Решения к Сборнику заданий по высшей математике Кузнецова Л.А. - 2. Дифференцирование. Зад.2 Задача 2 . Составить уравнение нормали (в вариантах 2.1 – 2.12) или уравнение касательной (в вариантах 2.13 – 2.31) к данной кривой в точке с абсциссой . 2.1. Уравнение нормали: . y0 = (4*2-22 )/4=1 y'= 1-2x/4 y0 '= 1-4/4=0 Уравнение нормали имеет вид: х=х0 х=2 2.2. Уравнение нормали: . y0 = 2*4-2*3-1=1 y'= 4х+3 y0 '= -4*2+3=-5 Уравнение нормали имеет вид: у-1=1/5(х+2) у=1/5х+7/5 2.3. Уравнение нормали: . y0 = -1-(-1)3 =0 y'=1-3х2 y0 '= 1-3*(-1)2 =-2 Уравнение нормали имеет вид: у=1/2(х+1) у=1/2х+1/2 2.4. Уравнение нормали: . y0 = 42 +8√4-32=0 y'= 2х+4/√х y0 '= 2*4+4/√4=10 Уравнение нормали имеет вид: у=-1/10(х-4) у=-1/10+2/5 2.5. Уравнение нормали: . y0 = 1+√13 =2 y'= 1+3х2 /2√х3 y0 '= 1+3/2=5/2 Уравнение нормали имеет вид: у-2=-2/5(х-1) у=-2/5х+12/5 2.6. Уравнение нормали: . y0 = 3 √64-20=4-20=-16 y'= 2/(33 √х) y0 '= 2/33 √(-8)=-1/3 Уравнение нормали имеет вид: у+16=3(х+8) у=3х+8 2.7. Уравнение нормали: . y0 = (1+√4)/(1-√4)=-3 y'= ((1/(2√х))*(1-√х)+(1+√х)*1/(2√х))/(1-√х)2 =1/(√(х)*(1-√х)2 ) y0 '= 1/(√4*(1-√4))=-1/2 Уравнение нормали имеет вид: у+3=2(х-4) у=2х-11 2.8. Уравнение нормали: . y0 = 84 √16-70=-54 y'= 8/(44 √х3 )=2/4 √х3 y0 '= 2/4 √163 =1/4 Уравнение нормали имеет вид: у+54=-4(х-16) у=-4х+10 2.9. Уравнение нормали: . y0 = 2-3+1=0 y'= 4х-3 y0 '= 4-3=1 Уравнение нормали имеет вид: у=-х+1 2.10. Уравнение нормали: . y0 = (32 -3*3+6)/32 =2/3 y'= ((2х-3)х2 -(х2 -3х+6)2х)/х4 =(2х3 -3х2 -2х3 +6х2 -12х)/х4 =(3х-12)/х3 y0 '= (3*3-12)/33 =-1/9 Уравнение нормали имеет вид: у-2/3=9(х-3) у=9х-79/3 2.11. Уравнение нормали: . y0 = √64-33 √64=-4 y'= 1/(2√х)-1/(33 √х2 ) y0 '= 1/2√64-1/33 √642 =1/16-1/48=1/24 Уравнение нормали имеет вид: у+4=-24(х-64) у=-24х+1532 2.12. Уравнение нормали: . y0 = (23 +2)/(23 -2)=5/3 y'= (3х2 (х3 -2)-3х2 (х3 +2))/(х3 -2)2 =(3х2 (-4))/(х3 -2)2 =(-12х2 )/(х3 -2)2 y0 '= (-12*22 )/(23 -2)2 =-48/36=-4/3 Уравнение нормали имеет вид: у-5/3=3/4*(х-2) у=3/4*х+1/6 2.13. Уравнение касательной: . y0 = 2+3=5 y'= 4х y0 '= -4 Уравнение касательной имеет вид: у-5=-4(х+1) 2.14. Уравнение касательной: . y0 = (1+6)/(1+1)=7/2 y'= (29х28 (х4 +1)-4х3 (х29 +6))/(х4 +1)2 =(29х32 +29х28 -4х32 -24х3 )/(х4 +1)2 =(25х32 +29х28 -24х3 )/(х4 +1)2 y0 '= (25+29-24)/4=15/2 Уравнение касательной имеет вид: у-7/2=15/2*(х-1) у=7,5х-4 2.15. Уравнение касательной: . y0 = 2+1=3 y'= 2-1/х2 y0 '= 2-1=1 Уравнение касательной имеет вид: у-3=х-1 у=х+2 2.16. Уравнение касательной: . y0 = -2(1+2)/(3(1+1))=-1 y'= -2/3*(8х7 (х4 +1)-4х3 (х8 +2))/(х4 +1)2 =-2/3*(4х11 +8х7 -8х3 )/(х4 +1)2 y0 '= -2/3*(4+8-8)/(1+1)2 =-2/3 Уравнение касательной имеет вид: у+1=-2/3*(х-1) у=-2/3*х-1/3 2.17. Уравнение касательной: . y0 = (1+1)/(1+1)=1 y'= (5х4 (х4 +1)-4х3 (х5 +1))/(х4 +1)2 =(х8 +5х4 -4х3 )/(х4 +1)2 y0 '= (1+5-4)/(1+1)2 =1/2 Уравнение касательной имеет вид: у-1=1/2*(х-1) у=1/2*х+1/2 2.18. Уравнение касательной: . y0 =(1+9)/(1-5)=-5/2 y'= (16х15 (1-5х2 )+10х(х16 +9))/(1-5х2 )2 =(16х15 -70х17 +90х)/(1-5х2 )2 y0 '= (16-70+90)/(1-5)2 =9/4 Уравнение касательной имеет вид: у+5/2=9/4*(х-1) у=9/4*х-19/4 2.19. Уравнение касательной: . y0 =3(1-2)=-3 y'= 1/(3 √х2 )-3/√х y0 '= 1-3=-2 Уравнение касательной имеет вид: у+3=-2(х-1) у=-2х-1 2.20. Уравнение касательной: . y0 = 1/(3*2+2)=1/8 y'= -3/(3х+2)2 y0 '= -3/(3*2+2)2 = -3/64 Уравнение касательной имеет вид: у-1/8= -3/64*(х-2) у= -3/64*х+7/32 2.21. Уравнение касательной: . y0 = -2/(4+1)= -2/5 y'= (х2 +1-2х2 )/(х2 +1)2 = (1-х2 )/(х2 +1)2 y0 '= (1-4)/(4+1)2 = -3/25 Уравнение касательной имеет вид: у+2/5= -3/25*(х+2) у= -3/25*х-16/25 2.22. Уравнение касательной: . y0 = 1/3*(9-9+3)=1 y'= 2/3*х-1 y0 '= 2-1=1 Уравнение касательной имеет вид: у-1= х-3 у= х-2 2.23. Уравнение касательной: . y0 = 2/(1+1)=1 y'= (2х2 +2-4х2 )/(х2 +1)2 =(2-2х2 )/(х2 +1)2 y0 '= (2-2)/(1+1)2 = 0 Уравнение касательной имеет вид: у= -1 2.24. Уравнение касательной: . y0 = -2(1+3)= -8 y'= -2/(33 √х2 )-3/(√х) y0 '= -2/3-3= -11/3 Уравнение касательной имеет вид: у+8= -11/3*(х-1) у= -11/3*х-13/3 2.25. Уравнение касательной: . y0 = (1+3)/(3+1)= 1 y'= (6х(3+х2 )-2х(1+3х2 ))/(3+х2 )2 = 16х/(3+х2 )2 y0 '= 16/(3+1)2 = 1 Уравнение касательной имеет вид: у-1= х-1 у=х 2.26. Уравнение касательной: . y0 = 14-15+2=1 y'= 7/√х-5/3 √х2 y0 '= 7-5= 2 Уравнение касательной имеет вид: у-1= 2(х-1) у= 2х-1 2.27. Уравнение касательной: . y0 = 3-1= 2 y'= 3/(44 √х3 )-1/(2√х) y0 '= 3/4-1/2= 1/4 Уравнение касательной имеет вид: у-2= 1/4*(х-1) у= 1/4*х+7/4 2.28. Уравнение касательной: . y0 = (3-2)/3= 1/3 y'= 1-2х2 y0 '= 1-2= -1 Уравнение касательной имеет вид: у-1/3= -х+1 у= -х+4/3 2.29. Уравнение касательной: . y0 = 4/10+3= 17/5 y'= 1/5*х y0 '= 2/5 Уравнение касательной имеет вид: у-17/5= 2/5*(х-2) у=2/5*х+13/5 2.30. Уравнение касательной: . y0 = (16-8-3)/4= 5/4 y'= ½*х-1/2 y0 '= 4/2-1/2= 3/2 Уравнение касательной имеет вид: у-5/4= 3/2*(х-4) у= 3/2*х-19/4 2.31. Уравнение касательной: . y0 = 6-16/3= 2/3 y'= 2/3 √х2 -4/(34 √х3 ) y0 '= 2-4/3= 2/3 Уравнение касательной имеет вид: у-2/3= 2/3*(х-1)