника или учебного пособия, которым он пользовался, автора и год издания, чтобы рецензент в случае необходимости мог конкретно указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы. 6 Получив прорецензированную работу, студент обязан устранить недостатки, указанные рецензентом. 7 Если при рецензировании не зачтена, студент обязан послать ее на повторное рецензирование, включив в нее дополнительные решения тех задач, в которых были допущены ошибки. Работа над ошибками выполняется в той же тетради (в конце контрольной работы). 8 Студент является на экзаменационную сессию, получает на кафедре прорецензированные работы и по расписанию деканата защищает их преподавателю. Студент должен быть готов при защите контрольной работы дать пояснения по существу решения входящих в нее задач. Зачтенные контрольные работы остаются у экзаменатора. 1 ВОПРОСЫ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО РАЗДЕЛАМ ПРОГРАММЫ Введение . Кинематика материальной точки . Механическое движение. Система отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорение. Движение материальной точки по окружности. Связь между линейными и угловыми характеристиками движения. Динамика материальной точки и тела, движущегося поступательно . Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Сила, масса. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Импульс. Закон сохранения импульса. Силы в механике . Виды сил в механике. Силы упругости. Силы трения. Силы тяжести. Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле и его характеристики. Понятие об неинерциальных системах отсчета. Работа. Мощность. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия. Кинетическая энергия. Закон сохранения энергии в механике. Динамика вращательного движения твердого тела . Модель абсолютно твердого тела. Поступательное и вращательное движения тела. Центр инерции (масс) твердого тела. Момент инерции. Момент импульса. Момент силы. Основной закон механики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса. Кинетическая энергия вращательного движения тела. Релятивистская механика . Преобразования Галилея. Механический принцип относительности. Границы применимости классической механики. Постулаты Эйнштейна. Принципы относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца. Следствия, вытекающие из преобразований Лоренца (одновремен­ность событий, сокращение длин и промежутков времени, релятивистский закон сложения скоростей). Релятивистская масса и импульс. Основной закон релятивистской динамики. Понятие энергии в релятивистской механике (энергия покоя, кинетическая, полная).Взаимосвязь массы и энергии. 2 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Основная 1 Савельев, И. В. Курс общей физики : учеб. пособие для студентов втузов в 3 т. / И. В. Савельев. – 3-е изд., испр. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – Т. 3 : Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц – 320 с. 2 Детлаф, А. А. Курс физики : учеб. пособие для втузов / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М. : Высш. шк., 1989. – 608 с. 3 Трофимова, Т. И. Курс физики : учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – 4-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1997. – 542 с. 4 Трофимова, Т. И. Сборник задач по курсу физики для втузов : учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. – 3-е изд. – М. : ОНИКС-21 век; Мир и Образование, 2005. – 383 с. 5 Чертов, А. Г. Задачник по физике : учеб. пособие для втузов / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – 5-е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1988. – 526 с. Дополнительная 1 Ландсберг, Г. С. Оптика : учеб. пособие для студ. физ. спец. вузов / Г. С. Ландсберг. – 5-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, 1976. – 926 с. 2 Волькенштейн, В. С. Сборник задач по общему курсу физики / В. С. Волькенштейн. – 11-е изд., перераб. – М. : Наука, 1985. – 381 с. 3 Савельев, И. В. Сборник задач и вопросов по общей физике : учеб. пособие / И. В. Савельев. – 2-е изд., перераб. – М. : Наука, 1988. – 288 с. 4 Чертов, А. Г. Физические величины: (Терминология, определения, обозначения, размерности, единицы) / А. Г. Чертов. – М. : Высш. шк., 1990. – 334 с. 5 Сена, Л. И. Единицы физических величин и их размерности : учеб. пособие для студ. вузов / Л. И. Сена. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, 1977. – 335 с. 6 Яворский, Б. М. Справочник по физике / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. – 3-е изд., испр. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 624 с. 7 Кухлинг, Х. Справочник по физике : [пер с нем.] / Х. Кухлинг ; под ред. Е. М. Лейкина. – М. : Мир, 1982. – 520 с. 8 Сборник задач по физике / под общ. ред. М. С. Цедрика. – 2-е изд., перераб. – Мн. : Выш. шк., 1976. – 320 с. 9 Физика: задания к практическим занятиям / под ред. Ж. П. Лагутиной. – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн. : Выш. шк., 1989. – 236 с. 10 Новодворская, Е. М. Методика проведения упражнений по физике во втузе / Е. М. Новодворская, Э. М. Дмитриева. – 3‑е изд., перераб. и доп. – М. : Высш. шк., 1981. – 318 с. 11 Иродов, И. Е. Задачи по общей физике : учеб. пособие / И. Е. Иродов. – 2-е изд., перераб. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.– 416 с. 12 Фирганг, Е. В. Руководство к решению задач по курсу общей физики : учеб. пособие для студ. втузов / Е. В. Фирганг. – М. : Высш. шк., 1978. – 351 с. 13 Козел, С. М. Сборник задач по физике : учеб. пособие / С. М. Козел, Э. И. Рашба, С. А. Славатинский. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. – 304 с. 3 СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов Количество однородного вещества (в молях) , где N – число молекул; NА – постоянная Авогадро; m – масса; m – – молярная масса вещества. Если система представляет собой смесь нескольких газов, то количество вещества системы где ni , Ni , mi , mi – соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса i -й компоненты смеси. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) , где р – давление; V – объем; m – масса; m – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоянная; n – количество вещества; Т – термодинамическая температура. Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения состояния для изопроцессов: а) Закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс – Т = const, m = = const): pV = const, или для двух состояний газа: р 1 V 1 = p 2 V 2 ; б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс – p = const, m = const): ; в) закон Шарля (изохорный процесс – V =const, m = const): ; г) объединённый газовый закон (m = const): где р 1 , V 1 , Т 1 – давление, объём и температура газа в начальном состоянии; р 2 , V 2 , Т 2 – те же величины в конечном состоянии. Закон Дальтона, определяющий давление смеси n идеальных газов, p = p 1 + p 2 + ... + pn , где pi – парциальное давление i -й компоненты смеси. Парциальным называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью. Молярная масса смеси n газов , где mi и ni – масса и количество вещества 1-го компонента смеси. Концентрация молекул где N – число молекул в системе; V – объем системы; r – плотность вещества; NA – число Авогадро. Формула справедлива для любого состояния вещества. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры p = n kT, где k – постоянная Больцмана. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов , где n – концентрация молекул; m 0 – масса одной молекулы; m – масса газа в объёме V ; <v кв > – средняя квадратичная скорость молекул; <e> – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул; Е – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул. Закон Максвелла распределения молекул идеального газа по скоростям где f (v ) – функция распределения молекул по скоростям, определяющая долю числа молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv . Число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du, где u = v /v в – относительная скорость, равная отношению скорости молекул v к наивероятнейшей скорости v в ; f (u ) – функция распределения по относительным скоростям. Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e до e + de, где f (e) – функция распределения по энергиям. Скорость молекул: наиболее вероятная – ; средняя квадратичная – средняя арифметическая – где m 0 – масса молекулы. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы Средняя полная кинетическая энергия молекулы , где i – число степеней свободы молекулы. Барометрическая формула , где рh и р 0 - давление газа на высоте h и h 0 . Распределение Больцмана во внешнем потенциальном поле , где n – концентрация частиц; n 0 – концентрация частиц в точках, где U = 0. U – их потенциальная энергия. Cреднее число соударений, испытываемых молекулой газа за 1 с, , где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; áv ñ – средняя арифметическая скорость молекулы. Средняя длина свободного пробега молекул газа . Импульс, переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности площадью DS за время dt, , где h – динамическая вязкость газа; dv /dz – поперечный градиент скорости течения его слоев. Динамическая вязкость где r – плотность газа (жидкости). Закон Ньютона для силы внутреннего трения (вязкости) между слоями площадью DS . Закон теплопроводности Фурье где DQ – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через площадку S за время Dt ; dT/dx – градиент температуры; l – теплопроводность, для газов сv – удельная теплоёмкость газа при постоянном объёме; r – плотность газа; áv ñ и ál ñ – средняя арифметическая скорость и средняя длина свободного пробега молекул. Закон диффузии Фика где Dm – масса вещества, переносимая в результате диффузии через поверхность площадью S за время Dt ; d r /dх – градиент плотности; D – коэффициент диффузии; для газов Основы термодинамики Молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме и постоянном давлении соответственно где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная. Связь между удельной (с ) и молярной (С m ) теплоёмкостями С m = с m, где m – молярная масса. Уравнение Майера Ср m – СV m = R. Внутренняя энергия идеального газа Уравнение адиабатного процесса (уравнение Пуассона) pV g = const, TV g -1 = const, T g p 1- g = const, где g – показатель адиабаты, Уравнение политропы рVn = const, где n = (C – Cp ) / (C – CV ) – показатель политропы. Работа, совершаемая газом при изменении его объёма, в общем случае вычисляется по формуле где V 1 и V 2 – начальный и конечный объемы газа. Работа при изобарическом процессе (р = const) A = p (V 2 – V 1 ), при изотермическом (Т = const) – при адиабатном (Q = const) – при политропном (C = const) – где Т 1 , Т 2 , V 1 , V 2 , p 1 , p 2 – соответственно начальные и конечные температура, объём и давление газа. Первое начало термодинамики Q = DU + A , где Q – количество теплоты, сообщённое газу; DU – изменение его внутренней энергии; А – работа, совершённая газом против внешних сил. Первое начало термодинамики при изобарическом процессе при изохорном (А = 0 ) – при изотермическом (DU = 0) – при адиабатическом (Q = 0) – Термический коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла) где Q 1 – количество теплоты, полученное системой; Q 2 – количество теплоты, отданное системой; А – работа, совершаемая за цикл. КПД цикла Карно где Т 1 – температура нагревателя; Т 2 – температура холодильника. Холодильный коэффициент машины, работающей по обратному циклу Карно, где Q отв – количество теплоты, отведённое из холодильной камеры; А – совершённая работа; Т 2 – температура более холодного тела (холодильной камеры); Т 1 – температура более горячего тела (окружающей среды). Изменение энтропии при равновесном переходе системы из состояния 1 в состояние 2 Изменение энтропии идеального газа Уравнение Ван-дер-Ваальса где р – давление; m – масса; m – молярная масса; a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса; V – объем; Т – термодинамическая температура. Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными Ван-дер-Ваальса: Внутренняя энергия реального газа Коэффициент поверхностного натяжения , где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур длиной , ограничивающий поверхность жидкости. При изотермическом увеличении площади поверхности плёнки жидкости на DS совершается работа А = a DS . Добавочное давление Dр , вызванное кривизной поверхности жидкости, выражается формулой Лапласа где R 1 и R 2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости. В случае сферической поверхности Dр = 2 a / R . Высота поднятия жидкости в капиллярной трубке где q – краевой угол; r – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; r – радиус трубки. Высота поднятия жидкости в зазоре между двумя близкими и параллельными плоскостями где d – расстояние между плоскостями. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса где u1 и u2 – удельные объёмы вещества в двух фазовых состояниях; Т и р – температура и давление фазового перехода; q 12 – удельная теплота фазового перехода вещества. Закон Дюлонга и Пти: молярная теплоемкость С m химически простых твердых тел С m = 3R , где R – универсальная газовая постоянная. Закон Неймана- Коппа: молярная теплоемкость С m химически сложных твердых тел( состоящих из различных атомов) С m = n ×3R , где n – общее число частиц в химической формуле соединения; R – универсальная газовая постоянная. При нагревании тела от 0 °С до t °C его длина (в первом приближении) изменяется от l 0 до l по закону l = l 0 (1+ al t ), где al – коэффициент линейного расширения. При нагревании тела от 0 °С до t °C его объем изменяется от V 0 до V по закону V = V 0 (1+ av t ), где av – коэффициент объемного расширения(av » 3al ). 4 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Найти молярную массу смеси кислорода массой m 1 = 25 г и азота массой m 2 = 75 г. Д а н о: m 1 = 25 г m 2 = 75 г mсм – ? Решение. Молярная масса смеси есть отношение массы смеси m см к количеству вещества смеси, т.е. mсм = m см / nсм . (1) Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси: m см = m 1 + m 2 , количество вещества смеси nсм = n1 + n2 = m 1 / m1 + m 2 / m2 . Подставив в формулу (1) выражения для m см и nсм , получим После вычислений найдем mсм = 30 × 10-3 кг/моль. Пример 2. В баллоне вместимостью V = 10 л находится гелий под давлением р 1 = 1 МПа и при температуре Т 1 = 300 К. После того как из баллона было взято m = 10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т 2 = 290 К. Определить давление р 2 гелия, оставшегося в баллоне. Д а н о: V = 10 л р 1 = 1 МПа Т 1 = 300 К Т 2 = 290 К р 2 – ? Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа: где m 2 – масса гелия в баллоне в конечном состоянии; m – молярная масса гелия; R – универсальная газовая постоянная. Выразим искомое давление: р 2 = m 2 RT 2 / (mV ). (1) Массу m 2 гелия выразим через массу m 1 , соответствующую начальному состоянию газа, и массу гелия, взятого из баллона m 2 = m 1 – m . (2) Масса m 1 гелия также находится из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния гелия m 1 = mp 1 V / (RT 1 ). (3) Подставив выражения масс (2) и (3) в (1), найдём Проверим, даёт ли полученная формула единицу давления. Для этого в её правую часть вместо символов величин подставляем их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них даёт единицу давления, т.к. первый сомножитель (Т 2 / Т 1 ) – безразмерный, а второй – давление. Проверим второе слагаемое: Паскаль является единицей давления. Производим вычисления, учитывая, что m = 4×10-3 кг/моль. Получим р 2 = 0,364 МПа. Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию движения одной молекулы кислорода при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию движения всех молекул кислорода массой m = 4 г. Д а н о: m = 4 кг Т = 350 К <e> – ? Е к – ? Решение. На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия <ei > = = 1 / 2kT , где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа. Поступательному движению двухатомной молекулы кислорода соответствуют три степени свободы, вращательному – две. Тогда средняя кинетическая энергия движения молекулы <e> = 5 / 2 kT . (1) Кинетическая энергия движения всех молекул газа Е к = N <e>. (2) Число всех молекул газа N = nNA = NА m / m. (3) Подставив выражение N в формулу (2), получаем Е к = 5kT NА m /(2m) = 5RTm /(2m). (4) Произведём вычисления, учитывая, что для кислорода m = 32×10-3 кг/моль: <e> = 1,21×10-20 Дж; Е к = 910 Дж. Пример 4. Используя функцию распределения молекул идеального газа по относительным скоростям, определить число молекул, скорости которых меньше 0,002 наиболее вероятной скорости, если в объёме газа содержится N = 1,67×1024 молекул. Д а н о: v m = 0,002 v в N = 1,67×1024 DN – ? Решение. Число dN (u ) молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du , где N – число молекул в объёме газа. По условию задач v m = 0,002 v в, следовательно, u max = v max / v в = 0,002, Так как u << 1, то exp(-u 2 ) » 1 – u 2 . Пренебрегая u 2 << 1, выражение для dN (u ) можно записать в виде Проинтегрировав данное выражение по u в пределах от 0 до u max , найдём Вычисляя, получаем DN = 1016 молекул. Пример 5. Вычислить удельные теплоёмкости при постоянном объеме и постоянном давлении неона и водорода, принимая эти газы за идеальные. Рассчитать также удельные теплоемкости смеси указанных газов, если массовые доли неона и кислорода составляют 80 и 20 % соответственно. Д а н о: m1 = 20×10-3 кг/моль m2 = 2×10-3 кг/моль. m 1 = 2,5 кг m 2 = 1,5 кг v 1 = 6 м/с v 2 = 2 м/с cv 1 – ? с v 2 – ? ср 1 – ? ср 2 – ? cv – ? ср – ? Решение. Удельные теплоёмкости идеальных газов определяются по формулам Для неона (одноатомный газ) число степеней свободы i = 3 и m1 = 20 × 10-3 кг/моль. Поэтому сv 1 = 3 × 8,31 / (2 × 20 × 10-3 ) = 624 Дж/(кг×К), сp 1 = 1040 Дж /(кг × К). Для водорода (двухатомный газ) i = 5 и m2 = 2×10-3 кг/моль. cv 2 = 1,04 × 104 Дж /(кг × К), ср 2 = 1,46 × 104 Дж /(кг × К). Удельную теплоёмкость смеси при постоянном объёме с v найдём следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ , выразим двумя способами: Q = cv (m 1 + m 2 ) DТ , (1) Q = (cv ,1 m 1 + cv ,2 m 2 )DT . (2) Приравнивая правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ , получим сv (m 1 + m 2 ) = cv ,1 m 1 + cv, 2 m 2 . Отсюда или сv = c v ,1 w1 + c v ,2 w2 , где w1 = m 1 / (m 1 + m 2 ) и w2 = m 2 / (m 1 + m 2 ). Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоёмкости смеси при постоянном давлении ср = cр ,1 w1 + cр ,2 w2 . Произведём вычисления: сv = (6,24 × 102 × 0,8 + 1,04 × 104 × 0,2) = 2580 Дж/(кг×К); ср = (1,04 × 102 × 0,8 + 1,46 × 104 × 0,2) = 3752 Дж/(кг×К). Пример 6. Некоторая масса кислорода при давлении р 1 = 105 Па занимает объем V 1 =10 л. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V 2 = 30 л, а затем при постоянном объеме до давления р 2 = = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа DU 1a2 , совершенную им работу А 1а2 и количество поглощенной газом теплоты Q 1а2 . Произвести аналогичные расчёты в случае обратного следования процессов: сначала по изохоре, потом по изобаре (рисунок 1 кривая 1в2). Сравнить результаты расчётов в обоих случаях. Д а н о: р 1 = 105 Па V 1 =10 л V 2 = 30 л р 2 = 0,5 МПа DU 1a2 - ? А 1а2 -? Q 1а2 -? DU 1 b 2 - ? А 1 b 2 -? Q 1 b 2 -? Решение . Физическую систему составляет идеальный газ – кислород. Внутренняя энергия является функцией состояния системы. Поэтому изменение внутренней энергии при переходе из одного состояния в другое всегда равно разности значений внутренней энергии в этих состояниях и не зависит от совокупности процессов, приведших к такому переходу системы: Здесь температура газа в начальном и конечном состояниях была выражена из уравнения Менделеева-Клапейрона. Работа, совершённая газом в рассматриваемом случае, А 1а2 = А 1а + А а2 . При изобарном процессе А 1а = р 1 (V 2 – V 1 ), при изохорном А а2 = 0. С учётом этого А 1а2 = р 1 (V 2 – V 1 ). В соответствии с первым законом термодинамики Q 1a2 = DU 1a2 + A 1a2 = i ( 2 V 2 – p 1 V 1 ) / 2 + р 1 (V 2 – V 1 ). Подставив числовые значения, получим DU 1a2 = 14 × 103 Дж; A 1a2 = 2 × 103 Дж; Q 1a2 = 16 × 103 Дж. Во втором случае переход из состояния 1 в состояние 2 идет через промежуточное состояние b . Искомые величины могут быть найдены следующим образом: А 1b2 = р 2 (V 2 – V 1 ); Q 1b2 = i (p 2 V 2 – p 1 V 1 ) / 2 + р 2 (V 2 – V 1 ). Подставив численные значения, получим DU 1b2 = 14 × 103 Дж; A1b2 = 10 × 103 Дж; Q 1b2 = 24 × 103 Дж. Cравнивая результаты в первом и втором случаях, замечаем, что DU 1 а 2 = DU 1b2 ; A 1b2 > A1a2 ; Q 1b2 > Q 1a2 . Пример 7. Найти КПД четырёхтактного двигателя внутреннего сгорания. Считать, что смесь воздуха с парами топлива и воздуха с продуктами сгорания с достаточной точностью ведёт себя как идеальный газ с показателем адиабаты g. Схема реального цикла показана на рисунке 2, а идеального – на рисунке 3. Д а н о: g h - ? Решение. В состоянии 1 в камере после сгорания сжатой смеси воздуха с топливом имеется газ под большим давлением р 1 . Объём газа V 1. . Начинается рабочий цикл. При расширении газа по адиабате 1-2 совершается положительная работа. В состоянии 2 (нижняя мёртвая точка) расширение достигает максимума и поршень находится в крайнем положении. Объём V 2 равен сумме объёмов камеры сгорания и цилиндра. После открытия выпускного клапана давление в цилиндре падает до близкого к атмосферному. В реальном цикле выпускной клапан начинает открываться раньше достижения поршнем нижней мёртвой точки 2, поэтому переход 2-3 не строго изохорный. На участке 3-4 происходит выталкивание оставшихся в цилиндре продуктов сгорания. В верхней мёртвой точке 4 закрывается выпускной клапан и открывается впускной. На участке 4-5 происходит засасывание воздушно-топливной смеси (для карбюраторных двигателей) или воздуха (для дизельных двигателей). В точке 5 закрывается всасывающий клапан и на участке 5-6 происходит сжатие рабочей смеси. Совершается отрицательная работа. В точке 6 смесь воспламеняется, и давление в камере сжатия возрастает до р1 . В идеальном цикле считаем, что точки 5 и 3 совпадают, путь 3-4 совпадает с 4-5, и никакой работы в процессе 3-4-5 не совершается. Работа в цикле в расчёте на моль вещества , где Т 1 и Т 6 – температуры газа в состояниях 1 и 6. Так как g –1 = (Ср m – С v m ) / С v m = R / С v m , то . Энергия, затрачиваемая на увеличение температуры моля газа от Т 6 до Т 1 , Q = С v m (T 1 – T 6 ). КПД цикла Отношение V 2 / V 1 называется степенью сжатия. Чем больше степень сжатия, тем КПД выше. Вычисляемый по полученной формуле КПД оказывается завышенным приблизительно вдвое по сравнению с действительным КПД в реальных двигателях внутреннего сгорания. Источниками расхождения являются значительные отклонения условий, принятых для идеального цикла, от условий функционирования реального цикла. Пример 8. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, произвёл работу А = 600 Дж. Температура Т 1 нагревателя равна 500 К, температура холодильника Т 2 = 300 К. Определить термический КПД цикла и количество теплоты, отданное холодильнику за один цикл. Д а н о: А = 600 Дж Т 1 = 500 К Т 2 = 300 К h- ? Q 2 -? Решение. Термический КПД цикла Карно h = (Т1 – Т2 )/Т1 . Количество теплоты, отданное холодильнику, Q 2 = Q 1 – A , где Q 1 = A / h – количество теплоты, полученной от нагревателя. Подставляя выражение для Q 1 в формулу для Q 2 , получим Q 2 = A (1/h – 1). Вычисляя, находим: 1) h = 0,4; 2) Q 2 = 900 Дж. Пример 9. Определить изменение энтропии DS при изотермическом расширении азота массой 10 г, если давление газа уменьшается от 100 до 50 кПа. Д а н о: m = 10 г р 1 = 100 кПа р 2 = 50 кПа DS - ? Решение . Изменение энтропии, учитывая, что процесс изотермический, (1) Согласно 1-му закону термодинамики количество теплоты, полученное газом, Q = DU + A . Для изотермического процесса DU = 0, поэтому Q = A . Работа газа в изотермическом процессе Подставив выражение для работы в формулу (1), найдём искомое изменение энтропии: Вычисляя, получаем DS = 2,06 Дж/К. Пример 10. Найти постоянные а и b Ван-дер-Ваальса для одного моля хлора, если известно, что критическая температура хлора Т кр = = 417 К, а критическое давление р кр = 7,6 МПа. Определить внутреннюю энергию газа, если при температуре Т = 273 К он занимает объем V 2 = 2 л. Д а н о: Т кр = 417 К р кр = 7,6 МПа Т = 273 К V 2 = 2 л а – ? b – ? U – ? Решение. Физическую систему составляет один моль реального газа, уравнение состояния которого можно записать в виде где а и b – постоянные Ван-дер-Ваальса; V m – объём одного моля. Критические параметры определяются через постоянные а и b следующим образом: Р кр = а / (27 b 2 ); Т кр = 8а / (27Rb ); V кр = 3b . Выражая а и b через критическую температуру и критическое давление, находим Внутренняя энергия реального газа , где i = 5 – число степеней свободы; Т – температура газа. Подставляя числовые значения, получаем: а = 0,667 Н × м4 /моль; b = 5,69×10-5 м3 /моль; U = 5,34 кДж. Пример 11. Найти добавочное давление Dp внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь? Д а н о: d = 10 см Dp – ? А – ? Решение. Плёнка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности – внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключённый внутри пузыря. Так как толщина плёнки очень мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление где R – радиус пузыря. Так как R = d / 2, то Dp = 8a / d . Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая плёнку, увеличить площадь её поверхности на DS , выражается формулой A = aDS = a(S – S 0 ). В данном случае S – общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря, S 0 – общая площадь двух поверхностей плоской плёнки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S 0 , получаем А = aS = 2pd 2 a . Произведя вычисления, получим Dр = 3,2 Па; А = 2,5 × 10-3 Дж. 5 ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 2.1 При нагревании идеального газа на DТ = 2 К при постоянном давлении объем его увеличился на 1/200 первоначального объема. Найти первоначальную температуру Т газа. 2.2 Баллон объемом V = 15 л содержит углекислый газ под давлением р = 1,5 МПа и температуре Т = 330 К. Определить массу m газа. 2.3 В цилиндр длиной l = 19 м , заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р 0 , начали медленно вдвигать поршень площадью S = 220 см2 . Определить силу F , которая будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии l 1 = 11 см от дна цилиндра. 2.4 Каков может быть наименьший V объем баллона, вмещающего m = = 8 кг кислорода, если его стенки при температуре t = 30 °С выдерживают давление р = 1,8 × 106 Па. 2.5 Два сосуда одинакового объема содержат кислород. В одном сосуде давление р 1 = 220 кПа и температура Т 1 = 850 К, в другом – р 2 = = 280 кПа, а Т 2 = 210 К. Сосуды соединили и охладили находящийся в них кислород до Т = 180 К. Определить установившееся в сосудах давление p . 2.6 В баллоне вместимостью V = 18 л находится аргон под давлением р 1 = 620 кПа и при температуре Т 1 = 315 К. Когда из баллона было взято некоторое количество газа, давление в баллоне понизилось до р 2 = 450 кПа, а температура установилась Т 2 = 280 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона. 2.7 14 г кислорода находятся под давлением р 1 = 280 кПа при температуре t1 = 11 0 С. После расширения вследствие нагревания при постоянном давлении кислород занял объем V2 = 11 л. Найти: объем газа V 1 до расширения; температуру T 2 газа после расширения; плотность r1 газа до расширения; плотность r2 газа после расширения. 2.8 Баллон объемом V = 14 л содержит углекислый газ. Давление p газа равно 1,5 Мпа, а температура Т = 320 К. Определить массу газа в баллоне. 2.9 Вычислить плотность r азота, находящегося в баллоне под давлением р = 2,5 МПа и имеющего температуру Т = 420 К. 2.10 В баллоне находится газ при температуре Т 1 = 450 К. До какой температуры Т 2 надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,3 раза? 2.11 Найти массу m воздуха, заполняющего аудиторию высотой h = = 4,5 м и площадью пола S = 210 м2 . Давление воздуха р = = 0,1 МПа , температура помещения t = 19 °С. 2.12 Определить плотность r водяного пара, находящегося под давлением р = 2,3 кПа и имеющего температуру Т = 350 К. 2.13 В сосуде вместимостью V = 45 л находится кислород при температуре Т = 310 К. Когда часть газа израсходовали, давление в баллоне понизилось на 120 кПа. Определить массу m израсходованного кислорода. Процесс считать изотермическим. 2.14 Определить относительную молярную массу газа, если при температуре Т = 231 К и давлении р = 4,2 МПа он имеет плотность r = = 6,1 кг/ м3 . 2.15 Ручной поршневой насос захватывает из атмосферы при каждом качании V 1 = 65 см3 воздуха. Сколько качаний нужно сделать насосом для того, чтобы давление р в камере велосипедной шины объемом V = 2,5 дм3 повысилось на 0,18 МПа? Давление атмосферного воздуха р о = 0,1 МПа. Нагревом воздуха в процессе сжатия пренебречь. 2.16 Открытая стеклянная колба вместимостью V = 0,5 дм3 , содержащая воздух, нагрета до t 1 = 147 °С. Какой объем воды войдет в колбу при остывании ее до t 2 = 32 °С, если после нагревания ее горлышко опустили в воду. 2.17 В сосуде объемом V = 35 л содержится идеальный газ при температуре Т = 280 К. После того, как часть газа была выпущена наружу, давление в сосуде понизилось на Dр = 0,8 атм (без изменения температуры). Определить массу m выпущенного газа. Плотность данного газа при нормальных условиях r=1,4 г/л. 2.18 Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий количество вещества n = 1,1 кмоль при давлении р = 1,2 МПа и температуре Т = 430 К? 2.19 Определить количество вещества n идеального газа, занимающего объем V = 30 л при температуре Т = 310 К и давлении р = 750 мм. рт. ст. 2.20 Азот массой m = 6 г, находящийся в закрытом сосуде объемом V = = 5 л при температуре t 1 = 21 °С, нагревается до температуры t 2 = = 45 °С. Определить давление газа до и после нагревания. 2.21 Плотность некоторого газа при температуре t = 38 °С и давлении р = 220 кПа равна r=0,34 кг/ м3 . Чему равна масса двух киломолей этого газа? 2.22 В запаянном сосуде находится вода, занимающая объем, равный половине объема сосуда. Вычислить давление и плотность водяных паров при температуре t = 410 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар. 2.23 Давление p 1 воздуха внутри плотно закрытого пробкой сосуда при температуре t 1 = 11 °С равно 0,11 МПа. При нагревании сосуда пробка вылетела. Определить, до какой температуры t 2 нагрет сосуд, если известно, что пробка вылетает при давлении воздуха в сосуде p 2 = 0,14 Мпа. 2.24 Как и во сколько раз отличается вес воздуха, заполняющего помещение при температурах t 1 = 15 °С и t 2 = 35 °С? Давление одинаково. 2.25 В вертикальном закрытом с обоих торцов цилиндре находится массивный поршень, по обе стороны которого- по одному молю воздуха. При Т 1 = 310 К отношение верхнего объема к нижнему k 1 = 4. При какой температуре Т 2 это отношение станет k 2 = 3? 2.26 В закрытом сосуде вместимостью V = 1,1 м3 находятся вода массой m = 1,5 кг и кислород массой m 2 = 2,4 кг. Найти давление р в сосуде при температуре t = 550 °С, зная, что при этой температуре вся вода превращается в пар. 2.27 Баллон вместимостью V = 6 л содержит смесь гелия и водорода при давлении р = 700 кПа. Масса m смеси равна 5 г, массовая доля гелия w1 равна 0,7. Определить температуру Т смеси. 2.28 Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением р = 1,5 Мпа. Считая, что масса кислорода составляет 30 % от массы смеси, определить парциальные давления р 1 и р 2 отдельных газов. 2.29 Найти плотность r газовой смеси, состоящей по массе из одной части водорода и семи частей кислорода, при давлении р = = 110 кПа и температуре Т = 320 К. 2.30 В 10 кг сухого воздуха содержится m 1 = 2,32 кг кислорода и m 2 = = 7,68 кг азота (массами других газов пренебрегаем). Определить молярную массу воздуха. 2.31 В сосуде объемом V = 0,4 м3 содержится смесь газов: азота массой m 1 = 3 г и кислорода массой m 2 = 18 г при температуре Т = 290 К. Определить давление р смеси газов. 2.32 В сосуде находится смесь из m 1 = 11 г углекислого газа и m 2 = 16 г азота. Найти плотность этой смеси при температуре t = 28 °С и давлении р = 1,3×105 Н/м2 . 2.33 В сосуде объемом V = 0,02 м3 содержится смесь газов: азота массой m 1 = 12 г и водорода массой m 2 = 2 г при температуре Т = = 280 К. Определить давление р смеси газов. 2.34 Какой объем занимает смесь азота массой m 1 = 0,5 кг и гелия массой m 2 = 0,7 кг при нормальных условиях? 2.35 Углекислый газ (СО2 ) массой m 1 = 7 г и закись азота (N2 O) массой m 2 = 6 г заполняют сосуд объемом V = 3. 10–3 м3 . Каково общее давление в сосуде при температуре t = 106 °С? 2.36 Считая, что в воздухе содержится w1 = 23,6 части кислорода и w2 = = 76,4 части азота, найти плотность воздуха при давлении р = = 95 кПа и температуре t = 16 °С. Найти парциальные давления кислорода и азота при этих условиях. 2.37 Сосуд объемом V = 25 л содержит смесь водорода и гелия при температуре t = 18 °С и давлении p = 0,2 Мпа. Масса смеси m = = 6 г. Определить отношение массы водорода к массе гелия в данной смеси. 2.38 В сосуде объемом V = 0,6 л находится m = 1,2 г парообразного йода. При температуре t = 1050 °С давление p в сосуде оказалось равным 95 кПа. Определить степень диссоциации молекул йода I 2 на атомы I при этих условиях. Масса одного моля I 2 равна 254 г/моль. 2.39 В сосуде находится углекислый газ. При некоторой температуре степень диссоциации молекул углекислого газа на кислород и окись углерода равна 30%. Во сколько раз давление в сосуде при этих условиях будет больше того давления , которое имело бы место, если бы молекулы углекислого газа не были бы диссоциированы ? 2.40 В баллонах объемами V 1 = 22 л и V 2 = 48 л содержатся идеальные газы. Давление в первом баллоне p 1 = 2,5 МПа, во втором – p 2 = = 1,7 Мпа. Определить общее давление и парциальные давления газов после соединения баллонов, если температура газов осталась прежней. 2.41 Колба вместимостью V = 0,6 л содержит газ при нормальных условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе. 2.42 Одна треть молекул азота массой m = 12 г распалась на атомы. Определить полное число N частиц, находящихся в колбе. 2.43 В сосуде вместимостью V = 6 л при нормальных условиях находится кислород. Определить количество вещества n и массу m кислорода, а также концентрацию n его молекул в сосуде. 2.44 Определить количество вещества n водорода, заполняющего сосуд объемом V = 5 л, если концентрация молекул газа в сосуде n = = 3×108 м-3 . 2.45 Определить количество вещества n и число N молекул азота массой m = 0,6 кг. 2.46 Определить: сколько молекул N содержится в V = 2 мм3 воды; какова масса m одной молекулы воды; диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом. 2.47 В баллоне вместимостью V = 5 л находиться кислород массой m = = 5 г . Определить количество вещества n и концентрацию n его молекул. 2.48 Сколько молекул будет находиться в V = 4 см3 сосуда при температуре t = 14 °С, если сосуд откачали до разрежения р = = 10–11 мм рт. ст. 2.49 Определить, какую часть объема V , в котором находится газ при нормальных условиях, занимают молекулы. Диаметр d молекулы считать равным 1,1×10–10 м. 2.50 Плотность r водорода при нормальных условиях равна 0,09 кг/м3 . Определит массы атома и молекулы водорода. 2.51 Масса m 0 пылинки равна 3×10–8 г. Как и во сколько раз она отличается от массы молекулы m воздуха? Молярная масса m воздуха равна 29 г/моль. 2.52 Определить массу m молекулы пропана С3 Н8 и его плотность r при нормальных условиях. 2.53 Плотность водорода r1 и метана r2 при некоторых одинаковых условиях соответственно равны 0,09 и 0,72 кг/м3 . Вычислить молярную m2 массу метана, если молярная масса водорода m1 = = 2 10-3 кг/моль. 2.54 Какое количество N молекул содержится в m = 5 г водяного пара. 2.55 Молекула азота летит со скоростью v = 480 м/с. Найти количество движения этой молекулы. 2.56 В сосуде вместимостью V = 5 л находится водород массой m = 2 г. Какое количество N молекул находится в объеме V