Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 65
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА § 1. Дифференциальное уравнение первого порядка § 2. Формулировка теоремы существования и единственности § 3. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной § 4. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях ГЛАВА II. Линейные уравнения с постоянными Коэффициентами. § 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней) §6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случаи кратных корней) § 7. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами § 8. Метод исключения §9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами § 10. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства § 11. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами ГЛАВА III. теоремы существования § 12. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения §13. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений § 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки ГЛАВА IV. ПРАКТИЧЕСКИЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ Данная работа посвящена теме: «Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами» Многие процессы химической технологии описываются системами дифференциальных уравнений - начиная от кинетических исследований и заканчивая химическими технологическими процессами. В основу математических способов описания процессов положены системы дифференциальных уравнений и системы линейных алгебраических уравнений. Эти уравнения описывают материальные и тепловые балансы объектов химической технологии, а так же структуры потоков технических веществ в этих аппаратах. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляют собой большой и важный класс обыкновенных дифференциальных уравнений, решающихся до конца при помощи элементарных функций. Ввиду того, что решение этих уравнений принципиально не представляет больших трудностей, часто, считают, что они не имеют сколько-нибудь значительного интереса для теории, и в учебниках им обычно отводит место простого примера к общей теория линейных уравнений. Между тем линейные уравнения с постоянными коэффициентами имеют многочисленные технические применения, так как работа весьма многих технических объектов достаточно адекватным образом описывается этими уравнениями. Именно технические применения выдвигают ряд новых задач теоретического характера в теории линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решению этих теоретических задач посвящено немало работ, имеющих прикладную направленность. Данная работа состоит из четырех глав. Первая глава посвящена в первую очередь определению тех понятий, которые будут изучаться в дальнейшем. Что такое система обыкновенных дифференциальных уравнений, что называется ее решением и как много этих решении существует - таковы главные вопросы, на которые дается ответ в этой главе. Количество решений определяется теоремами существования и единственности, которые здесь не доказываются, а только формулируются. Доказательство этих и ряда других теорем того же типа дается в третьей главе, а до этого сформулированные в первой главе теоремы многократно используются, чем выясняется их значение. Во второй главе используются обычные для инженерной практики операционные обозначения, которые очень удобны для решения систем уравнений методом исключения. Кроме того, в эту главу включено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка, которому предшествует изучение фазовых пространств автономных систем. Фазовые пространства автономных систем также находят важные приложения в технике. В третьей главе доказываются теоремы существования и единственности сформулированные в первой главе, также здесь дается понятие о теории устойчивости Ляпунова. Работа очень многих механических, электрических и другого вида устройств (машин, приборов и т.п.) описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет всегда бесконечное множество решений, и для задания одного определенного решения нужно указать его начальные значения. Для полного понимания какого-либо устройства желательно иметь хорошее представление о фазовом пространстве системы уравнений, описывающей работу этого устройства. При этом важнее всего знать все устойчивые решения этой системы уравнений. В четвертой главе данной решена система пяти дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и исследована устойчивость решения этой системы уравнений. ГЛАВА
I
. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА
§ 1. Дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Если неизвестными функциями являются функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае, т. е. при рассмотрении функций только одного независимого переменного, уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Так как в ряде физических применений независимым переменным, от которого зависят неизвестные искомые функции, является время, которое принято обозначать через t, то всюду в дальнейшем независимое переменное будет обозначаться через t. Неизвестные функции будут обозначаться через x, y, z и т. д. Производные функции по t будут, как правило, обозначаться так: В первую очередь мы займемся рассмотрением одного дифференциального уравнения первого порядка, т. е. уравнения, в которое, входит лишь первая производная неизвестной функции. Уравнение это может быть записано в виде: Здесь t - независимое переменное, x - его неизвестная функция, Соотношение (1) связывает три переменные величины Дифференциальное уравнение (2) называется разрешенным относительно производной; оно в некоторых отношениях более доступно для изучения, чем общее дифференциальное уравнение (1). Именно уравнения, разрешенные относительно производной, мы и будем теперь рассматривать. Мы не будем уже считать, что соотношение (2) получено в результате разрешения относительно Для того чтобы пользоваться наглядными геометрическими представлениями, мы введем в рассмотрение координатную плоскость Р переменных t и х. При этом t как независимое переменное мы будем откладывать по оси абсцисс, а х как зависимое переменное - по оси ординат. Функция f, определяющая дифференциальное уравнение (2), может быть задана не для всех значений своих аргументов t и х, или, говоря геометрическим языком, не во всех точках плоскости Р, а лишь в точках некоторого множества Г плоскости Р (рис.1). Относительно множества Г мы в дальнейшем всегда будем предполагать, что оно является открытым. Это значит, что наряду с каждой точкой р в Г входит и некоторый круг положительного радиуса с центром в р. Относительно функции f будет предполагаться, что как она сама, так и ее частная производная Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет та или другая система алгебраических уравнении. В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и потому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решении данного дифференциального уравнения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (теорема 1), которая в этом параграфе приводится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. §12). Теорема 1. Пусть 1) для всякой точки 2) если два решения то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены. Числа Таким образом, теорема 1 утверждает, что координаты любой точки Геометрическое содержание теоремы 1 заключается в том, что через каждую точку Говоря, что через каждую точку Если один из интервалов, например Каждое решение Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), что любая интегральная кривая Примеры: 1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное уравнение где так что функция где с — произвольное действительное число, является решением уравнения (5). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой § 2. Формулировка теоремы существования и единственности
В §1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях теорема существования и единственности является основным теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению данной системы дифференциальных уравнений. Теорема существовании и единственности формулируется и доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Системы дифференциальных уравнений того частного тина, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными. Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе t —независимое переменное, непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет предполагаться, что и их частные производные существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным Решением системы уравнений (1) называется система непрерывных функций определенных на некотором интервале должна принадлежать, множеству Г для всех значений t на интервале Дадим теперь формулировку теоремы существовании и единственности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в § 13.) Теорема 2. Пусть (1) — нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функции (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки множества Г существует решение системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку Далее, оказывается, что если имеются два каких-либо решения системы (1), удовлетворяющих условиям причем каждое решение определено на своем собственном интервале значений переменного t, содержащем точку Значения (5) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7). Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так: Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем точку Введем здесь понятие непродолжаемого решения. А) Пусть - решение системы уравнений (1), определенное на интервале - решение той же системы уравнений (1), определенное на интервале Сформулируем теперь еще одну теорему существования. Теорема 3. Пусть - нормальная линейная система уравнений. Здесь коэффициенты существует решение системы (12) с этими начальными значениями, определенное на всем интервале В частности, если коэффициенты и свободные члены системы (12) определены на всей прямой, т. е. если Решения нормальной системы (1) интерпретируются геометрически в виде интегральных кривых (n+1)-мерном пространстве с координатами где (14) есть решение системы. Сама система (1) интерпретируется с помощью поля направлений в (n+1)-мерном пространстве. 1. Решим нормальную линейную систему уравнений Множеством Г для нее является все трехмерное пространство с координатами где Пусть Тогда уравнения (17) переписываются в виде: Полагая мы, очевидно, выполним условия (17). Таким образом, через каждую точку В силу теоремы 2 (единственность) формула (16) охватывает совокупность всех решений. 2. Покажем, что если правые части (2) системы уравнений (1) k раз непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные производные порядка k (включая смешанные) по всем переменным В самом деле, для решения (4) имеет место тождество: Если правые части (2) имеют непрерывные первые производные, то правая часть тождества (18) имеет непрерывную производную по t, и потому функция § 3. Сведение обшей системы дифференциальных уравнений к нормальной
В предыдущем параграфе была сформулирована теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений. Здесь будет показано, каким образом весьма общие системы дифференциальных уравнений сводятся к нормальным системам дифференциальных уравнений, и тем самым будет установлена теорема существования и единственности для этих общих систем уравнений. Дадим сначала понятие о системе дифференциальных уравнений в общем виде. В случае одной неизвестной функции х независимого переменного t обычно рассматривается одно уравнение, которое можно записать в виде: Здесь t — независимое переменное, х — его неизвестная функция, а F - заданная функция n+2 переменных. Функция F может быть задана не для всех значений ее аргументов, поэтому говорят об области В задания функции F. Здесь имеется в виду открытое множество В координатного пространства размерности n+2, в котором координатами точки являются переменные Если имеются две неизвестные функции одного независимого переменного, то рассматриваются два дифференциальных уравнения, вместе образующих систему уравнений. Система эта может быть написаны в виде: Здесь t - независимое переменное, х и у — две его неизвестные функции, F и G - две функции, каждая от Аналогично определяются системы дифференциальных уравнений с тремя и большим числом неизвестных функций от одного независимого переменного. Если неизвестными функциями системы дифференциальных уравнении являются функции Если соотношение (1) может быть разрешено относительно Точно так же, если система (2) может быть разрешена относительно величин Уравнение (3) и система (4) называются разрешенными относительно высших производных. Аналогично определяются разрешенные относительно высших производных системы с произвольным числом неизвестных функций. В частности, нормальная система (1) § 2 является разрешенной относительно высших производных. Покажем теперь, что всякая имеющая порядок n система дифференциальных уравнений, разрешенная относительно высших производных. сводится к нормальной системе порядка n. Для начала покажем, как одно уравнение порядка n сводится к нормальной системе порядка n. А) Пусть - одно дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно высшей производной. Здесь t — независимое переменное, у — неизвестная функция переменного t. Далее, (где предполагается, что Оказывается, что уравнение (5) эквивалентно системе Из этого в силу теоремы 2 следует, что для каждой точки или, как говорят, решение с начальными значениями Далее, любые два решения с начальными значениями (8) совпадают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (5) линейно, т. е. функция f линейна относительно переменных Докажем, что уравнение (5) эквивалентно системе (7). Допустим, что функция у удовлетворяет уравнению (5), и докажем, что функции Заменяя правые части соотношений (9) на основе соотношений (6), а правую часть соотношения (10) на основании уравнения (5), которому функция у удовлетворяет, мы получаем систему (7). Допустим, что, наоборот, функции Так как функция f определена на множестве Г, то правые части системы (7) также определены на множестве Г при условии замены координат по формулам (6). Для системы (7) выполнены условия теоремы 2 на множестве Г. Таким образом, можно произвольно выбрать начальные значения для уравнения (5). Если уравнение (5) линейно, то система (7) также линейна. Из этого в силу теоремы 3 вытекает заключительная часть предложения А). Таким образом, предложение А) доказано. Прием, описанный в предложении А), дает возможность привести к нормальной системе произвольную систему дифференциальных уравнений, разрешенную относительно высших производных. §4. Некоторые сведения о линейных дифференциальных уравнениях
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если все неизвестные функции и их производные, вместе взятые, входят в уравнения системы линейно. Таким образом, система линейных уравнений самого общего вида может быть записана в форме Здесь Отметим несколько непосредственно проверяемых свойств линейных систем. При их формулировке будет предполагаться, что все коэффициенты и свободные члены линейной системы определены и непрерывны на интервале А) Если также представляет собой решение однородной системы (2). Аналогичное утверждение справедливо также для трех и большего числа решений однородной системы (2). Б) Если представляет собой решение однородной системы (2). Далее, если представляет собой решение линейной системы (1). В) Допустим, что свободные члены системы линейных уравнений (1) представлены в виде сумм: рассмотрим наряду с системой (1) две системы уравнений: Если представляет собой решение системы (1). ГЛАВА
II
. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
§ 5. Линейное однородное уравнении с постоянными коэффициентами (случай простых корней)
В этом и следующем параграфах будет решено линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка n, т. е. уравнение где z есть неизвестная функция независимого переменного t, а коэффициенты так что к нему применима теорема существования и единственности. В дальнейшем будет использована лишь единственность, так как решения уравнения (2) будут найдены явно и тем самым существование их будет установлено; единственность же будет использована для доказательства того, что найдены все решения. В инженерных применениях обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами важную роль играет операционное исчисление. Мы используем здесь символические (или, иначе, операционные) обозначения, лежащие в основе операционного исчисления. Суть этих обозначений заключается в том, что производная по времени t, от произвольной функции Пользуясь этим обозначением, мы можем написать Если теперь в правой части последнего равенства позволить себе вынести за скобку функцию z, то мы получаем равенство Таким образом, мы приходим к формальному определению. А) Пусть - произвольный многочлен относительно символа р с постоянными коэффициентами (действительными или комплексными) и z — некоторая действительная или комплексная функция действительного переменного t. Положим: Если В силу введенных обозначений уравнение (1) может быть записано в виде: где Б) Пусть Докажем формулу (5). Мы имеем Из этого следует, что Из формулы (5) следует, что функция Теорема 4. Предположим, что характеристический многочлен (см. (1) и (4)) не имеет кратных корней, и обозначим его корни через Положим: Тогда при любых комплексных постоянных является решением уравнения (6). Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнении (6) может быть получено по формуле (8) при надлежащем выборе констант Заметим, что функции (7) определены на всей числовой прямой Примеры 1. Найдем все комплексные решения уравнения Его можно записать в виде (6), где Непосредственно проверяется, что р = - 1 есть корень характеристического многочлена L(р). Разделив L(р) на р+1, получаем: откуда находим еще два корня В силу теоремы 4 общее комплексное решение рассматриваемого уравнения имеет вид: 2. Будем считать, что система решений (7) удовлетворяет условиям и положим: где и положим: где где суть произвольные действительные числа. §6. Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случаи кратных корней)
Если характеристический многочлен уравнения (см. § 5, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида Распространяя эту догадку на случай комплексных кратных корней, мы приходим к предположению о справедливости нижеследующей теоремы (являющейся обобщением теоремы 4): Теорема 5. Пусть — линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами. Пусть, далее, Тогда все функции (3) являются решениями уравнения (2), так что при любых комплексных постоянных также является решением этого уравнения. Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2) может быть получено по формуле (4) при надлежащем выборе констант Заметим, что функции (3) определены на всей числовой прямой Отметим одно очевидное следствие теоремы 5. А) Каждое решение z(t) уравнения (2) может быть записано в виде: где Если коэффициенты уравнения (2) действительны, то перед нами стоит задача выделения из совокупности комплексных решений уравнения (2) его действительных решений. Б) Будем считать, что коэффициенты характеристического многочлена L(р) уравнения (2) действительны. Пусть Примеры 1. Решим уравнение Уравнение это может быть записано в виде (2), где характеристический многочлен L(р) имеет вид: Корнями этого многочлена служат числа имеющие кратности Общее решение дается формулой 2. Решим уравнение Характеристический многочлен равен §7. Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
Здесь будет дано решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами со свободным членом специального вида, являющимся так называемым квазимногочленом. А) Квазимногочленом будем называть всякую функцию F(t), которую можно записать в виде: где Таким образом, в настоящем параграфе будет рассматриваться уравнение где F(t) есть некоторый квазимногочлен. Наряду с уравнением (2) рассмотрим соответствующее однородное уравнение Нижеследующее предложение непосредственно вытекает из замечания Б) § 4. Б) Если где u есть некоторое решение уравнения (3). Так как произвольное решение однородного уравнения мы отыскивать уже умеем, то дело сводится, таким образом, к отысканию одного решения или, как говорят, частного решения уравнения (2) в случае, когда F(t) есть квазимногочлен. Так как, далее, каждый квазимногочлен записывается в виде (1), то в силу замечания В) § 4 дело сводится к отысканию частного решения уравнения (2) в случае, когда Во избежание недоразумений отметим, что в дальнейшем под многочленом степени r мы будем понимать функцию вида Теорема 6. Рассмотрим неоднородное уравнение в котором f(t) есть многочлен степени r относительно t, а где g(t) есть многочлен степени r относительно t. Коэффициенты многочлена g(t) можно найти методом неопределенных коэффициентов. § 8. Метод исключения До сих пор мы занимались решением одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, однако, что весьма общую систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами можно в некотором смысле свести к одному уравнению. Сведение это осуществляется методом исключения, аналогичным тому, который употребляется в теории линейных алгебраических (не дифференциальных) уравнений. Здесь будет дано изложение этого метода и сделаны некоторые выводы из него. Мы будем рассматривать систему уравнений здесь Порядок системы (1) относительно неизвестной функции Применяя к системе (1) метод исключения, мы будем предполагать, что каждая из неизвестных функций Перейдем к изложению метода исключения. А) Рассмотрим матрицу системы уравнений (1). Каждый элемент где Умножая уравнение (1) на многочлен (При переходе от равенств (1) к равенству (4) мы использовали существование достаточно большого числа производных у функций Полученная нами система уравнений (5) ( Не следует думать, однако, что если для каждого номера i выбрать произвольным образом решение Сделаем теперь некоторые выводы из метода исключения. Формулируем прежде всего результат, полученный в предложении А), для случая однородной системы уравнений Б) Если система функций где D(p) — детерминант матрицы Покажем теперь, как, пользуясь методом исключения, следует решать, однородную систему уравнений (6). Систему (6) перепишем в векторной форме где В) Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть г7де которого являются многочленами степени k - 1 относительно t с неопределенными коэффициентами. Каждое решение вида (8) уравнения (7) мы будем называть соответствующим корню Подставляя предполагаемое решение (8) в уравнение (7), мы получим: После сокращения на Таким образом, вектор (8) тогда и только тогда является решением уравнения (8), когда многочлены (9) удовлетворяют условию (10). Переписывая векторное уравнение (10) в координатной форме, получим n соотношений: Левая часть каждого соотношения (11) представляет собой многочлен степени k - 1 относительно t, коэффициенты которого являются линейными однородными функциями коэффициентов многочленов (9). Приравнивая нулю коэффициент при каждой степени t в каждом из соотношений (11), мы получим систему линейных однородных уравнений относительно коэффициентов многочленов (9). Эта система эквивалентна уравнению (10). Таким образом, изложенный метод сводит задачу отыскания решений вида (8) к решению некоторой линейной однородной системы алгебраических уравнений. Из сказанного видно, что решения вида (8) определены на всем бесконечном интервале Вопрос о том, как отыскать все решения уравнения (7), решается нижеследующей теоремой: Теорема 7. Допустим, что детерминант D(p) системы (6) не обращается тождественно в нуль, и пусть где Доказательство. Допустим, что и потом в силу предложения А) § 6 может быть записана на этом интервале в виде: Здесь Таким образом, каждое решение х уравнения (7) на интервале своего определения где Так как числа или, иначе, Но это и значит, что Итак, теорема 7 доказана. Решим методом исключения систему уравнений Перепишем ее в символической форме: Детерминант системы, как легко видеть, равен Подстановка этих функций в первое уравнение дает (после сокращения на a + c – ct – d = 0, откуда Те же соотношения для коэффициентов получаются и при подстановке во второе уравнение системы. Таким образом, общее решение рассматриваемой системы записывается в виде: где a и b - произвольные постоянные. §9. Нормальная линейная однородная система с постоянными коэффициентами
В этом параграфе решается система уравнений с постоянными коэффициентами. Эта система может быть решена методом исключения, здесь она решается путем приведения матрицы Обычно приведение матрицы А к жордановой форме для решения системы (1) используется путем линейного преобразования неизвестных функций В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде: Здесь под производной то векторная функция х, определяемая соотношением является решением уравнения (2). Последнее утверждение проверяется путем подстановки Теорема 8. Пусть - такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения - соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим: Тогда векторная функция где Доказательство. В силу предложения А) каждая функция - разложение вектора Тем же начальным условиям Итак, теорема 8 доказана. В случае, если матрица Б) Будем считать, что матрица Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица В) Запишем систему (1) в векторной форме и пусть - некоторая серия с собственным значением Введем последовательность векторных функций, положив: Оказывается тогда, что векторные функции являются решениями уравнения (6), причем Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений. Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие: В этих соотношениях принято Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае. Теорема 9. Пусть - векторная запись системы (1). Существует базис Оказывается, что формула где Доказательство. Так как функции Если теперь подставить найденные константы (см. (9)). Таким образом, решения Итак, теорема 9 доказана. Теперь нам осталось выделить из решений, заданных формулой (12), действительные решения в случае, когда матрица § 10. Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства
Здесь будет дана геометрическая интерпретация автономной системы уравнений в виде фазового пространства этой системы. Эта интерпретация существенно отличается от геометрической интерпретации системы уравнений, указанной в §§ 1, 2 и правильнее должна называться не геометрической, а кинематической, так как в этой интерпретации каждому решению системы уравнений ставится в соответствие не кривая в пространстве, а движение точки по кривой. Кинематическая интерпретация (фазовое пространство) в некоторых отношениях более выразительна, чем геометрическая (система интегральных кривых). Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если в нее явно не входит независимое переменное (или, как мы будем говорить, время) t. Это значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый системой уравнений не меняется с течением времени, как это обычно и бывает с физическими законами. Очень легко доказывается, что если есть решение некоторой автономной системы уравнений, то где с — константа, также есть решение той же автономной системы уравнений. Проведем доказательство этого факта на примере нормальной автономной системы уравнений, А) Пусть - автономная нормальная система уравнений порядка n и - векторная ее запись. Автономность системы (1) заключается в том, что функции решение уравнения (1), то также есть решение системы (1). Из правила дифференцирования сложной функции вытекает соотношение Действительно, Докажем теперь, что (3) есть решение системы (1). Так как (2) есть решение, то мы имеем тождества Заменяя в этих тождества t через t + c, мы получаем: Из этого в силу (4) и (3) вытекает Перейдем теперь к кинематической интерпретации решений системы (1). Формально речь будет идти об интерпретации в n – мерном пространстве, но для наглядности разумно представлять себе случай плоскости (n = 2). Б) Каждому решению автономной системы (1) поставим в соответствие движение точки в n-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (5), где то траектории, соответствующие этим решениям, либо не пересекаются в пространстве, либо совпадают. Именно, если траектории имеют хотя бы одну общую точку, т. е. то Последние равенства показывают, что траектории, описываемые первым и вторым решениями, совпадают между собой, но первое решение описывает ту же самую траекторию, что и второе, с «запозданием» на время с. Если точка, соответствующая первому решению, достигла некоторого положения на траектории в момент времени t + c, то точка, соответствующая второму решению, уже побывала в том положении в момент времени t. Для того чтобы вывести из равенства (7) тождество (8), рассмотрим наряду с решением (5) решение (см. А)). Из равенства (7) при Таким образом, решения (6) и (9) системы (1) имеют общие начальные условия (а именно, значения в момент времени Положения равновесия и замкнутые траектории Поставим вопрос о том, может ли траектория, изображающая решение системы, пересекать себя. В) Пусть некоторое решение системы (1). Допустим, что имеет место равенство где числа 1) Для всех значений t имеет место равенство где 2) Существует такое положительное число Т, что при произвольном t имеют место равенства но при В этом случае решение (10) называется периодическим с периодом Т, а траектория, описываемая решением (10), называется замкнутой траекторией, или циклом. Докажем предложение В). Как было отмечено в предложении Б) из равенств (11) следуют тождества При этом функции Каждое число с, для которого выполнено тождество (12), будем называть периодом решения (10); множество всех периодов решения (10) обозначим через F. Множество F есть некоторое множество чисел. Установим некоторые его свойства. Заменяя в соотношении (12) t через t - с, получаем Тогда Таким образом, если Так как функции т.е. мы видим, что Так как число с в равенстве (12) отлично от нуля Допустим, что в множестве F нет наименьшего положительного числа, т. е. что для произвольного положительного числа Допустим теперь, что F не есть множество всех действительных чисел. В силу доказанного, в F имеется тогда наименьшее положительное число Т. Пусть с — произвольный период. Можно тогда выбрать такое целое число m, что Теперь уже легко проверить, что если F есть множество всех действительных чисел, то имеет место случай 1), а если F не есть множество действительных чисел, то имеет место случай 2). Таким образом, предложение В) доказано. Кратко предложение В) можно сформулировать, сказав, что имеется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естественно считать, что последний случай является «наиболее общим». Из теоремы 2 следует, что через каждую точку области Таким образом, вся область Такова кинематическая интерпретация решений автономной системы уравнений. Сама система уравнений также допускает геометрическую интерпретацию. Г) Поскольку автономная система уравнений (1) определена на открытом множестве Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора В силу кинематической интерпретации решению Пространство размерности n, в котором интерпретируются решения автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная система (1) в виде векторного поля, называется фазовым пространством системы (1). Траектории называются фазовыми траекториями, векторы Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей. Д) Для того чтобы точка необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость Эта система представляет собой не систему дифференциальных уравнений, а, как говорят, систему конечных уравнений (производные в нее не входят). Для доказательства утверждения Д) допустим, что Таким образом, вектор равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы, а справа — нуль. Е) Геометрическая интерпретация решения (2) системы уравнений (1), указанная в §2, ставит в соответствие этому решению кривую К в (n + 1)-мерном пространстве переменных Геометрическую наглядность это проектирование приобретает при n = 2. В этом случае пространство R трехмерно, а пространство S представляет собой плоскость (см. пример 4). 1. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение первого порядка, правая часть которого непрерывна и имеет непрерывную производную на всей прямой Р изменения переменного х. Предположим дополнительно, что нули функции f(x) или, что то же самое, положения равновесия уравнения (14), не имеют предельных точек. В этом предположении положения равновесия разбивают прямую Р на систему Далее, если число а, или соответственно b, конечно, то число Докажем соотношения (15), (16). Из предположения Допустим теперь, что Допустим, наконец, что Пусть b — произвольное положение равновесия уравнения (14), а (a, b) и (b, c) — два интервала системы Допустим, что 2. Рассмотрим уравнение где f (x) есть периодическая функция с непрерывной первой производной. Для определенности будем считать, что период ее равен Уравнение (17) задает теперь движение точки Из этого примера видно, что фазовым пространством системы уравнений не всегда целесообразно считать эвклидово координатное пространство, а иногда приходится считать более сложное геометрическое образование. Ниже, в примере 3, мы столкнемся с этим обстоятельством в более сложной обстановке, чем в этом примере. 3. Рассмотрим систему уравнений где функции Как всегда, будем предполагать, что функции Рис. 7. В трехмерном эвклидовом пространстве с декартовыми координатами х, у, z выберем в плоскости х, z окружность K радиуса единица с центром в точке (2, 0, 0). Примем на этой окружности за начало отсчета точку с координатами (3, 0, 0). Тогда каждому числу х будет поставлена в соответствие точка Пусть теперь Изображение, фазовых траекторий системы (18) не на плоскости, а на поверхности тора отражает специфическое свойство системы (18) (периодичность функций 4. Каждое решение автономной системы уравнений записывается в виде: где r и В фазовой плоскости S переменных х и у та же система уравнений (19) определяет окружность при 5. Каждое решение неавтономной системы уравнений записывается в виде: где a и b — константы. Из общей теории известно (единственность решения), что в трехмерном пространстве R переменных t, х, у две кривые, определяемые системой уравнении (20), либо не пересекаются, либо совпадают. Для того, чтобы получить проекцию кривой, определяемой системой (20), на плоскость S переменных х, у, следует из системы (20) исключить t. Производя это исключение, получаем: Это уравнение определяет на плоскости ху параболу с осью, направленной вдоль положительной полуоси х и вершиной в точке (а, b). Две такие параболы: одна с вершиной в точке § 11.
Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами
Здесь будут построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы или в векторной форме с постоянными действительными коэффициентами Следует заметить, что начало координат (точка (0, 0)) всегда является положением равновесия системы (1). Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы Допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как это следует из результатов § 9 (теорема 8) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: Здесь тогда мы будем иметь: Координаты Рис. 8. Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости Р* имеется траектория, задаваемая уравнениями а также траектория, задаваемая уравнениями Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7) — относительно оси ординат. Таким образом, указанные два зеркальных отображения оставляют картину траекторий на плоскости Р* инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазовую картину в плоскости Р*. Отметим что при Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев - в зависимости от знаков чисел А) Узел. Допустим, что оба числа Разберем сперва случай, когда При этих предположениях движение по положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движение по положительной полуоси ординат. Далее, движение по произвольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траектория при этом касается оси абсцисс в начале координат. При t, стремящемся к то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено в противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис. 9, б). а) Рис. 9. б) Б) Седло. Допустим, что числа Рисунки 9, а, б и 10 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р*. Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного преобразования и зависят от положения собственных векторов (см., например, рис. 11 и 12). Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае они комплексно сопряжены и могут быть обозначены через где Произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде: где с — комплексная константа. Пусть тогда мы имеем: Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* комплексного переменного Рис. 11. Рис. 12. В) Фокус и центр. Перепишем уравнение (10) в полярных координатах, положив Таким образом, получаем: это есть уравнение движения точки в плоскости Р*. При а) Рис. 13 б) Рисунки 13 и 14 дают картину во вспомогательной фазовой плоскости; в плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 15 и 16). Рис. 14. Рис. 15. Выше мы рассматривали так называемые невырожденные случаи: корни ГЛАВА
III
. теоремы существования
§ 12. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения
В этом параграфе будет дано доказательство сформулированной в § 1 теоремы 1 существования и единственности для одного уравнения первого порядка правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения. А) Пусть и пусть - некоторое начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что тогда для функции Обратно если для некоторой непрерывной функции Докажем это. Допустим сначала, что выполнено соотношение (4). Заменяя в нем переменное t его значением Допустим теперь, что выполнены соотношения (2) и (3). Интегрируя соотношение (2) в пределах от В силу соотношения (3) из последнего равенства получаем (4). Таким образом, предложение А) доказано. Введем теперь некоторые обозначения, используемые ниже при доказательстве теоремы 1. Б) Пусть (график функции Пользуясь оператором А, интегральное уравнение (4) можно записать в виде: В) Пусть, Если - последовательность непрерывных функций, заданных на отрезке Для того, чтобы последовательность (8) равномерно сходилась, достаточно, чтобы имели место неравенства где числа Прежде чем перейти к детальному проведению доказательства теоремы 1, изложим кратко суть метода последовательных приближений, применяемого для решения уравнения (7). Строится последовательность непрерывных функций, определенных на некотором отрезке Если график функции где 0<k<1. Из неравенства (11) следуют неравенства и, таким образом, последовательность (9) равномерно сходится (см. В)). Далее уже легко устанавливается, что предел Ту же конструкцию можно описать несколько иным способом – в форме метода сжатых отображений. Выберем некоторое семейство В этом смысле отображение А является сжатым (правильнее было бы сказать «сжимающим»). Легко видеть, что если для семейства Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенных соображений. Начальные значения Так как прямоугольник П есть замкнутое множество, содержащееся в Г, то непрерывные на нем функции f Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более «узкий» прямоугольник где (см. рис. 17). Более точно число r определим далее. Обозначим через Постараемся теперь выбрать число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция б) Существует такое число Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция В силу (5) и (13) мы имеем: Из этого видно, что при условие а) выполнено. Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем: Вычитая второе равенство из первого, получаем: Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (13): здесь Таким образом, условие б) выполнено, если число Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (14), (17) и (20), то для семейства Построим теперь последовательность функций, определенных на отрезке Так как функция (22) принадлежит семейству В силу (16) получаем: откуда Таким образом, и силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке равномерно сходится к функции Переходя в соотношении (23) к пределу при Итак, существование решения Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть Выберем теперь, как и прежде, в открытом множества Г прямоугольник П с центром в точке Это возможно, так как функции а это возможно только тогда, когда Докажем теперь, что функции Обозначим через N множество всех тех точек т.е. точка Обозначим через Итак, теорема 1 доказана. Для весьма простого уравнения Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде: Будем строить теперь последовательность Мы имеем: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция §13. Доказательство теоремы существования и единственности для нормальной системы уравнений
Здесь будет доказана сформулированная и §2 теорема 2 существования и единственности для нормальной системы уравнений правые части мы перепишем систему (1) в векторной форме: Доказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений, и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе. Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций. Длина или модуль Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов Пусть задав компоненты при этом имеет место неравенство Установим еще одно неравенство для векторной функции векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве где К — положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному. А) Пусть и пусть — начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде: Уравнение (9) теперь может быть записано в виде: В) Пусть Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности непрерывных векторных функций, заданных на отрезке Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства где числа Прейдем теперь к доказательству теоремы 2. Так как точка лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что на множестве П. Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество где (рис. 18). Обозначим через Рис. 18. для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция б) Существует такое число Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция В силу (10), (5) и (15) мы имеем: Из этого видно, что при условие а) выполнено. Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем: Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15): Из (20) и (21) следует Таким образом, условие б) выполнено, если где Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства Построим теперь последовательность векторных функций определенных на отрезке Так как функция В силу (18) получаем: отсюда Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции Равномерно сходится к функции Переходя в соотношении (24) к приделу при Итак, существование решении Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с центром в точке Это возможно, так как функции а это возможно только тогда, когда Докажем теперь, что функции т.е. точка Обозначим через Итак, теорема 2 доказана. § 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т.д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений. Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918). Пусть дана система дифференциальных уравнений Пусть Пусть далее, Решения если начальные данные удовлетворяют неравенствам Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений Будем предполагать, что коэффициенты Дифференцируем первое уравнение и исключаем или Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид Обозначим корни характеристического уравнения (7) через Рассмотрим все возможные случаи. I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные: Зная х, из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид: Если g = 0 и Анализ характера решений в этом случае производится проще. Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет Из последних равенств следует, что при любом В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом (рис.9 а). Говорят, что точка, неограниченно приближается к особой точке при II. Корни характеристического уравнения действительные, положительные, различные: III. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например, IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью: Если ввести обозначение то уравнения (11) можно переписать в виде где откуда находим Снова заметим, что если g=0, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится. Очевидно, что при любом Решение устойчиво. В данном случае при неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом (рис. 13 а). V. Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью: VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые: Постоянные Очевидно, что при любом Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (14) записать в в следующем виде (см. (12)): где С, Освобождаясь от радикала, получим Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 14). VII. Пусть Очевидно, что при любом VIII. Пусть IX. Пусть Так как Решение неустойчиво. X. Пусть Откуда видно, что Чтобы дать общий критерий устойчивости решения системы (4), поступим следующим образом. Запишем корни характеристического уравнения в форме комплексных чисел: (в случае действительных корней Возьмем плоскость Если ни один из корней А.М. Ляпунов исследовал вопрос об устойчивости решений систем уравнений при довольно общих предположениях относительно вида этих уравнений. В теории колебаний часто рассматривают уравнение Обозначим Тогда получаем систему уравнений Фазовой плоскостью для этой системы будет плоскость Так, например, если особая точка системы уравнений есть центр, т. е. Траектории на фазовой плоскости представляют собой замкнутые линии, окружающие начало координат, то движения определяемые уравнением (21), - незатухающие колебательные движения. Если особая точка фазовой плоскости есть фокус (при этом Если уравнение (21) линейное вида Это система вида (4). Точка х = 0, ГЛАВА
IV
. ПРАКТИЧЕСКИЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. Решение. Будем искать частное решение системы в следующем виде: Требуется определить постоянные Сократим на Выберем Нетривиальные решения (2) мы получим только при таких k , при которых определитель (4) обращается в ноль. Мы приходим к уравнению пятого порядка для определения k: или Находим корни этого уравнения, используя математическую программу Mach Cad Для каждого корня Для корня Пусть Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.) Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса Введите порядок матрицы системы (max. 10) > 4 Введите расширенную матрицу системы A 1 2 3 4 b 1 8.6 3 0 1 1 2 3 4.6 3 0 -2 3 -8 0 -1.4 3 7 4 4 -6 9 -6.4 1 Результат вычислений по методу Гаусса Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня Для корня Пусть Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.) Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса Введите порядок матрицы системы (max. 10) > 4 Введите расширенную матрицу системы A 1 2 3 4 b 1 0.3 3 0 1 1 2 3 -3.7 3 0 -2 3 -8 0 -9.7 3 7 4 4 -6 9 -14.7 1 Результат вычислений по методу Гаусса Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня Для корня Пусть Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.) Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса Введите порядок матрицы системы (max. 10) > 4 Введите расширенную матрицу системы A 1 2 3 4 b 1 -9.1 3 0 1 1 2 3 -13.1 3 0 -2 3 -8 0 -19.1 3 7 4 4 -6 9 -24.1 1 Результат вычислений по методу Гаусса Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня Для корня Пусть Решив эту систему методом Гаусса, получим: Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня Для корня Пусть Решив эту систему методом Гаусса, получим: Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня Выпишем комплексное решение Решением будут действительные и мнимые части: Теперь можем написать общее решение Исследуем устойчивость решения системы (1). Корни характеристического уравнения Для того, чтобы решение было устойчивым необходимо чтобы все действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными. В данном случае ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исследовательской работы были рассмотрены линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и один из методов их решения – метод исключения. Также были рассмотрены автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Было проведено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка. В работе приведены доказательства теорем существования и единственности как для одного уравнения, так и для нормальной системы уравнений. В ходе исследовательской работы было рассмотрено лишь понятие об устойчивости решений, не были рассмотрены важнейшие теоремы устойчивости, что является темой для дальнейшего исследования. В каждом параграфе приведены примеры, что значительно облегчает понимание темы. Характерным для данной работы является то, что многие важные утверждения и их доказательства приведены в виде предложений или примеров, обозначенных А), Б), и т.д. Поэтому при изучении некоторых тем игнорирование этих примеров нежелательно, так как они используются при доказательстве основных теорем. В практической части работы было найдено общее решение системы дифференциальных уравнений При решении этой системы была использована программа Mach Cad, составлена программа реализующая метод Гаусса на языке программирования Паскаль. При исследовании решения системы было выяснено, что решение системы не устойчиво. ЛИТЕРАТУРА
1. Видаль П. Нелинейные импульсные системы: Монография: Пер. с фр. – М.: энергия, 1994. – 336с. 2. Гукасов Н.А. Механика жидкости и газа: Учеб. пособие для вузов. – М.: 1996. – 443с. 3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: – 5-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 576с. 4. Мудров А.Е.Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП “Раско”, Томск, 1991 г. 5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учеб. пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 560 с. 6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: – 4-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. – 332с. 7. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1987. 8. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ Под ред. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1990. ПРИЛОЖЕНИЕ
Описание алгоритма. В данной программе реализован метод Гаусса со схемой частичного выбора. В переменную n вводится порядок матрицы системы. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы, после чего оба массива и переменная n передаются функции Gauss. В фукции Gauss для каждого k-го шага вычислений выполняется поиск максимального элемента в k-м столбце матрицы начинаяя с k-й строки. Номер строки, содержащей максимальный элемент сохраняеется в переменной l. В том случае если максимальный элемент находится не в k-й строке, строки с номерами k и l меняются местами. Если же все эти элементы равны нулю, то происходит прекращение выполнения функции Gauss c результатом false. После выбора строки выполняется преобразование матрицы по методу Гаусса. Далее вычисляется решение системы и помещается в массив x. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX. Листинг программы Uses CRT; Const maxn = 10; Type Data = Real; Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data; Vector = Array[1..maxn] of Data; { Процедура ввода расширенной матрицы системы } Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector); Var i, j, r: Integer; Begin r := WhereY; GotoXY(2, r); Write('A'); For i := 1 to n do begin GotoXY(i*6+2, r); Write(i); GotoXY(1, r+i+1); Write(i:2); end; GotoXY((n+1)*6+2, r); Write('b'); For i := 1 to n do begin For j := 1 to n do begin GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1); Read(a[i, j]); end; GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1); Read(b[i]); end; End; { Процедура вывода результатов } Procedure WriteX(n :Integer; x: Vector); Var i: Integer; Begin For i := 1 to n do Writeln('x', i, ' = ', x[i]); End; { Функция, реализующая метод Гаусса } Function Gauss(n: Integer; a: Matrix; b: Vector; var x:Vector): Boolean; Var i, j, k, l: Integer; q, m, t: Data; Begin For k := 1 to n - 1 do begin { Ищем строку l с максимальным элементом в k-ом столбце} l := 0; m := 0; For i := k to n do If Abs(a[i, k]) > m then begin m := Abs(a[i, k]); l := i; end; { Если у всех строк от k до n элемент в k-м столбце нулевой, то система не имеет однозначного решения } If l = 0 then begin Gauss := false; Exit; end; { Меняем местом l-ую строку с k-ой } If l <> k then begin For j := 1 to n do begin t := a[k, j]; a[k, j] := a[l, j]; a[l, j] := t; end; t := b[k]; b[k] := b[l]; b[l] := t; end; { Преобразуем матрицу } For i := k + 1 to n do begin q := a[i, k] / a[k, k]; For j := 1 to n do If j = k then a[i, j] := 0 else a[i, j] := a[i, j] - q * a[k, j]; b[i] := b[i] - q * b[k]; end; end; { Вычисляем решение } x[n] := b[n] / a[n, n]; For i := n - 1 downto 1 do begin t := 0; For j := 1 to n-i do t := t + a[i, i + j] * x[i + j]; x[i] := (1 / a[i, i]) * (b[i] - t); end; Gauss := true; End; Var n, i: Integer; a: Matrix ; b, x: Vector; Begin ClrScr; Writeln('Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса'); Writeln; Writeln('Введите порядок матрицы системы (макс. 10)'); Repeat Write('>'); Read(n); Until (n > 0) and (n <= maxn); Writeln; Writeln('Введите расширенную матрицу системы'); ReadSystem(n, a, b); Writeln; If Gauss(n, a, b, x) then begin Writeln('Результат вычислений по методу Гаусса'); WriteX(n, x); end else Writeln('Данную систему невозможно решить по методу Гаусса'); Writeln;
|