Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 52
Введение
Тема а «Статистические методы оценки прочности пластмасс». Случайные погрешности учитываются с помощью закономерностей теории вероятности. Экспериментальные данные принимают как случайные величины, т.е. такие величины, которые могут принимать те или иные значения в зависимости от причин, не учитываемых заранее. Для оценки ряда результатов испытаний одного и того же материала используется статистическая обработка данных. Полученные статистические характеристики позволяют сделать правильное суждение о полученных данных. 1) Среднее арифметическое значение случайной величины: где n – количество наблюдений в выборке. 2) Эмпирическое среднеквадратическое отклонение: Sn
= √ Σ(xi
– x)2
/ (n-1) Берется только положительное значение. 3) Дисперсия: Если n > 50, то (n-1) можно заменить на n. 4) Доверительный интервал: где х – среднее значение величины для бесконечно большого числа измерений (генеральной совокупности); tα
(
n
)
– коэффициент Стьюдента, значения которого выбираются из таблиц в зависимости от числа наблюдений n и доверительной вероятности α. 5) 2. Оценка прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену
Основными условиями обеспечения прочности любого материала являются: По напряжениям n = σраз
/σmax
экв
≥ [n] По нагрузкам n = R/Q ≥ [n], где n – запас прочности; σраз
– разрушающее напряжение; σmax
экв
– максимальное эквивалентное действующее напряжение; R – разрушающая нагрузка; Q – действующая нагрузка; [n] – допускаемый запас прочности. В основе оценки лежат: 1) статистическая природа прочности пластмассы; 2) возможность вероятностного распределения действующих нагрузок и напряжений. Это позволяет построить графики плотностей вероятности распределения Р(х) по действующему напряжению σ и пределу прочности σв
. При этом запас статистической прочности будет равен: n = σв
/ σmax
. Считаем, что σв
и σmax
известны. В точке А кривые распределения нагружающих и разрушающих напряжений пересекаются и, если одновременно σ > σА
и σв
< σА
, возможно разрушение. Вероятность разрушения по Серенсену в предположении независимости событий: Рраз
= Р (σ > σА
)·Р(σв
< σА
) = S, где S – площадь заштрихованного участка. Р (σ > σА
) = ½ + Ф[(σА
– σ) / Sд
], где Ф – табулированная функция Лапласа; Sд
– среднее квадратическое отклонение действующего напряжения. Табулированная функция Лапласа равна: 2
где ξ = (σА
-σср
) / Sд
; dξ = dσА
/ Sд
Р(σв
< σА
) = ½ – Ф[(σА
– σв ср
) / Sв
], где Sв
– среднее квадратическое отклонение разрушающего напряжения. В предположении того, что закон распределения случайных величин нормальный, можно записать: Рраз
= {½ + Ф[(σА
– σ)/Sд
]}· {½ – Ф[(σА
– σв ср
)/Sв
]} Плотность распределения при нормальном законе распределения равна: Р(х) = 1/(S·√2π)· e – (
x
-
x
ср) /2
S
2 2 2 2
1/Sд
·e-(
σ
А-
σ
ср) / 2
S
д
= 1/Sв
·e-(
σ
А-
σ
вср) / 2
S
в
или Zд
2
– Zв
2
= -2 ln(Sд
/Sв
), где Zд
= (σА
-σср
)/ Sд
; Zв
= (σА
-σвср
)/ Sв
. Величины Zд
и Zв
называются нормированными отклонениями. Последнее уравнение решается относительно σА
. Затем определяется Рраз
, представляющее условную величину. Эта величина должна сопоставляться с известными предельными значениями, которые устанавливаются экспериментально на основе опыта эксплуатации подобных конструкций. Через Рраз
можно найти коэффициент надежности Н: Н = lg (1/Pраз
) Рраз
= 1 – Рнер
; Рнер
= 1 – Рраз
При вероятности неразрушения Рнер,
равной 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999, соответственно Н равно 1; 2; 3; 4. 3. Статистическая оценка прочности пластмасс по нагрузкам
Тимофеев Е.И. показал, что из-за недостаточной однородности и стабильности механических свойств пластмасс расчет по средним значениям нагрузок следует вести с учетом вероятности снижения прочности вследствие релаксации и неоднородности. Изделие считается прочным, если действующая нагрузка Q меньше разрушающей R: Вероятность такого события определяет надежность изделия: α = Вер [(R – Q) > 0] Обозначим разность нагрузок через Х: Х= R – Q Тогда, с учетом того, что Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью Р(Х), среднее значение Х равно: Х0
= R0
– Q0
Стандартное отклонение: Sx
= √ SR
2
+ SQ
2
Надежность: 2 2 α = Вер (Х > 0) = P(X)·dX = 1/(S·√2π)·∫e-1/2·((
x
-
x
ср) /
S
x)
·dx С учетом нормированной функции Лапласа: α = Ф(У), где У = X0
/ Sx
(У берется из таблиц в зависимости от заданной вероятности). После подстановки уравнений и деления числителя и знаменателя на Q0
получим: У = (R0
/Q0
– 1) / √SR
2
/ Q0
2
+ SQ
2
/ Q0
2
Введем обозначения: n0
= R0
/ Q0
– средний наиболее вероятный запас прочности; νR
= SR
/ R0
; νQ
= SQ
/ Q0
– коэффициенты вариации разрушающей и действующей нагрузок. У = (n0
–1)/√ n0
2
·νR
2
+ νQ
2
Для трубы при r >> h, где r – радиус, а h– толщина стенки, принимают: νR
=
√ νв
2
+ νh
2
Пользуясь специальными таблицами для Ф(У), после вычисления функции У можно определить запас прочности по средним значениям нагрузок или надежность по выбранному среднему коэффициенту запаса прочности. Определение функции У позволяет также исследовать влияние на надежность величины статистического разброса разрушающих и действующих нагрузок. Статистические методы позволяют дать оценку влияния на надежность пластмассовых изделий температур, агрессивных сред, усталости, климатических факторов и т.д. Например, по экспериментальным данным нагрев до 60 0
С приводит к снижению предела прочности при растяжении для стеклотекстолита КАСТ-В на 10%, пресс-материала АГ-4С – на 35 – 40%, пресс-материала АГ-4В – на 20%. Если труба изготовлена из АГ-4С, и σв
= 9,75 МПа; σд
= 5,1 МПа; νR
= 0,095; νд
= 0,3, то: n0
= 9,75 / 5,1 = 1,91 По таблице для У = 2,5 находим α = 0,9938 или 99,38%. При нагреве до 60 0
С: n0
= 0,6·9,75 / 5,1 = 1,147 По таблице для У = 0,445 находим α = 0,672 или 67,2%. Количественная оценка надежности показывает, что такое изделие эксплуатировать нельзя. Повышения надежности можно достичь за счет улучшения прочности материала или усовершенствования технологии изготовления изделий, приводящих к понижению коэффициента вариации νв
. n0
= (1 + У·√νR
2
+ νQ
2
– У2
·νR
2
·νQ
2
) / (1 – У2
·νR
2
) 4. Оценка эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности
Примем за условный вес конструкции изделия вес, приходящийся на единицу длины l и единицу действующей нагрузки Q. q´усл
= q / (l·Q), а за единицу прочности примем величину: kв
= l·R / q, где R – разрушающая нагрузка. Из этих уравнений выводим: q´усл
= n / kв
Условный наиболее вероятный коэффициент запаса прочности с учетом вариации поперечного сечения изделия равен: Тогда можно записать, что средняя наиболее вероятная прочность материала равна: k0
σ
= σв0
/ γ, где γ – удельный вес материала. Пусть q0усл
´= n0
/ k0
σ
. После подстановок получим: Знаменатель этой формулы называют критерием эффективной удельной прочности материалов: k´0
σ
= k0
σ
· [(1-У2
·(νв
2
+νF
2
)] / [1+У·√νв
2
+νF
2
+νQ
2
–У2
·νQ
2
·(νв
2
+νF
2
)] Из уравнения видно, что k´0
σ
учитывает неоднородность материала (νв
), вариацию действующих напряжений (νQ
), рассеивание размеров (νF
) и заданную надежность α = Ф(У). Упростив уравнение и приняв, что νQ
= νF
= 0, получим: k´0
σ
= k0
σ
·(1 – У· νв
) Оценка конструкционных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности показывает, что пластмассы резко отличаются по степени однородности. Из реактопластов наиболее неоднородны АГ-4С, АГ-4В, из термопластов – полиамиды 6 и 66. Если же перерабатывать пластмассы при оптимальных строго регулируемых режимах, то k´0
σ
имеет примерно равные значения при любых степенях надежности (У = 2, 3, 4). Это свидетельствует о том, что качество изделий при этих условиях, их прочностные свойства и однородность изделий значительно улучшаются. Заключение
В процессе написания а мы ознакомились со статистическими методами оценки прочности пластмасс; оценкой прочности пластмасс с помощью вероятности разрушения по Серенсену; статистической оценкой прочности пластмасс по нагрузкам и оценкой эксплуатационных свойств пластмасс по критерию эффективной удельной прочности. Литература
1.Альшиц И.Я. и др. Проектирование изделий их пластмасс. – М.: Машиностроение, 1979. – 248 с. 2.Зенкин А.с. и др. Допуски и посадки в машиностроении. К.: Техніка, 1990. –320 с. 3.Штейнберг Б.И. и др. Справочник молодого инженера-конструктора. – К.: Техніка, 1979. – 150 с.
|