Спектры непериодических сигналов 1. 2. Спектры непериодических сигналов Пусть задан сигнал в виде ограниченной во времени функции s(t), отличной от нуля в промежутке t1 t2 . Выделим произвольный отрезок времени T, включающий промежуток t1 t2 , далее продолжим аналитически s(t) на всю бесконечную ось с периодом T. Тогда мы сможем разложить такую периодическую функцию s(t) в гармонический ряд Фурье. В комплексной форме будем иметь: Полученный ряд на участке t1 t2 будет точно соответствовать нашей функции s(t). Однако, если нас интересуют моменты времени за участком t1 t2 , то необходимо увеличить период Т, т. е. отодвинуть повторные значения функции s(t). Производя замену переменных и переходя от суммирования к интегрированию, получим где - спектральная плотность сигнала s(t). Спектр непериодического сигнала сплошной (непрерывный) и распространяется на отрицательные частоты. Если , то - модуль спектральной плотности – амплитудно-частотная характеристика. - фазово-частотная характеристика. Необходимое условие существования спектральной плотности Пример. Спектр прямоугольного сигнала Согласно формуле Эйлера - площадь под импульсом. 1.1 Свойства преобразования Фурье а) Сдвиг сигнала во времени s2 (t)=s1 (t-t0 ). Сдвиг во времени функции s(t) на ±t0 приводит к сдвигу фазы спектра на ±wt0 . Это позволяет для удобства разложения в спектр сдвигать сигнал относительно начала координат. б) Сжатие и расширение сигнала s2 (t)=s1 (nt) . При сжатии сигнала в n раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот при уменьшении модуля в n раз. Наоборот, при растяжении сигнала во времени имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности. Т. о. сжатие спектра импульса с целью повышения точности измерения частоты требует удлинения времени измерения. В то же время сжатие импульса по времени с целью, например, повышения точности измерения времени его появления заставляет расширять полосу пропускания измерительного устройства. В теории преобразования Фурье доказывается, что где . В реальности это проявление принципа неопределенности: При при несреднеквадратичном определении и . в) Дифференцирование и интегрирование сигнала Аналогично спектральная плотность интеграла равна г) Сложение сигналов (линейность преобразования) - из-за линейности операции интегрирования. д) Спектр произведения двух функций Изменяем порядок интегрирования: Спектр произведения двух функций равен свертке их спектров (с множителем ). Аналогично можно показать, что свертке двух функций соответствует спектр являющийся произведением исходных спектров. е) Взаимная обратимость s(t) и . ; Для четного сигнала s(t)=s(-t), и в связи с симметричностью пределов интегрирования в выражении для можно поменять знак в экспоненте Тогда, если по функциональной зависимости то 1.2 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала Найдем спектр квадрата функции s(t). - используем свойства преобразования Фурье для произведения двух функций. В частном случае ( ) будем иметь: . Переходя от к и т. к. , комплексное сопряжение . - равенство Парсеваля. - спектральная плотность энергии (энергия, приходящаяся на единицу полосы частот). Е - полная энергия сигнала. Для энергии, приходящейся на конечную полосу частот, получим: - при симметричной Примеры.Спектр Гауссова (колокольного) импульса , -¥ < t < ¥, а - условная половина длительности на уровне 0,606. . Произведем преобразование в показателях степени: где d - определяется из условия: откуда . При d - конечном т. к. . Тогда т. е. спектр Гауссова импульса имеет Гауссову форму: . Можно показать, что Гауссов импульс обладает наименьшим при среднеквадратичном их определении. Спектр d-функции . В качестве d -функции может выступать сигнал любой формы с бесконечно малой длительностью и единичной площадью. 1.3 Свойства d-функции 1) - фильтрующее свойство. 2) Четность 3) Нормировка Спектральная плотность . При t0 = 0, , при t0 ¹ 0, . - это спектральное определение d -функции. Аналогично - определение d -функции в частотной области. Спектральная плотность гармонического колебания Одним из условий применения интегрального преобразования Фурье функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость Применениеd- функции позволяет получить спектральную плотность и для неинтегрируемых функций. Пусть Найдем спектральную плотность, формально не обращая внимания, что сигнал абсолютно не интегрируем. Произведем замену . Но тогда . Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность на дискретных частотах ±w0 . В частности, для постоянного напряжения w0 = 0, Задание 2 В соответствии с номером варианта (последняя цифра в номере списка группы) определить энтропию источника сообщений. 4 0,15 0,01 0,09 0,25 0,01 0,04 0,1 0,18 0,02 0,15 Задание 3 Для источника сообщений предыдущего задания построить эффективный код Хаффмена. x4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0, 32 0,4 3 0,5 7 1 x8 0,18 0,18 0,18 0,18 0,18 0,25 0,25 0,32 0,43 x6 0,15 0,15 0,15 0,15 0,1 7 0,18 0,25 0,25 x9 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 0,17 0,18 x3 0,10 0,10 0,10 0,10 0,15 0,15 x7 0,09 0,09 0,09 0,03 0,10 x10 0,04 0,04 0,04 0, 08 x1 0,02 0,02 0,0 4 x2 0,01 0,0 2 x5 0,01 0 0 0 1 1 1 1 x1-110X8 x2-1110001 x3-1111 0 x4-10 x5-1110000 x6-11101 x7-010 X8 1 0 x8-00 x9-111001 X4 x10-011 Задание 4 Построить двоичный групповой помехоустойчивый код Хэмминга для исправления одиночных ошибок. Количество передаваемых сообщений – 45. Дать описание построенного кода в виде проверочных равенств и матрицы. k=3 m=3 n=m+k n=6 (6,3) Исходный код: k1 k2 k3 Код Хэмминга: m1m2k1m3k2k3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 Варианты разрядов в которых может возникнуть ошибка Номера разрядов в которых может возникнуть ошибка Значения проверочных битов Проверочные равенства: – проверочный синдром, указывающий номер бита с ошибкой Проверочная матрица: Пример: Закодируем сообщение 101 Исходный код Закодированный код Найдем проверочные разряды Получаем код Смоделируем ошибку при передаче сообщения. Инвертируем 5 бит сообщения 101101 и получим 10111 1. Представим принятый код в виде Используя проверочные равенства найдем Получаем проверочный синдром S(101), который указывает на ошибку в 5 бите. Для исправления ошибки необходимо проинвертировать указанный бит 10110 1. В результате получаем исходный закодированный код. Для его декодирования необходимо исключить из сообщения биты 1,2, и 4 биты. Получаем исходный код 101. Литература 1. Блейтхут Р. Для теории и практики кодов, контролирующих ошибки. / Под общей редакцией К. Ш. Зигангирова . -г. Москва.: Мир, 2003. 2. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высшая школа, 1989. 3. Мсхаля Ж. Основы современных информационных технологий. Учебное пособие для вузов. М.: АСВ, 2003.