Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 61
САНКТ- ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра строительной механики и теории упругости Контрольная работа
по дисциплине “Динамика сооружений”
Определение прогибов железобетонной балки и усилий в её сечениях при установившихся гармонических колебаниях
(шифр задания 3305)
Выполнил: студент гр. 5015/10 Смирнов Д. В. Преподаватель: Константинов И. А. С.-Петербург 2008 г. Постановка задачи
Дана железобетонная балка (рис. 1) со следующими параметрами: длина балки
В соответствии с заданными параметрами объем По середине пролета балки расположен электродвигатель (он воздействует на балку силой На расчетной схеме балки для статического расчета ее вес представлен в виде равномерно распределенной нагрузки, а вес электромотора в виде сосредоточенной силы (см. рис. 1, а). Расчетная схема для динамического расчета балки представляется в виде системы с одной степенью свободы. Такая расчетная схема получится (рис.1, б), если представить балку как систему двух элементов (тип 2 в программе SCAD) с узлами на опорах и по середине балки и заменить равномерно распределенную массу элементов двумя равными массами по концам элементов. За возмущающую динамическую нагрузку, вызывающую поперечные колебания балки, в примере принята вертикальная составляющая центробежной силы (см. рис. 1, б), вызванной вращающимся ротором, имеющим эксцентриситет Возмущающее гармоническое воздействие представляется в виде
Требуется определить максимальный прогиб балки и максимальный изгибающий момент в ее среднем сечении:
· от статической нагрузки в виде собственного веса балки и электромотора; · от динамической нагрузки в виде · от суммарного воздействия обеих нагрузок Статический и динамический расчет выполнить вручную и с помощью программы SCAD. 1 Выполнение задания при использовании для динамического расчета балки системы с одной степенью свободы
1.1 Расчет на ПК с использованием программы SCAD
1. Составляем расчетную схему балки для статического расчета и динамического расчета как системы с одной степенью свободы
С этой целью изобразим балку как систему двух элементов типа 2 (по классификации в программе SCAD) с узлами на опорах и в месте расположения двигателя (рис. 4).
Рис. 4
На приведенной схеме показаны статические нагрузки от собственного веса балки и собственного веса двигателя и вертикальная составляющая динамической нагрузки, вызванной вращением ротора двигателя. Так как мы рассматриваем эту систему как линейно деформируемую, то воспользуемся принципом независимости действия сил и определим прогибы балки и усилия в её сечениях отдельно от каждой нагрузки. ------------------------------------------------------------------------------------------ | Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е С О В М А С С | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 3 - ( гарм-1) | | Z 3.67 | ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------ |Загpу: N : COБCTB. : Ч A C T O T Ы : ПEPИOДЫ | | : П/П : :-----------------------------:---------------| |жение: : ЗHAЧEHИЯ : 1/C : ГЦ : C | ------------------------------------------------------------------------ | 3 1 .0093448 107.0104 17.03988 .0586858 | ------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ | Ф О Р М Ы К О Л Е Б А Н И Й | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 3 - 1 ( гарм-1) | | Z 1. | ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ | И Н Е Р Ц И О Н Н Ы Е Н А Г Р У З К И | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 3 - 1 ( гарм-1) | | Z .988 | | 3 - 2 | | Z -.1356 | Анализ результатов расчета
Прежде всего, отметим, что структура таблиц и их названия предназначены для систем с несколькими степенями свободы, что объясняет использование множественного числа в их названиях. В рассматриваемом примере имеем систему с одной степенью свободы. Введенные результаты в первой и второй таблицах понятны: в первой – показано, что в узле 2 составленной расчетной схемы МКЭ находится сосредоточенная масса весом 3.67 тс; во второй – приведены результаты определения собственной круговой частоты ω, частоты f и периода T. В третьей таблице для каждой собственной формы колебаний (СФК) отражаются относительные перемещения масс расчетной схемы по направлению их степеней свободы. При этом наибольшее перемещение в СФК принято равным единице. В рассматриваемом примере для системы с одной степенью свободы имеется только одна форма колебаний с одной ординатой, равной единице. В четвертой таблице приведены амплитуды составляющих S1 и S2 суммарной силы S. Полная амплитуда So суммарной силы получается по формуле: Аналогично, из таблиц для перемещений и для усилий в узле 2 загружения 3 соответственно получаем составляющие перемещения узла 3 расчетной схемы (см. рис. 1) и момента в этом сечении и максимальные значения этих величин: | П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я У З Л О В | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 - ( СВ) | | Z -.62551 | | 2 - ( Вес двиг.) | | Z -.357142 | | 3 - 1 ( гарм-1) | | Z -.230647 | | 3 - 2 | | Z .031663 | ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ | У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 2_ 1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 | | 1 1 1 2 2 2 | | 2 2 2 3 3 3 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 - ( СВ) | | M 2.81367 3.75156 3.75156 2.81367 | | 2 - ( Вес двиг.) | | M 1.33875 2.6775 2.6775 1.33875 | | 3 - 1 ( гарм-1) | | M .864582 1.72916 1.72916 .864582 | | 3 - 2 | | M -.118689 -.237378 -.237378 -.118689 | | 3 - S1 | | M .872691 1.74538 1.74538 .872691 | ------------------------------------------------------------------------------------------
Контроль результатов расчетов на ПК с использованием известных формул для систем с одной степенью свободы 1. Определяем собственную частоту системы с одной степенью свободы
Здесь
2. Вычисляем динамический коэффициент
Вариант 1
Вариант 2
3. Вычисляем амплитуды искомых величин. Амплитуда установившихся колебаний Величина Амплитуда суммарной силы для варианта 1: Амплитуда изгибающего момента в среднем сечении балки для этого же варианта расчета: 4. Определяем суммарные значения искомых величин в среднем сечении балки с учетом знакопеременности динамических амплитуд, относящиеся к нижней и верхней сторонам балки:
Полученные данные показывают, что в результате установившихся колебаний в балке максимальный во времени прогиб и изгибающий момент не изменяют знак, т.е. растянутой всегда будет нижняя сторона балки. Как видим результаты расчетов вручную и с помощью ПК практически совпадают. Эпюры изгибающих моментов при рассмотренных загружениях 1,2,3 соответственно изображены на рис. 3,а-3,г. В третьем (динамическом) загружении получаются две эпюры (рис. 3,в,г). Они соответствуют разложению суммарной нагрузки на колебания по синусу и косинусу. На рис. 3,д изображена эпюра расчетных изгибающих моментов при динамическом загружении, полученная по формуле для Если предположить, что возмущающая частота совпала с собственной частотой системы ( Тогда соответствующие суммарные величины для прогиба и изгибающего момента в среднем сечении балки получились бы равными: Полученные результаты показывают, что в результате установившихся колебаний в балке попеременно (с периодом Примерный вид эпюр изгибающих моментов в балке при установившихся колебаниях с коэффициентов динамичности Рис. 3
2 Выполнение задания при использовании для динамического расчета балки системы с несколькими степенями свободы
2.1 Расчет на ПК с использованием программы SCAD
В варианте 1.1. задания 1 было рассмотрено решение задачи об определении максимального прогиба железобетонной балки с электродвигателем, расположенным по ее длине. Расчет выполнялся от двух статических и одного динамического загружений по расчетной схеме балки в виде системы с одной степенью свободы. Рассмотрим решение этой же задачи с использованием расчетной схемы МКЭ, когда балка по длине пролета разделена на 4 равных конечных элемента типа 2. В этом случае при загружении узла 3 динамической нагрузкой получим расчетную схему в виде системы с тремя степенями свободы, которая может быть представлена в виде, приведенном на рис. 4.
Рис. 4
Результаты расчета: ------------------------------------------------------------------------------------------ | Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е С О В М А С С | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 4 5 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 3 - ( гарм-3) | | Z 1.067 2.597 1.067 | ------------------------------------------------------------------------------------------ -----------------------------------------------------------------------------------| |Загpу: N : COБCTB. : Ч A C T O T Ы : ПEPИOДЫ | | : П/П : :-----------------------------:-------------- -| |жение: : ЗHAЧEHИЯ : 1/C : ГЦ : C | ------------------------------------------------------------------------ | 3 1 .009285 107.7001 17.1497 .05831 | | 2 .0017818 561.2033 89.36359 .0111902 | | 3 .0012916 774.1783 123.2768 .0081118 | ------------------------------------------------------------------------ 1-ая СФК
2-ая СФК
3-я СФК
------------------------------------------------------------------------------------------ | И Н Е Р Ц И О Н Н Ы Е Н А Г Р У З К И | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 4 5 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 3 - 1 ( гарм-3) | | Z .0665 .8888 .0665 | | 3 - 2 | | Z -.0152 -.1125 -.0152 | ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ | П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я У З Л О В | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 2 3 4 5 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 - ( СВ) | | Z -.445676 -.62551 -.445676 | | 2 - ( Вес двиг.) | | Z -.245535 -.357142 -.245535 | | 3 - 1 ( гарм-3) | | Z -.158161 -.228817 -.158161 | | 3 - 2 | | Z .021624 .03117 .021624 | ------------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------ | У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 2_ 1-1 1-2 2-1 2-2 3-1 3-2 4-1 4-2 | | 1 1 2 2 3 3 4 4 | | 2 2 3 3 4 4 5 5 | ------------------------------------------------------------------------------------------ | 1 - ( СВ) | | M 2.81367 2.81367 3.75156 3.75156 2.81367 2.81367 | | 2 - ( Вес двиг.) | | M 1.33875 1.33875 2.6775 2.6775 1.33875 1.33875 | | 3 - 1 ( гарм-3) | | M .894092 .894092 1.6718 1.6718 .894092 .894092 | | 3 - 2 | | M -.125189 -.125189 -.223664 -.223664 -.125189 -.125189 | | 3 - S1 | | M .902814 .902814 1.6867 1.6867 .902814 .902814 | ------------------------------------------------------------------------------------------
Рис. 5
Расчет вручную.
Исходными данными для расчета вручную считаем определенные в результате модального анализа СЧ и СФК для рассматриваемой балки как системы с тремя степенями свободы. 1. Вычисление векторов инерционных сил в СФК
Вычисление для первой СФК (i=1) Вычисление для первой СФК (i=3) Результаты расчета сведем в таблицу 1. Таблица 1
1 0.179
1.517
2 0
3 -0.136
2. Выполнение контроля разложения вектора В данном случае проверка выполняется. 3. Вычисление перемещений и усилий в СФК в любом сечении Вектору инерциональных нагрузок Таблица 2
1
2 0 0 3
4. Сопоставление суммарного вектора инерционных нагрузок по всем СФК
Этот вектор во всех СФК (при В приведенной таблице результатов расчета инерционных сил в программе SCAD приводятся не векторы Как видим, результаты практически совпали. 5. Вычисление расчетного изгибающего момента в среднем сечении балки
Суммирование амплитудных значений изгибающего момента, вычисленных в среднем сечении балки для всех трех СФК выполняется по формуле: В программе SCAD: Расчеты, выполненные в программе SCAD и вручную практически совпадают. Сопоставления результатов расчета по двум расчетным схемам
Сопоставление результатов расчета рассматриваемой балки по определению её максимального прогиба и максимального изгибающего момента по рассмотренным 2 расчетным схемам показывает, что даже использование для динамического расчета расчетной схемы с одной степенью свободы дает удовлетворительные результаты. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Расчет стержневых систем. Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та. 2005. 155 с. 2. Константинов И.А. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.I: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2004. 81с. 3. Константинов И.А., Лалина И.И. Строительная механика. Использование программы SCAD для расчета стержневых систем. Ч.2: Учеб. пособие. СПб.:Изд-во Политехн. ун- та, 2005. 82с. 4. Лалин В.В., Константинов И.А., Лалина И.И.Динамика сооружений. Использование программы SCAD для решения задач динамики сооружений. Ч.1: Сайт каф. ЭиПГС, ФОДО, 2005. 92с.
|