Математические методы и модели в экономике 2 Содержание Задача 1. 3 Задача 2. 4 Задача 4. 6 Задача 5. 9 Задача 6. 11 Задача 7. 14 Задача 9. 15 Задача 11. 19 Задача 13. 22 Список используемой литературы.. 25 Задача 1 Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1 вида, 3 детали 2 вида, и 2 детали 3 вида. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов. Первая партия Вторая партия Детали Способ раскроя Детали Способ раскроя 1 2 3 1 2 1 0 6 9 1 6 5 2 4 3 4 2 5 4 3 10 16 0 3 8 0 Решение Обозначим через хij число единиц из i-й партии (1,2) фанеры, которые намечено раскроить j -м способом (1,2,3) , так что из i-й партии при j-м способе раскроя будет получено аijk хij деталей к -го вида. Всего из всей i-й партии деталей к -го вида будет получено , а из всех mпартий их будет получено: Из первой партии фанеры: Деталей первого вида: 400(0х11 +6х12 +9х13 ) Деталей второго вида: 400(4х11 +3х12 +4х13 ) Деталей третьего вида: 400(10х11 +16х12 +0х13 ) Из второй партии фанеры: Деталей первого вида: 250(6х21 +5х22 ) Деталей второго вида: 250(5х21 +4х22 ) Деталей третьего вида: 250(8х21 +0х22 ) Всего из двух партий фанеры: Деталей первого вида: 400(6х12 +9х13 )+ 250(6х21 +5х22 ) Деталей второго вида: 400(4х11 +3х12 +4х13 )+ 250(5х21 +4х22 ) Деталей третьего вида: 400(10х11 +16х12 )+ 2000х21 Число полных комплектов, которое можно выпустить по данному плану, будет равно: Введем дополнительную переменную х – отходы при используемом способе раскроя. В результате, получим задачу линейного программирования: z = x →min, при ограничениях: х11 +х12 +х13 =400 х21 +х22 +х23 =250 , где х, хij – целые числа. Задача 2 Решить графическим методом. Решить графическим методом Z= 3 х1 -4х2 → max при условиях: -х1 +х2 ≤1 -х1 +2х2 ≥-2 х1 +х2 ≥-1 -3х1 +2х2 ≤6; 2х1 – х2 ≤2 х1 ≥0; х2 ≥0 Решение Запишем ограничения в виде равенств и построим соответствующие им линии уровня в системе координат. Строим область допустимых значений решения, удовлетворяющую начальным условиям. Семи заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, образующие пятиугольник АВСDE. Неравенства х1 ≥-4; х1 +5х2 ≥4 могут быть исключены, так как они определяют граничные прямые, не имеющие с АВСDE общих точек. Строим на плоскости вектор целевой функции . Через начало координат перпендикулярно проводим линию уровня целевой функции Z=0. Линия уровня перемещается в направлении параллельно самой себе, пока не встретится с вершиной области допустимых значений АВСО т. В. Значение Z в точке В является минимальным. При дальнейшем перемещении линия уровня пройдет через другую вершину ОДР, выходя из области решений – точку С. Значение Z в точке С является максимальным. Значение целевой функции Zm ах в т. С. Найдем её координаты: 2х1 – х2 =2 х2 =0 С(0; 1) Zm ах =3*1-4*0=3 Ответ: Zm ах =3. С Z В А Задача 4 Удельные затраты Сij на перевозку 1 т груза вида i транспортом j (руб.) представлены матрицей Сij = Мощности поставщиков А1 =30 тыс.т; А2 =10 тыс.т; А3 =40 тыс.т; А4 =70 тыс.т. Спрос потребителей: В1 =30 тыс.т; В2 =10 тыс.т; В3 =20 тыс.т; В4 =10 тыс.т. Определить объемы перевозок груза транспортом j (руб.), чтобы суммарные издержки были бы минимальными, построить матрицу объемов перевозок. Решение 1. Определяем тип задачи. Так как . Задача является открытой. Введем фиктивного потребителя с объемом потребления Вф . 2. Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением Вф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза Сi ф =0. 3. Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза , т. е. min Сi ф. Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: хi ф =Аii - Опорный план В1 =30 тыс.т В2 =10 тыс.т В3 =20 тыс.т В4 =10 тыс.т Вф Ui А1 =30 тыс.т 1,2 3 0 1,6 1,7 1,5 0 0 1,5 А2 =10 тыс.т 1,4 1 10 1,2 1,5 0 1 А3 =40 тыс.т 1,6 1,4 1,2 20 1,4 0 2 0 1,2 А4 =70 тыс.т 1,5 1,2 0 1,4 1,2 1 0 0 6 0 1,2 Vj 1,2 1,2 1,2 1,2 0 4. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как 4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки. 5. Оптимизируем план, используя метод потенциалов. Сij =Ui + Vj , где Ui – потенциал строки; Vj – потенциал столбца. Пусть V4 =0. пересчитаем все остальные Ui и Vj и зафиксируем их в опорном плане. U4 =1,2; Vф =0; V4 =0-1,2=-1,2; Vф =0-1,2=-1,2; U3 =0-(-1,2)=1,2; V3 =1,2-1,2=0; U1 =1,5-0=1,5; V1 =1,2-1,5=-0,3; V2 =0; U2 =1-0=1. 6. Определяем характеристики свободных клеток: Еij = Сij -(Ui + Vj )≥0. Е12 =1,6-0-1,5=0,1; Е13 =1,7-0-1,5=0,2; Е1ф =1,2-1,5=-0,3; Е21 =1,4+0,3-1=0,7; Е23 =1,2-1=0,2; Е24 =1,5-1=0,5; Е2ф =0+1,2-1=0,2; Е31 =1,6+0,3-1,2=0,7; Е32 =1,4-0-1,2=0,2; Е34 =1,4-0-1,2=0,2; Е41 =1,5+0,3-1,2=0,5; Е43 =1,4-0-1,2=0,2. 7. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения. х1ф = min{0; 60}=60 0 - + 0 10 + 60 - 10 60 Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения. В1 =30 тыс.т В2 =10 тыс.т В3 =20 тыс.т В4 =10 тыс.т Вф Ui А1 =30 тыс.т 1,2 3 0 1,6 1,7 1,5 0 0 1,5 А2 =10 тыс.т 1,4 1 10 1,2 1,5 0 1 А3 =40 тыс.т 1,6 1,4 1,2 20 1,4 0 2 0 1,2 А4 =70 тыс.т 1,5 1,2 0 1,4 1,2 1 0 0 6 0 1,2 Vj 1,2 1,2 1,2 1,2 0 Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным. Задача решена. Определим значение целевой функции: F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.) Задача 5 Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней. Представлена грузоподъемность транспорта Р1 =10т; Р2 =5т; Р3 =10т; Р4 =15т. АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n1 =20; n2 =30; n3 =30; n4 =20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В1 = 120 тыс.р.; В2 = 50 тыс.р.; В3 = 80 тыс.р.; В4 = 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза: Т= Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта. С= Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными. Решение 1. Определяем мощность Аi =dtSni d– количество рабочих дней (d=25) в месяце; t – количество часов в смене (t=8); S– количество смен (S=2) в сутки ni – количество машин i-го типа. А1 =25*8*2*20=8000 маш.ч.; А2 =25*8*2*30=12000 маш.ч.; А3 =12000 маш.ч.; А4 =8000 маш.ч. 2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λij =Pi /tij . λ= 3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: kij = λij / Сij . K= 4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по maxkij . Это клетки Х31 и Х43. Расчетная матрица В1 = 120 тыс.р. В2 = 50 тыс.р. В3 = 80 тыс.р. В4 = 100 тыс.р. Ui А1 =8 тыс.р. 3 3,3 8 4 2,5 5 4 6 2,5 3 А2 =12 тыс.р. 5 1 6 0,8 7 1 4 1,25 12 4 А3 =12 тыс.р. 2 5 12 3 3,33 4 2,5 3 2,5 2 А4 =8 тыс.р. 5 3,7 4 5 2 5 8 2 3,75 2 Аф 0 1 33,3 0 1 50 0 1 40 0 1 85 0 Vj 0 0 0 0 5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с Сi ф =0 и λi ф =1. произведем расчет фиктивных поставок. 6. Проверяем план на вырожденность: 5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная. Оптимизируем опорный план. Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению: Сij = Ui +Vj λij , откуда Ui = Сij -Vj λij ; Vj = (Сij -Ui )/λij Зададимся потенциалом фиктивной троки: Uф =0. Тогда: V3 =V2 = V1 = V4 =0; U4 =4-5∙0=4; U3 =2-0=2; U2 =4-0=4; U1 =3-0=3 Определяем характеристики свободных клеток по формуле: Еij = Сij -(Ui + λij Vj ); Е12 =4-3-0>0; Е13 =5-3-0>0; Е14 =6-3-0>0; Е21 =5-4-0>0; Е22 =6-4>0; Е23 =7-4>0; Е32 =3-2>0; Е33 =4-2>0; Е34 =3-2>0; Е41 =5-2>0; Е42 =4-2>0; Е44 =2-2=0. Так как все Еij ≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е44 =0) Целевая функция затрат на перевозку: F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.) Задача 6 Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А1 , А2 , А3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В1, В2, В3 ). В1 В2 В3 В4 А1 1 3 3 2 А2 4 2 0 2 А3 3 1 0 1 Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса. Решение Определим верхнюю и нижнюю цену игры. А= Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения): Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию. Z= Аналогично для второго игрока (спрос) Приведем данные уравнения к форме без переменной V: (*) Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х1 ,х2 ,…,хm ) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме: Решаем задачу симплексным методом. итерация 0 базис d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 bi bi / a d4 1 4 3 1 0 0 0 1 1/3 d5 3 2 1 0 1 0 0 1 1 d6 3 0 0 0 0 1 0 1 d7 2 2 1 0 0 0 1 1 1 ψ -1 -1 -1 0 0 0 0 0 1 d3 1/3 4/3 1 1/3 0 0 0 1/3 1 d5 8/3 2/3 0 -1/3 1 0 0 2/3 1/4 d6 3 0 0 0 0 1 0 1 1/3 d7 5/3 2/3 0 -1/3 0 0 1 2/3 2/5 Ψ -2/3 1/3 0 1/3 0 0 0 1/3 2 d3 0 1,25 1 0,375 -0,125 0 0 0,25 d1 1 0,25 0 -0,125 0,375 0 0 0,25 d6 0 -0,75 0 0,375 -1,125 1 0 0,25 d7 0 0,25 0 -0,125 -0,625 0 1 0,25 Ψ 0 0,5 0 0,25 0,25 0 0 0,5 Базисное решение Б1 (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2. Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х1 = 0,5; х2 =0; х3 =0,5; х4 =0; х5 =0; х6 =0,5; х7 =0,5. Задача 7 На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x1 2 руб., а затраты, обусловленные изготовлением х2 изделий на II предприятии, составляют 48х2 + 8х2 2 (руб.). Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными. Решение f=4x1 2 +48х2 + 8х2 2 →min х1 +х2 =300 Составим функцию Лагранжа: F=f+λg х1 +х2 =300 ; х2 =300-х1 16(300-х1 )-8х1 +48=0 Тогда (деталей) х2 =300-202=88 (деталей) Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей. Задача 9 Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ2 (р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ2 (р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5. Решение Рассчитаем переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ. τ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 К - 1,2 4,4 9,6 16,8 26 37,2 50,4 65,6 Р 10 10,05 10,2 10,45 10,8 11,25 11,8 12,45 - Произведем пошаговую оценку альтернативных вариантов затрат для возможных различных состояний τ на каждом шаге t, т.е. Начало оценивается с последнего t=5 шага. Шаг 1; t=5. Все состояния на последнем интервале приравниваются к 0: F85 =0; F75 =0; F65 =0; F55 =0; F45 =0; F35 =0; F25 =0; F15 =0. Шаг 2; t=4. Шаг 3; t=3. Шаг 4; t=2. Шаг 5; t=1. Шаг 6; t=0. Функции затрат F00 , F10 , F20 , F30 – затраты на единицу оборудования соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования: t=1; Q1 = 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25 t=2; Q2 = (10+8+5)*4,4+12*11,4=238 t=3; Q3 = (10+8+5)*11,4+12*4,4=315 t=4; Q4 = (10+8+5)*4,4+12*11,4=238 t=5; Q5 =(10+8+5)* 9,6+12*4,4=237,6 Проверка: сумма затрат для оборудования каждого возраста должна равняться сумме затрат на них по годам планирования. Затраты на каждый возраст: =41*10+36*12+41,2*8+41,45*5=1378,85 Сумма затрат по годам: Q1 + Q2 + Q3 + Q3 =314,25+238+315+238+237,6=1375,85 Задача 11 Дана схема движения транспорта с n=5 пунктами и расстояниями между ними. Построить кольцевой маршрут объезда всех пунктов наименьшей длины. ∞ 13 12 11 7 10 ∞ 6 9 4 13 10 ∞ 12 7 9 6 14 ∞ 8 12 13 9 10 ∞ Решение Стоим приведенную матрицу с целью получения в каждой строке и столбце не меньше 1 кратчайшего маршрута (0 приведенного значения). Коэффициенты приведения по строкам: К1 =7+4+7+6+9=33 ∞ 6 5 4 0 6 ∞ 2 5 0 6 3 ∞ 5 0 3 0 8 ∞ 2 3 4 0 1 ∞ по столбцам (у приведенной матрицы): К2 =3+1=4 Кпр =33+4=37 (сумма самых коротких маршрутов). ∞ 6 5 3 0 3 ∞ 2 4 0 3 3 ∞ 4 0 0 0 8 ∞ 2 0 4 0 0 ∞ Для нулевых значений определяем коэффициенты значимости: К41 =0; К51 =0; К42 =3; К53 =2; К25 =2; К15 = К35 =3; К54 =3. Выбираем аij =0 с максимальным Кij , например, К15 =3. В матрице назначения присваиваем Х15 =1. В полученную матрицу в клетку (5,1) вводим запрет. Приведем матрицу. 2 3 4 1 2 ∞ 0 2 1 3 0 ∞ 1 0 4 0 8 ∞ 0 5 4 0 0 ∞ Подсчитаем новое значение Кпр : 37+2+3=42. Определяем коэффициенты значимости для нулевых значений. К32 =К42 = К53 =К41 =К31 =0; К23 = К54 =1. Выбираем аij =0 с максимальным Кij , например, К23 =1. В матрице назначения присваиваем Х23 =1. В полученную матрицу в клетку (3,2) вводим запрет. 2 4 1 3 ∞ 1 0 4 0 ∞ 0 5 4 0 ∞ Так как матрица уже приведена, определяем коэффициенты значимости для нулевых значений. К42 =4; К41 =0; К31 =1; К54 =5. Присваиваем в матрице назначения Х54 =1. В полученную матрицу в клетку (4,1) вводим запрет. 2 1 3 ∞ 0 4 0 ∞ В полученной матрице осталось два маршрута, которые и вносим в кольцевой маршрут: Х31 =1; Х42 =1. Введем все маршруты в матрицу назначения. 1 1 1 1 1 Длина полученного маршрута: Условие оптимальности F=Кпр. =42 выполняется, то полученный кольцевой маршрут является оптимальным. Задача 13 Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. Пункт состоит из n=3 каналов; на осмотр каждой машины затрачивается При осмотре группа выявляет дефект с вероятностью р=0,7; на осмотр поступает в среднем . Обслуживание одной заявки приносит среднюю прибыль С1 =3 руб./час, создание 1 канала требует среднего расхода С2 =18000 тыс.р., эксплуатация 1 канал в единицу времени требует среднего расхода С3 =8 руб./час. Определить характеристики работы пункта. Установить, при каких соотношениях С1 ,С2 , С3 система будет рентабельна, и если система не рентабельна при заданных С1 ,С2 , С3 , то при каких она будет рентабельна? Через какое время эксплуатации система будет приносить прибыль? Решение Характеристики работы системы: 1. Среднее число занятых каналов 2. Вероятность выявления скрытого дефекта Рабс. =(1-Р0 )Р= 3. Абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины: 4. Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины: 5. Вероятность того, что канал занят: Пз.к. = 6. Среднее время простоя канала: 7. Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром 8. Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы) 9. Средняя прибыль за сутки (t=24 часа) 10 Средняя стоимость в сутки: 11. Прибыль, которую система начнет приносить через время, определяется условием: Условие рентабельности: У нас . Преобразуем это выражение с учетом того, что ; получим условие оптимальности: Система будет рентабельна, если: Из найдем время, через которое система начинает приносить прибыль: (дней) или (лет) Список используемой литературы 1. Данко П.Е. и др. Высшая математика в примерах и задачах. Ч2: Учебник для втузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с. 2. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208 с. 3. Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании МТС. – М.: Высшая школа, 1990. – 352 с. Министерство образования Российской Федерации «Тихоокеанский государственный университет» ПО МЕТОДАМ И МАДЕЛЯМ В ЭКОНОМИКЕ Выполнил: студент 3-го курса з/о Специальность:________________ № зач. книжки_________________ Ф.И.О._______________________ 2010г.