Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 61
Студента I –го курса гр. 107 Шлыковича Сергея Минск 2001 Колебаниями
называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени. Сложение нескольких гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты становится наглядным, если изображать колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким способом схема называется векторной диаграммой
. Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармонические колебания с амплитудой, равной длине вектора, с круговой частотой, равной угловой скорости вращения вектора, и с начальной фазой, равной углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени. Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление образует с осью
x угол, равный начальной фазе колебаний.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Результирующее колебаниебудет суммой колебаний х1
и x2
,
которые определяются функциями Представим оба колебания с помощью векторов A1
и А2
. Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А
.
На рисунке видно, что проекция этого вектора на ось x
равна сумме проекций складываемых векторов: Также, из рисунка видно, что Представление гармонических колебаний с помощью векторов позволяет заменить сложение функций сложением векторов, что значительно проще. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x
и y
,
изменяющиеся со временем с одинаковой частотой щ по гармоническому закону, то Где ex
и eу
—
орты координатных осей x
и y, А
и B —
амплитуды колебаний. Величинами x
и у
может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины определяют координаты частицы на плоскости xy.
Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (2) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (2) параметр t.
Из первого уравнения следует, что Развернем косинус во втором из уравнений (2) по формуле для косинуса суммы: Подставим вместо cos щ
t
и sinщt их значения (3) и (4): Преобразуем это уравнение Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х
и у.
Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A
и В
и разности фаз б. Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев. 1. Разность фаз б равна нулю. В этом случае уравнение (5) упрощается следующим образом: Отсюда получается уравнение прямой: Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой щ и амплитудой, равной 2. Разность фаз б равна ±р. Из уравнение (5)имеет вид Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А
и В
эллипс превращается в окружность. Случаи Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью щ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний: (знак плюс в выражении для у
соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке). Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Фигура Лиссажу для отношения частот 1:2 и разности фаз р/2 Фигура Лиссажу для отношения частот 3:4 и разности фаз р/2
|