Сопротивление материалов при нагрузке Вариант 37 Задача 1 Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4 м2 . Модуль упругости материала стержней Е = 2×105 МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10–6 1/град.Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м. Требуется: 1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа. 2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр . 3. Сравнить полученные результаты. 4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2 = 2∙10-3 м 5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1 = -40°С. 6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня. 1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s]. Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1 и N2 . Составим уравнение моментов относительно точки О: При неизвестных реактивных усилиях N1 , N2 , Rox , Roy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется: ССН = m – n, где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций. Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1 О и СС1 О имеем: . Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем. АА1 =Dl2 , , KА1 =Dl1 . То есть: По закону Гука имеем: ; . Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора: м Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций: . Тогда, . Окончательно имеем: N2 = 1,3×N2 Из этого выражения видно, что N1 <N2 . Соответственно, напряжения в первом стержне sI меньше, чем напряжения во втором sII . Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: sII = [s] и кН. Значение N1 = 24,62 кН. Оба стержня сжаты. Найдем напряжения в обоих стержнях: sII = [s] = -160 МПа; sI = -123,1 МПа. растянуты. Подставим значения сил N1 и N2 в первое уравнение и определим значение [Q]: кН. 2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр . Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести sт : sI = sII = sт Составляем уравнение предельного равновесия: ; . Предельные усилия в каждом из стержней: . Решаем относительно предельной нагрузки для системы: . Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пр определяется как: , где n – коэффициент запаса прочности. С учетом, что получим [Q]пр = 23,51 кН. 3. Сравнить полученные результаты. Определяем погрешность между расчетами: %. По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%). 4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2 =1,5 мм. Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А1 . В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2 . Составим уравнение статики: ; Из этого уравнения следует, что: Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1 О и ВВ1 О имеем: ; ; ; KВ1 =Dl1 . По закону Гука: ; . Решая совместно уравнения получим: N1 = 29,76 кН; N2 = 41,34 кН. 2 стержень сжат; 1 – растянут. Определим напряжения: sI =148,8 МПа; sII = -206,7 МПа. 5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt1 =40°. Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В1 . В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2 . Составим уравнение статики: ; Из этого уравнения следует, что: Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1 О и ВВ1 О имеем: ; ; ; ; ; АА1 =Dl2 . По закону Гука: ; . Решая совместно получим: N1 =5,15 кН; N2 =7,15 кН. 2 стержень сжат; 1 – растянут. Определим напряжения: sI =25,75 МПа; sII = -35,76 МПа. 5. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня. Сведем данные расчетов в Таблицу Таблица 1. Фактор, вызывающий напряжения Напряжения, МПа 1 стержень 2 стержень Нагрузка [Q] = 20,96 МПа -160 -123,1 Неточность изготовления 2-го стержня 148,8 -206,7 Изменение температуры 1-го стержня 25,75 -35,76 ИТОГО 14,55 -365,56 Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится. Задача 2 Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м. Требуется: 1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s]; 2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том, какая форма наиболее рациональна. Решение 1. Определяем опорные реакции балки. Проверяем правильность определения опорных реакций: Реакции определены верно. 2. Запишем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки. Участок I . О ≤ Z 1 ≤0,8 ; кН; ; ; кНм. Строим эпюры по вычисленным значениям. Участок П. 0 < Z 2 < 0,7 ; кН; ; кН×м; кН×м. Строим эпюры по вычисленным значениям. Участок I П. 0 < Z 3 < 0,5 Q(z3 ) = -RВ + q×z3 ; Q(0) = 87 кH; Q(0.5) = 93 кН M(z3 )= RВ z3 – q×z3 ×z3 ×0.5; M(0) = 0; M(0.5)= -45 кH×м 3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине. В данной задаче Mmax = 45 кН×м. Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения балки см3 . 3.1. Двутавровое поперечное сечение. Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны Wx =289 cм3 ; А= 34,8 см2 . 3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2). см h=15 см; b=7,5 см; А=112,5 см2 . 3.3. Круглое поперечное сечение: , см см2 . 3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7). см см2 3. Сравниваем площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2: Таблица 2. Тип сечения Площадь сечения, см2 Двутавровое 38,4 Прямоугольное 112,5 Круглое 156,4 Кольцевое 95,7 Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра. Задача 3 Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат силой F = 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1 = 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,3×105 МПа, допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7 Требуется определить: - размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие [σ]; - величину критической силы Fk ; - коэффициент запаса устойчивости nу . Решение. Задача решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом уменьшения основного допускаемого напряжения j1 = 0,5. Из условия устойчивости определяем площадь сечения: Из площади сечения находим сторону сечения b: Þ = 4,3 см. Определяем минимальный радиус инерции по формуле: , где . =0,88 см Определяем гибкость стержня: По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производим проверку на устойчивость: МПа > [s] Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет. =6,1 см. = 1,24 см. По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производим проверку на устойчивость: МПа Допускаемая погрешность не более 5%. Определяем погрешность Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет. =5,54 см. = 1,13 см. По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость: МПа Определяем погрешность Погрешность не находится в допускаемых пределах. Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет. =5,71 см. = 1,16 см. По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производим проверку на устойчивость: МПа Определяем погрешность Погрешность не находится в допускаемых пределах. Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет. =5,5 см. = 1,12 см. По таблице находим соответствующее значение коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим проверку на устойчивость: МПа Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см2 . Определяем критическую силу: кН. Определяем коэффициент запаса устойчивости: Ответ: FK =695 кН; nу = 7,7.