Логические основы схемотехники 2. ЛИТЕРАТУРА 2.1 Основная литература 1. Опадчий Ю.Ф. и др. Аналоговая и цифровая электроника. – М.: Радио и связь, 2002. – 768 с. 2. Степаненко И.П. Основы микроэлектроники: Учеб. пособие для вузов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 488 с. 3. Ермаков А. Е. Схемотехника ЭВМ. Учебное пособие. -М.: РГОТУПС, 1997. – 352 с. 4. Семененко В.А., Скуратович Э.К. Арифметико-логические основы компьютерной схемотехники. Учебное пособие для высшей школы (Серия "Gaudeamus"). – М.: Академ. проект, 2004. – 144 с. 5. Угрюмов Е.П. Цифровая схемотехника. BHV-Санкт-Петербург, 2004. – 528 с. 6. Новиков Ю.В. Основы цифровой схемотехники: Базовые элементы и схемы. Методы проектирования. М., Мир. – 2001. – 379 с. 7. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования MICRO-CAP. – М.: Издательство «СОЛОН», 1997. – 373 с. 2.2 Дополнительная литература 1. Прянишников В.А. Электроника: Курс лекций. – СПб.: КОРОНА принт, 1998. – 400 с. 2. Гусев В.Г., Гусев М.Ю. Электроника. – М.: Высш.шк. 1991. – 495 с. 3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справочное руководство – М.: Мир. 1982. – 512 с. 4. Гершунский Б.С. Основы электроники и микроэлектроники: Учебник для вузов – Киев: Высща школа, 1989. – 424 с. 5. Хоровиц П., Хилл У. Искусство схемотехники. В трех томах. - М. Мир, 1993. Тема. Логические основы схемотехники Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывают, вычисляют, упрощают и преобразовывают логические высказывания. Создателем алгебры логики является живший в ХIХ веке английский математик Джордж Буль, в честь которого эта алгебра названа булевой алгеброй высказываний . Логическое высказывание — это любoе повествовательное пpедлoжение, в oтнoшении кoтopoгo мoжно oднoзначнo сказать, истиннo oнo или лoжнo. Так, например, предложение “6 — четное число ” следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение “Рим — столица Франции ” тоже высказывание, так как оно ложное. Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием . Высказываниями не являются, например, предложения “ученик десятого класса ” и “информатика — интересный предмет ”. Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределённое понятие “интересный предмет ”. Вопросительные и восклицательные предложения также не являются высказываниями, поскольку говорить об их истинности или ложности не имеет смысла. Предложения типа “в городе A более миллиона жителей ”, “у него голубые глаза ” не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения: о каком конкретно городе или человеке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами . Высказывательная форма — это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями. Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения — является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания . Так, например, высказывание “площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км ” в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике. Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не”, “и”, “или”, “если... , то”, “тогда и только тогда” и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками . Bысказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными . Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными . Так, например, из элементарных высказываний “Петров — врач ”, “Петров — шахматист ” при помощи связки “и ” можно получить составное высказывание “Петров — врач и шахматист ”, понимаемое как “Петров — врач, хорошо играющий в шахматы ”. При помощи связки “или ” из этих же высказываний можно получить составное высказывание “Петров — врач или шахматист ”, понимаемое в алгебре логики как “Петров или врач, или шахматист, или и врач и шахматист одновременно ”. Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний. Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание “Тимур поедет летом на море ”, а через В — высказывание “Тимур летом отправится в горы ”. Тогда составное высказывание “Тимур летом побывает и на море, и в горах ” можно кратко записать как А и В . Здесь “и ” — логическая связка, А , В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — “истина ” или “ложь ”, обозначаемые, соответственно, “1” и “0” Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение: (1) Операция, выражаемая словом “не ”, называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. “Луна — спутник Земли ” (А); “Луна — не спутник Земли ” ( ). (2) Операция, выражаемая связкой “и ”, называется конъюнкцией (лат. conjunctio — соединение) или логическим умножением и обозначается точкой "•" (может также обозначаться знаком &). Высказывание А•В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание “10 делится на 2 и 5 больше 3” истинно, а высказывания “10 делится на 2 и 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 больше 3”, “10 не делится на 2 и 5 не больше 3” ложны. (3) Операция, выражаемая связкой “или ” (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны . Например, высказывание “10 не делится на 2 или 5 не больше 3” ложно, а высказывания “10 делится на 2 или 5 больше 3”, “10 делится на 2 или 5 не больше 3”, “10 не делится на 2 или 5 больше 3” истинны. (4) Операция, выражаемая связками “если ..., то ”, “из ... следует ”, “... влечет ... ”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ^. Высказывание А ^ В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат ” (А ) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность ” (В ). Рассмотрим составное высказывание А ^ В , понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ”. Есть три варианта, когда высказывание А ^ В истинно: 1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность; 2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника); 3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность. Ложен только один вариант: А истинно и В ложно , то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность. В обычной речи связка “если ..., то ” описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться “бессмысленностью” импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими: “если президент США — демократ, то в Африке водятся жирафы”, “если арбуз — ягода, то в бензоколонке есть бензин”. (5) Операция, выражаемая связками “тогда и только тогда ”, "необходимо и достаточно ”, “... равносильно ...”, называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ~ . Высказывание А ~ В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают. Например, высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3”, “23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3” истинны, а высказывания “24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5”, “21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3” ложны. Высказывания А и В, образующие составное высказывание А ~ В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: “три больше двух ” (А ), “пингвины живут в Антарктиде ” (В ). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания “три не больше двух ” ( ), “пингвины не живут в Антарктиде ” ( ). Образованные из высказываний А , В составные высказывания A~B и ~ истинны, а высказывания A~ и ~B — ложны. Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Импликацию можно выразить через дизъюнкцию и отрицание : А -> В = v В. Эквиваленцию можно выразить через отрицание , дизъюнкцию и конъюнкцию : А <-> В = ( v В) • ( v А). Таким образом, операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания. Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания (“не”), затем конъюнкция (“и”), после конъюнкции — дизъюнкция (“или”) и в последнюю очередь — импликация. Логические формулы С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой. Определение логической формулы: 1. Всякая логическая переменная и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) — формулы. 2. Если А и В — формулы, то , (А • В), (А v В), (А ^ B), (А ~ В) — формулы. 3. Никаких других формул в алгебре логики нет. В п. 1 определены элементарные формулы ; в п. 2 даны правила образования из любых данных формул новых формул. В качестве примера рассмотрим высказывание “если я куплю яблоки или абрикосы, то приготовлю фруктовый пирог ”. Это высказывание формализуется в виде (A v B) ^ C ; такая же формула соответствует высказыванию “если Игорь знает английский или японский язык, то он получит место переводчика”. Как показывает анализ формулы (A v B) ^ C , при определённых сочетаниях значений переменных A , B и C она принимает значение “истина”, а при некоторых других сочетаниях — значение “ложь” (разберите самостоятельно эти случаи). Такие формулы называются выполнимыми . Некоторые формулы принимают значение “истина” при любых значениях истинности входящих в них переменных . Таковой будет, например, формула Аv , соответствующая высказыванию “Этот треугольник прямоугольный или косоугольный ”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями . Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями. В качестве другого примера рассмотрим формулу А • , которой соответствует, например, высказывание “Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати ”. Очевидно, что эта формула ложна, так как либо А , либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями . Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями. Если две формулы А и В “одновременно”, то есть при одинаковых наборах значений входящих в них переменных, принимают одинаковые значения, то они называются равносильными . Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “=”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием