Задачи по Теоретической менханике Вариант №10 Задание №1 Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки Дано: Решение: Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 1). К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции. Активные (заданные) силы: , , , пара сил с моментом М , где - сосредоточенная сила, заменяющая действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью . Величина . Линия действия силы проходит через середину отрезка СD. Силы реакции (неизвестные силы): , , - реакции жесткой заделки. Для полученной плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия: , , . Задача является статически определимой, так как число неизвестных сил ( , , ) - три - равно числу уравнений равновесия. Поместим систему координат XY в точку А, ось AX направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В. (1) (2) (3) Решая систему уравнений, найдем , : Из (1): Из (2): Из (3): Модуль реакции опоры А Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов всех сил относительно точки В: Ответ: . Вариант №10 Задание №2 Определение реакции опор и давления в промежуточном шарнире составной конструкции. Дано: Решение: Решение: Рис. 1 Рассмотрим равновесие всей конструкции (рис. 1). К ней приложены: активные силы пара сил с моментом М, где силы реакции: , , - заменяют действие шарнирно-неподвижной опоры А; , - реакции шарнира С; - заменяет действие шарнирно-неподвижной опоры В Расчетная схема Рис. 2 Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня АС и раму в целом. Проведем координатные оси и изобразим действующие на стержень силы: сосредоточенный момент М и реакции шарнира С и , реакции опоры А ( и ), равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка длиной а (численно ), силы и , реакции шарнира С ( и ), направленные противоположно реакциям и , составляющие , реакции опоры В. Для полученной плоской системы сил составляем шесть уравнений равновесия: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Из уравнения (2) находим : Из уравнения (3) находим YА : Из уравнения (1) находим ХС : Из уравнения (4) находим YС : Из уравнения (5) находим XВ : Из уравнения (6) находим YВ : Проверка: Ответ: ХА = - 0,686 кН, YA = 1,086 кН, ХС = - 0,686 кН, YС = 1,086 кН, ХB = 0,986 кН, YB = 1,986 кН. Знаки указывают на то, что силы направлены так, как показано на рисунке, кроме силы и . Вариант №10 Задание №3 Кинематика точки. Дано: Решение: Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время . Определим местоположения точки при t = 1/2 с. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси: ; и при (2) Аналогично найдем ускорение точки: и при (3) Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство . Получим (4) Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (4), определены и даются равенствами (2) и (3). Получаем . Нормальное ускорение точки . Радиус кривизны траектории . Вариант №10 Задание №4 Дано: Решение: 1). Определение скоростей точек и угловой скорости АВ. Вектор скорости направлен вдоль направляющих ползуна В. Модуль найдем, применив теорему о проекциях скоростей на прямую АВ. Для определения скорости строим мгновенный центр скоростей (МЦС Р) который находится на пересечении перпендикуляров восстановленных к векторам в точках А и В. Направление определяем направлением вектора . Вектор скорости направлен перпендикулярно РС в сторону , и численно , где . Угловая скорость звена АВ: 2) Определение ускорений точек звена и углового ускорения звена. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры , где - вектор направлен от В к А. Вектор ускорения направлен вдоль направляющих ползуна В. Вектор перпендикулярен прямой АВ. Спроектируем векторное уравнение на ось х : , откуда Спроектируем векторное уравнение на ось у : , откуда Угловое ускорение Определяем ускорение точки С: . Здесь ; Модуль ускорения точки С находим способом проекций: . Вычисляем ; . Итак,