Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 61
Задача №1
Использование плоского напряженного состояния балки-стенки с использованием степенных полиномов
Рисунок 1. Решение:
Выделим из пластины бесконечно малый элемент aob
и рассмотрим его равновесие: Итак, Если заменить в формуле (а) угол a на 90 ° + a , то получим Исключая в формулах (1.2) угол a , получим уравнение круговой диаграммы Мора для плоского напряженного состояния (рис. 2) Это уравнение типа ( x
- a
) 2
+ y
2
= R
2
, где a
= 0,5( s x
+ s y
), Непосредственно из круговой диаграммы находим величины главных напряжений: Ориентация главных осей определяется из условия t x
¢
y
¢
= 0, откуда tg
2 a o
= 2 t xy
/( s x
- s y
). (1.4) Более удобна следующая формула: Экстремальные касательные напряжения равны по величине радиусу круговой диаграммы И действуют на площадках, равнонаклоненных к главным осям. Частный случай
- чистый сдвиг
(рис. 3). Так как s x
= s y
= 0, t xy
= t yx
= t , то по формулам (1.3) и (1.4) получим следовательно Зависимости между напряжениями и деформациями определяются законом Гука: -
прямая форма
-
обратная форма
Пользуясь законом Гука в обратной форме, находим напряжения Для вычисления главных напряжений имеем следующую систему: решая которую, найдем s 1
= 60 МПа, s 2
= 20 МПа. Задача №2
Решение плоской задачи методом конечных разностей
Рисунок 4. Решение:
1. Проверка существования заданной функции напряжений. Подстановка полученных выражений в бигармоническое уравнение обращает его в тождество: Функция 2. Выражения для напряжений. 3. Распределение внешних нагрузок по кромкам пластинки (рис3.1,а). Сторона 0-1
: Вершина парабол при Сторона 1-2
: Экстремумы Сторона 2 -
3
: Экстремумы Сторона 0-3:
Вершины парабол при х=0. 4. Проверка равновесия пластинки (рис.3.1,б). Сторона 0-1
: Расстояние до точки приложения Сторона 1-2
: Расстояние до точки приложения Сторона 2-3:
Расстояние до точки приложения Сторона 0-3:
Расстояние до точки приложения 5. Проверка равновесия пластинки: Пластинка находится в равновесии.
Рис.3. Графическая часть задачи №2 Задача №3
Расчет тонкой плиты методом конечных элементов
Решение:
Построение эпюр изгибающих моментов. Опорные реакции: å m D
= 0, R A
× 4 a
= qa
× 3 a
+ q
× 2 a
× 2 a
+ qa
2
, R A
= 2 qa
, å Y i
= 0, R A
+ R D
= 3 qa
, R D
= qa
.
Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С
. 1. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка. Участок АВ
: Участок ВС
: Участок С
D
: Искомое перемещение 2. Определение прогибов. Из условий опирания балки V A
= V B
= 0. Согласно первому условию V
о
= 0, а из второго находим q о
: откуда Следовательно, уравнения прогибов и углов поворота имеют вид Наибольший прогиб возникает в том сечении, где dv
/ dz
= q = 0, т.е. при z
= 2 a
. Подставив в уравнение прогибов z
= 2 a
, вычислим наибольший прогиб V
max
= -2 Ma
2
/(3 EI x
). прогиб посредине пролета плиты равен V
ср
= V
(1,5 a
) = -9 Ma
2
/(16 EI x
) и отличается от наибольшего на 15%. Угол поворота сечения В
q B
= q (3 a
) = 3 Ma
/(2 EI x
). 3. Определение главных напряжений. Напряжения в поперечном сечении определяются по формулам Вычисляя Величины главных напряжений Направление главного растягивающего напряжения s 1
по отношению к продольной оси плиты z
: а напряжение s 3
направлено перпендикулярно к s 1
|