Основы расчёта оболочек Омский государственный технический университет Кафедра “Авиа- и ракетостроение” Специальность 160801 - “Ракетостроение” по дисциплине “Строительная механика летательных аппаратов” Основы расчёта оболочек Омск 2005 Содержание 1. Расчет цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами 2. Исследование напряжённо-деформированного состояния полусферической оболочки, заполненной жидкостью 3. Исследование напряжённо-деформированного состояния сферической оболочки, заполненной жидкостью 4. Расчёт сферического топливного бака с опорой по экватору 5. Расчёт бака на прочность Список литературы 1. РАСЧЕТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ПОДКРЕПЛЕННОЙ ШПАНГОУТАМИ Условие задачи. Рассмотрим цилиндрическую оболочку постоянной толщины , радиуса , подкрепленную шпангоутами, равномерно расположенными по её длине. Сечение шпангоута: . Оболочка нагружена избыточным давлением (рис.1). Цель расчета. Определить минимальное расстояние между шпангоутами , которое позволяет исключить взаимное влияние на оболочку двух соседних шпангоутов. Рис.1. Расчетная схема Исходные данные Погонная нагрузка МПа; Радиус оболочки м; Толщина оболочки м; Ширина шпангоута , м; Толщина шпангоута , м; Материал оболочки: марка ВТ6С (О); коэффициент Пуассона ; модуль Юнга Выполнение расчёта Расчётная схема 1. Шпангоуты абсолютно жёсткие Определим цилиндрическую жёсткость оболочки по формуле: ; Вычислим коэффициент затухания гармонической функции по формуле: ; Определим силу взаимодействия между шпангоутами и оболочкой: Определим перерезывающую силу на краю оболочки: Определим погонный изгибающий момент в месте установки шпангоута: Погонный изгибающий момент по длине оболочки, затухающий по периодическому закону, вычислим по следующей формуле: где - число расчётных точек на всей области существования функции . Принимаем . Так как область существования гармонической функции определяется условием , то находим шаг вычислений момента из выражения: ; Результаты расчёта заносим в таблицу 1 и вычерчиваем график функции (рис.2, рис.3). С использованием графика определяем координату второй точки пересечения графика функции с осью абсцисс и находим минимальное расстояние между шпангоутами : Расчётная схема 2. Расчёт подкреплённой оболочки с податливыми (упругими) шпангоутами Найдём площадь поперечного сечения шпангоута : Определим коэффициент податливости шпангоута : Погонный изгибающий момент по длине оболочки с учётом податливости шпангоута: Результаты вычислений заносим в таблицу 1 и строим график функции , совмещённый с графиком (рис.2, рис.3). Определим в процентах снижение величины изгибающего момента при учёте податливости шпангоута: ; Таблица 1 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛУСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ Условие задачи: Тонкостенный сосуд (рис.1), выполненный в виде полусферы, частично заполнен жидкостью. Закрепление оболочки по диаметру окружности – свободное. Цель расчета: 1. Построить эпюры погонных меридиональных и кольцевых усилий. 2. Определить толщину стенки оболочки, без учёта её собственного веса. Исходные данные: Радиус сферы: м; Угол зеркала жидкости: ; Плотность жидкости (горючее): ; Коэффициент безопасности ; Материал оболочки: Марка ВТ6С (О); предел прочности . Выполнение расчёта 1. Расчёт участка оболочки над уровнем жидкости Рассмотрим участок оболочки (рис. 1). На расстоянии от полюса отсекаем часть оболочки нормальным коническим сечением с углом широты (рис. 2). 1.1 Определяем границы участка BC: . 1.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки: , где - вес жидкости, заполняющей полусферу; - координаты расчётного сечения; - меридиональная погонная сила. 1.3 Определяем высоту столба жидкости в полусферической оболочке: 1.4 Находим объём шарового сегмента, заполненного жидкостью: 1.5 Вычисляем вес жидкости по формуле: 1.6 Определяем текущий радиус кольцевого сечения оболочки: 1.7 Находим погонное меридиональное усилие из уравнения равновесия отсечённой части оболочки: . 1.8 Определяем погонное кольцевое усилие для участка , используя уравнение Лапласа: , где , – главные радиусы кривизны расчётного сечения оболочки; – интенсивность внешней нагрузки на стенку в расчётном сечении оболочки. Для сферы R1 = R2 и для участка = -. Результаты расчёта заносим в таблицу 1 при условии . Таблица 1 № точки , град. , Н/м , Н/м 1 90 1035 -1035 2 87 1037 -1037 3 84 1046 -1046 4 81 1061 -1061 5 78 1081 -1081 6 75 1109 -1109 7 72 1144 -1144 8 69 1187 -1187 9 66 1240 -1240 10 63 1303 -1303 11 60 1380 -1380 2. Расчёт участка оболочки под уровнем жидкости Рассмотрим участок оболочки (рис.1). Построим нормальное коническое сечение на расстоянии от полюса оболочки. Положение расчётного сечения определяется углом широты 2.1 Определим границы участка : . 2.2 Составляем уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось для отсечённой части оболочки: , где - вес жидкости, заключённой в шаровом сегменте высотой ; - давление жидкости в расчётном сечении; - площадь поперечного сечения оболочки на уровне ; - радиус поперечного сечения оболочки на уровне . 2.3 Определяем составляющие уравнения равновесия: Объём шарового сегмента: , где . Вес жидкости: . Давление жидкости на уровне от зеркала жидкости: . Площадь поперечного сечения , где . Значения составляющих уравнения равновесия заносим в таблицу 2. Таблица 2 № точки , град. Vшс , м3 G, Н q, Па S, м2 r, м 1 60 0,932 7313 0 3,443 0,974 2 54 0,656 5145 775,06 3,217 0,910 3 48 0,436 3419 1493 2,955 0,836 4 42 0,270 2118 2147 2,661 0,753 5 36 0,153 1199 2728 2,337 0,661 6 30 0,077 601,96 3232 1,988 0,563 7 24 0,032 254,83 3651 1,617 0,458 8 18 0,011 82,72 3982 1,229 0,348 9 12 0,00212 16,64 4222 0,827 0,234 10 6 0,000134 1,05 4366 0,416 0,118 11 0 0 0 4415 0 0 2.4 Подставим найденные значения в уравнение равновесия и определим меридиональное усилие : . 2.5 Получим выражение для погонного кольцевого усилия из уравнения Лапласа при R 1 = R 2 = R , . Результаты расчёта заносим в таблицу 3 при условии . Таблица 3 № точки φ, град. , Н/м ,Н/м 1 60 1380 -1380 2 54 1548 -676,2 3 48 1716 -35,93 4 42 1877 538,4 5 36 2026 1,044 6 30 2158 1477 7 24 2272 1836 8 18 2363 2118 9 12 2429 2320 10 6 2470 2442 11 0 2483 2483 По данным таблиц строим эпюры погонных усилий. Схема эпюры приведена на рис. 4. С помощью эпюры определяем наиболее напряжённое сечение оболочки и максимальные усилия . 3. Определение толщины стенки оболочки 3.1 Найдём допускаемое напряжение материала оболочки: 3.2 Определим толщину стенки: , 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ЖИДКОСТЬЮ Условие задачи: Построить эпюры безмоментных напряжений и для сферического сосуда (рис. 1), полностью заполненного жидкостью. Исходные данные: Радиус оболочки: м; Плотность жидкости (окислитель): ; Толщина стенки оболочки: . Рис. 1. Схема оболочки Выполнение расчёта 1. Выводы расчётных зависимостей для верхней полусферы В верхней полусфере отсечём часть оболочки нормальным коническим сечением с углом при вершине конуса и составим уравнение равновесия отсеченной части оболочки (рис. 2): , где – равнодействующая сил давления жидкости на стенку оболочки в проекции на вертикальную ось. Жидкость действует на стенку оболочки переменным давлением. Равнодействующую сил давления жидкости на вертикальную ось определим по формуле: , где – объём цилиндра; – объём шарового сегмента, рис. 2. , где - высота столба жидкости в расчётном сечении. Рис. 2. Расчётная схема Получаем: . Из уравнения равновесия после подстановки выражения для силы имеем: . Отсюда меридиональное напряжение: . Определим кольцевое напряжение . Для этого обратимся к уравнению Лапласа, учитывая, что для сферической оболочки R 1 = R 2 = R :: , где - давление жидкости в рассматриваемом сечении оболочки. После подстановки в уравнение Лапласа получаем: . Принимая угол в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1. Таблица 1 , град. л , м3 , м3 , Н , Па , Па , Па 0 0 0 0 0 0 0 10 0,002049 0,001027 11,445 191,409 2,442 7,350 20 0,032 0,016 174,869 759,818 9,616 2,925 30 0,15 0,077 818,854 1688 2,107 6,528 40 0,432 0,226 2314 2948 3,603 1,148 50 0,938 0,503 4870 4501 5,338 1,768 60 1,677 0,932 8349 6300 7,161 2,506 70 2,599 1,512 12170 8290 8,869 3,354 80 3,585 2,213 15360 10410 1,019 4,307 90 4,473 2,982 16700 12600 1,074 5,371 2. Выводы расчётных зависимостей для нижней полусферы Рис. 3. Расчётная схема Отсечём нормальным коническим сечением часть сферы (рис. 3). Вес жидкости в объёме шарового сегмента и равнодействующая от гидростатического давления жидкости , находящейся выше рассматриваемого сечения, уравновешиваются реакцией опоры N и результирующим меридиональным усилием от погонных меридиональных сил, распределённых по круговому контуру шарового сегмента в сечении . Отсюда получим следующее уравнение равновесия: , где - реакция опоры, равная весу жидкости в объёме шара. Н; - гидростатическое давление жидкости; - площадь поперечного сечения; - вес жидкости в объёме шарового сегмента. После подстановки получим: Отсюда имеем: . Для нижней части полусферы определяем из уравнения Лапласа: , где . Отсюда: . Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия, кольцевых и меридиональных напряжений с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2. Таблица 2 , град. , Па S, м2 , Н , Па , Па 90 12600 3,976 33410 1,074 5,371 80 14790 3,856 24790 9,958 6,568 70 16910 3,511 16940 6,922 7,957 60 18910 2,982 10440 -1,908 9,667 50 20700 2,333 5633 -1,411 1,2 40 22260 1,643 2529 -4,314 1,57 30 23520 0,994 859,303 -1,095 2,298 20 24450 0,465 178,593 -3,038 4,288 10 25020 0,12 11,508 -1,361 1,489 0 25210 0 0 -1,362 1,362 Выводы В опорной точке сферы безмоментные напряжения обращаются в бесконечность. Это является следствием обращения в ноль площади сечения, по которой действуют напряжения . В реальных условиях сосредоточенных в точке сил не существует, и поэтому эта особенность имеет место лишь в расчётной схеме. Рис. 4. Эпюра напряжений и 4. РАСЧЁТ СФЕРИЧЕСКОГО ТОПЛИВНОГО БАКА С ОПОРОЙ ПО ЭКВАТОРУ Условие задачи: Сферический топливный бак с опорой по экватору, заполненный жидкостью, находится под давлением наддува (рис.1, рис. 2). Цель расчёта: Определить толщину стенки и массу конструкции бака при заданных размерах и нагрузке. Исходные данные: Радиус оболочки: м; Плотность жидкости (горючее): ; Давление наддува: ; Уровень жидкости: ; Коэффициент осевой перегрузки: ; Коэффициент безопасности: ; Материал оболочки: марка ВТ6С (О); предел прочности ; плотность . Примечание: Для упрощения принимаем: . Выполнение расчёта 1. Расчёт оболочки над опорой Формулы для расчёта погонных меридиональных и кольцевых усилий над опорой от действия давления жидкости и давления наддува имеют вид: ; , где – угол, отсчитываемый в плоскости меридиана от верхнего полюса; – ускорение свободного падения. Принимая угол в диапазоне от 0˚ до 90˚, занесём значения кольцевых и меридиональных усилий с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 1. Таблица 1 , град , Н/м , Н/м 0 140600 140600 10 140800 141000 20 141100 142200 30 141800 144100 40 142600 146800 50 143500 150200 60 144500 154100 70 145400 158700 80 146100 163900 90 146400 169600 2. Расчёт оболочки под опорой Выведем расчётные формулы для погонных меридиональных и кольцевых усилий от действия давления жидкости и давления наддува под опорой топливного бака . Составим уравнение равновесия внешних и внутренних сил для выделенного сечения оболочки (рис. 2) в проекции на вертикальную ось . Получим: , где – давление в рассматриваемом сечении; S – площадь расчётного поперечного сечения; – вес жидкости в шаровом сегменте, отсечённом нормальным коническим сечением с углом ; – равнодействующая погонных меридиональных усилий в проекции на ось . Давление в произвольном сечении оболочки равно давлению наддува плюс давление столба жидкости над рассматриваемым сечением: , где h – высота столба жидкости от зеркала жидкости до расчётного сечения. , , где - радиус рассматриваемого сечения. Определим вес жидкости в шаровом сегменте: , где – объём шарового сегмента, отсечённого нормальным коническим сечением с углом . . Спроектируем погонные меридиональные усилия в расчётном сечении на вертикальную ось : . Величина равнодействующей от распределённых по кольцу радиуса r меридиональных сил определяется по формуле: . Окончательно получаем . Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 2. Таблица 2 , град , МПа S , м2 , , Н 90 0,2809 3,976 2,982 81910 80 0,2863 3,856 2,213 60790 70 0,2915 3,511 1,512 41530 60 0,2964 2,982 0,932 25600 50 0,3008 2,333 0,503 13810 40 0,3046 1,643 0,226 6201 30 0,3077 0,994 0,077 2107 20 0,3099 0,465 0,016 437,881 10 0,3113 0,120 0,001027 28,215 0 0,3118 0 0 0 Подставляем полученные выражения , S , , в уравнение равновесия и преобразовываем. Получаем формулу для вычисления погонных меридиональных усилий: . Подставляя полученное выражение в уравнение Лапласа, определим погонные кольцевые усилия . Уравнения Лапласа в усилиях имеет вид: , где , – главные радиусы кривизны оболочки; – давление в рассматриваемом сечении. Для сферического бака R 1 = R 2 = R , поэтому уравнение Лапласа принимает вид: . Подставив выражение в уравнение Лапласа и проведя преобразования, получим формулу для вычисления : . Принимая угол в диапазоне от 90˚ до 0˚, занесём значения составляющих уравнения равновесия с шагом угла , равным 10˚,в таблицу 3. Таблица 3 , град , Н/м , Н/м 90 169600 146400 80 169900 152200 70 170600 157300 60 171500 161900 50 172500 165900 40 173400 169200 30 174300 171900 20 174900 173800 10 175300 175000 0 175400 175400 Погонные усилия в сферическом баке принимают наибольшее значение в нижнем полюсе. Кроме того, в нижнем полюсе = . Сравнивая результаты вычислений значений , на экваторе для участков над опорой и под опорой, делаем вывод: усилия , терпят разрыв. Определение толщины стенки бака Расчёт на прочность производим по максимальным погонным усилиям. Определяем напряжения в нижнем полюсе бака: , где – толщина стенки бака. Подставив в эти формулы выражения для погонных меридиональных и кольцевых усилий, получим: . Минимальную толщину оболочки можно получить по формуле: , где – допускаемые напряжения. Определяем массу оболочки бака: , где – площадь поверхности оболочки; – плотность материала оболочки. Построим эпюру погонных усилий , (рис. 3): Рис. 3. Эпюра погонных усилий , 5. РАСЧЁТ БАКА НА ПРОЧНОСТЬ Условие задачи: Цилиндрический бак с верхним полуэллиптическим и нижним полусферическими днищами (рис.1) находится под действием давления наддува и заполнен жидкостью до уровня H . Цель расчёта: 1. Определить величину безмоментных напряжений ; 2. Определить толщину обечайки и днищ бака. Исходные данные: Радиус бака: м; Размеры эллиптического днища: Высота столба жидкости: ; Плотность жидкости (окислитель): ; Давление наддува: ; Коэффициент безопасности: ; Материал оболочки: марка ВТ6С (О); предел прочности ; . Выполнение расчёта Участок верхнего эллиптического днища Рис. 2. Схема эллиптического днища В днище нормальным коническим сечением I – I отсечём верхнюю часть оболочки и составим для неё уравнение равновесия. Выбираем оси координат так, как показано на рис. 2. Из уравнения равновесия и уравнения Лапласа получаем выражения для в расчётном сечении эллиптического днища в виде: , где , – радиусы кривизны рассматриваемого сечения оболочки, , , где x, y – координаты точки в рассматриваемом сечении оболочки. Для построения эпюр задаёмся значениями x. Координату y определяем из уравнения эллипса . Отсюда получаем . Меньшую полуось b разбиваем на 5 равных частей, для каждого сечения производим расчёты, результаты расчётов заносим в таблицу 1. Таблица 1 № сечения x , м y , м R 1 , м R 2 , м , МПа , МПа 1 0 1,125 0,18 1,125 2 0,09 1,102 0,24 1,238 3 0,18 1,031 0,449 1,526 4 0,27 0,9 0,884 1,913 5 0,36 0,675 1,639 2,349 6 0,45 0 2,813 2,813 Участок цилиндра над зеркалом жидкости Рис. 3. Сечение II – II Нормальным сечением к оси бака II – II отсечём часть цилиндра, расположенную над зеркалом жидкости (рис. 3). Составим уравнение равновесия для верхней отсеченной части оболочки в проекции на вертикальную ось: . Отсюда меридиональное напряжение: Па. Для цилиндра ; , поэтому из уравнения Лапласа получаем кольцевое напряжение: Па. Участок цилиндра под зеркалом жидкости Рис. 4. Сечение III – III Для сечения III – III расчётная схема (рис. 4) будет отличаться от показанной на рис. 3 тем, что здесь необходимо дополнительно учесть давление на стенку цилиндрической части бака со стороны жидкости. Уравнение равновесия в проекции на вертикальную ось бака остаётся без изменений: . Поэтому меридиональное напряжение не меняется: Па. Окружное напряжение определяем из уравнения Лапласа , где Па. Отсюда Па. Участок нижнего полусферического днища Рис. 5. Сечение IV – IV Для нижнего днища нормальным коническим сечением IV – IV с углом при вершине отсечём нижнюю часть сферической оболочки (рис. 5). Составим для неё уравнение равновесия внешних и внутренних сил в проекции на вертикальную ось оболочки: , где r – радиус кольцевого сечения оболочки, ; S – площадь поперечного сечения, ; - давление в расчётном сечении оболочки, ; G – вес жидкости в объёме шарового сегмента, ; Vc – объём шарового сегмента, . Подставляя значения r , S , , G в уравнение равновесия определяем меридиональное напряжение : Уравнение Лапласа для сферической оболочки имеет вид: . Подставляя в уравнение Лапласа , находим кольцевое напряжение в сечении IV – IV : . Построим таблицу 2 значений и в зависимости от угла в диапазоне от 0˚ до 90˚ с шагом в 15˚: Таблица 2 , град , МПа , МПа 0 15 30 45 60 75 90 По полученным напряжениям в характерных сечениях бака строим эпюры напряжений и (рис. 6). Определение толщины стенок бака Для определения толщины днищ и обечайки бака используем следующее условие: σ max ≤ [σ ], где [σ ] = Па Толщина стенки . Получаем: для верхнего днища м; для обечайки бака м; для нижнего днища м. Из расчётов видно, что δ max = δ 2 = 0,518 мм – окончательная толщина стенки бака. По расчётной толщине стенки подбираем толщину листа согласно ГОСТ 22178 – 76: . Рис.6. Эпюры безмоментных напряжений и Список литературы