Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 52
Розрахунково-пояснювальна записка До курсової роботи з основ теорії систем та системного аналізу: Дослідження властивостей технологічного агрегата як многомірної системи
Одеса - 2010 На прикладі розглянемо конкретну технічну систему - змішувальний бак: Рисунок 1. Модель бака. F1
,F2
,F - витрати рідини на притоці і витоці системи, м3
/с; C1
,C2
,C - концентрація на витоці і притоці системи, кмоль/м3
; h - рівень рідини в бакові, м; S - площа бака, м2
; V - об'єм рідини в бакові, м3
; Запишемо рівняння системи в стаціонарному (встановленому) стані, коли притік дорівнює витоку (рівняння матеріального балансу): F10
+F20
-F0
=0; C1
де індекс 0 означає встановлений стан. Записавши умови балансу кінетичної і потенціальної енергії на виході із бака де p - густина рідини, кг/м3
; w - швидкість витоку, м/с; q - прискорення вільного падіння,q=9.81 м/с2
; і припускаючи, що d - діаметр вихідного трубопроводу, м. Одержимо: k - коефіцієнт. При зміні витрат у системі відбувається накопичення речовини і перехід до нового встановленого стану. Цей перехідний процес описується диференціальними рівняннями де dv/dt - приріст об'єму рідини, Наведемо цю систему у стандартному вигляді: Позначимо: Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1
=0,03; u2
=0. Позначивши Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються З урахуванням того, що чи підставляючи Виразимо Підставляємо Таблиця 1. Рівняння квадратичної моделі має вигляд: Матриці з підстановкою номінального режиму: Лінеаризуємо залежність З урахуванням раніше викладеного запишемо: Припустивши у випадку остатку В результаті маємо Представивши цю систему в матричній формі: Тоді матриці А і В запишуться в вигляді Для визначення матриці С необхідно встановити зв'язок між векторами x и y. Оскільки Тоді Система буде мати вигляд Коефіцієнти моделі системи: система в дискретному часі має вид: dt=14,89 c. Таким чином Задавшись Результати подальших ітерацій представлено в таблиці: Таблиця 3. u1=0 u2=0,01 y1 y2 0 0 0,003298 0,00452 0,005299 0,00469 0,00773 0,006183 0,006512 0,006795 0,00725 0,00702 0,00769 0,00713 Таким чином Рисунок 2. Структурна схема системи в початковій формі. Рисунок 3. Структурна схема системи в формі Ассео. Рисунок 4. Структурна схема системи у зовнішньозв'язанному поданні. a) в непереривному часі Рисунок 5. Структурна схема системи в неперервному часі з датчиками і ВМ. б) в дискретному часі Рисунок 6. Структурна схема системи в дискретному часі з датчиками і ВМ. Система в формі Ассео: Спектральна норма матриці Спектральна норма матриці F: Тоді: Похибка складає: Можна допустити, що децентралізація є допустимою. А) Матриця являється гурвіцевою. Б) max s1 (A) =||A||2=0.067<1 Відповідно, матриця А є нільпотентною. Перевірити, чи є система (А, В, С) сталою, керованою, спостережною, ідентифікованою з вектором-стовпцем х = (1; 1.25), параметрично інваріантною, мінімально фазовою, розчеплюваною, мінімально. А) сталість: Відповідно система являється сталою. Відповідно система являється сталою. Б) керованість: По першому входу: Система керована по першому входу. По другому входу: Система керована по другому входу. В) спостережність: Система спостережна. Г) ідентифікованість: Система є ідентифікована. Д) параметрична інваріантність: Система не інваріантна відносно відхилення dA. Система не інваріантна відносно відхилення dB. Система не інваріантна відносно відхилення dС. Е) мінімальнофазовість і астатичність: Ж) розчеплюваність: Система є розчеплюваною. Побудова графіку розв'язання у (t) для системыи {А, В, С}, якщо Таблиця 4. u1=0,01 u2=0 y1 y2 0 0 0,00435 0,00445 0,00681 0,00609 0,00820 0,0067 0,00898 0,00692 0,00942 0,00700 0,00967 0,00703 u1=0 u2=0,01 y1 y2 0 0 0,00435 0,037 0,00681 0,051 0,00820 0,056 0,00898 0,058 0,00942 0,059 0,00967 0,059 Рисунок 7. Розгінна крива витрати рідини для неперервної системи при збуренні 0 і 0,01. Рисунок 8. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0. Рисунок 9. Розгінна крива концентрації для неперервної системи при збуренні 0,01. Система в дискретному часі має вид: dt=14,89 c. Таким чином Задавшись Результати подальших ітерацій представлено в таблиці: Таблиця 5. u1=0 u2=0,01 y1 y2 0 0 0,003298 0,00452 0,005299 0,00469 0,00773 0,006183 0,006512 0,006795 0,00725 0,00702 0,00769 0,00713 Рисунок 10. Характеристика витрати рідини в дискретному часі. Рисунок 11. Характеристика концентрації в дискретному часі. Розглянемо поповнення бака від 0 до номінального значення витрати з урахуванням приросту поданого лінеаризованій моделі. Таким чином, розглянемо стрибок u1
=0,03; u2
=0. Позначивши Перше рівняння є нелінійним зі змінними що розділяються З урахуванням того, що Виразимо Підставляємо Таблиця 6. По отриманим даним побудуємо графік: Рисунок 12. Лінійна та нелінійна характеристика витрати води. Так як немає аналітичної залежності Отримані дані занесемо в таблицю: Рисунок 13. Лінійна та нелінійна характеристика концентрації. Вичислимо постійне значення системи при умовах І порівняємо його з результатом розрахунку. Для дискретної форми системи (F, G, C) провести реалізацію системи. Запишемо систему у вигляді: Подавши імпульс по першому входу, розрахуємо: Із власних векторів від ( При Знайдемо передаточну функцію системи: Для дискретної форми системи (F, G, C) провести пасивну ідентифікацію системи: Таблиця 7. Використовуючи матриці системи в дискретній формі для заданих значень вектора входу, розрахуємо значення вектора виходу Результати розрахунку занесемо до таблиці: Таблиця 8. Тогда Следовательно, Регулятор стану який оптимізує систему по критерію: Визначається по співвідношенню: P=LR1 (A,B,Q,R); Притом Q=R=I Так як матриця С є інвертованою, для створення регулятора виходу немає Необхідно конструювати спостерігач стану -недосяжний стан вичислюється по формулі Позначивши через z задане значення виходу у і припускаючи, що Прийнявши до уваги, що А=В Якщо при компенсації збурень і завдань зчитувати "вартість" управління, записавши критерій в виді то компенсатори визначаються залежностями Значення виходу при дії збурення f в системі без компенсаторів при z=0 З оптимальною компенсацією Следовательно, Перевіримо чи регулятор дійсно розчіплює систему, тобто матриця передаточних функцій являється діагональною Знайдемо 1. 2. Аперіодичний регулятор для дискретної системи може бути отриманий із умови Використовуючи форму Ассео, запишем: Відповідно, отримаємо Розв'яжим рівняння Ляпунова. Якщо матриця G моделяє відмови каналів вимірювання, то регулятор знаходиться в виді нехай s=0.041 Відповідно, система являеться постійною при любих відхиленнях. Використаємо регулятор стану і перевіримо чи можна створити послідовність регуляторів стану. Рисунок 14. Схема блочно-ієрархічного регулятора. Сконструювати нелінійний регулятор, використовуючи початкову не спрощену модель бака. Розрахункове співвідношення для регулятора - При s=4, W=1 запишемо Підставивши Використовуючи лінеаризовану модель в дискретному часі, запишемо програму переходу системи із стану При Отримаємо Стале значення виходу при дії збурення f у системі без компенсаторів при z=0 З оптимальною компенсацією Рисунок 15. Графіки перехідних процесів та кривих розгону по першому та другому виходах з оптимальним П-регулятором з компенсатором і без. Величина критерію оптимальності обчислюється за залежністю розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо розв'язавши рівняння Ляпунова отримаємо При 10% та 5% Розв'яжемо При 10% та 5% Знайти за яким критерієм є оптимальний регулятор з компенсаторів взаємозв'язків. де W - довільна матриця яка задовольняє умові S>0 розв'язавши отримаємо Таким чином, в ході виконання курсової роботи на прикладі моделі змішувального бака була розгляне на технологічна послідовність конструювання систем: побудова та перетворення моделей системи, аналіз властивостей початкової системи, конструювання регуляторів, аналіз властивостей і порівняння сконструйованих систем. Також при виконанні були отримані ряд кривих розгону та перехідних процесів для моделі бака, були побудовані структурні схеми моделі в початковій формі, Ассео, зовнішньо зв’язаній формі. Отримали навики конструювання систем з використанням регулятора з компенсатором взаємозв”язків, аперіодичного, децентралізованого, надійного, блочно-ієерархічного регуляторів, програмного регулятора, регулятора для нелінійної моделі, регулятора для білінійної моделі. 1. Методические указания к практическим занятиям по курсу "Основы системного анализа и теория систем", А.А. Стопакевич 2. "Сложные системы: анализ, синтез, управление", А.А. Стопакевич Розв'язання рівняння Рікарті Розв'язання рівняння Рікарті Сформуємо матрицю Для обчислення власних значень розкриємо визначник Розв'язання рівняння Ляпунова Обчислення матричної експоненти Фробеніусові матриці Вандермордова матриця
|