Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел IX математический симпозиум. Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел. г. Волжский. 05-11 октября 2008 года. Белотелов В.А. Нижегородская обл. г. Заволжье vbelotelov@mail. ru Простые числа? – Это просто!? Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже. Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом. Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле: (закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ. Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2. Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ. Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные числа, а d – разность этой прогрессии. Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d). Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии. Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум. В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2. Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц. В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии. В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражении под суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают. Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена. Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6. Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9. Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины. Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все. Обобщающий вывод: ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ. 1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 61 67 71 73 77 79 83 89 91 97 101 103 107 109 113 119 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 121 127 131 133 137 139 143 149 151 157 161 163 167 169 173 179 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 181 187 191 193 197 199 203 209 211 217 221 223 227 229 233 239 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 241 247 251 253 257 259 263 269 271 277 281 283 287 289 293 299 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 301 307 311 313 317 319 323 329 331 337 341 343 347 349 353 359 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 361 367 371 373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 413 419 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 421 427 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467 469 473 479 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 481 487 491 493 497 499 503 509 511 517 521 523 527 529 533 539 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 541 547 551 553 557 559 563 569 571 577 581 583 587 589 593 599 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 601 607 611 613 617 619 623 629 631 637 641 643 647 649 653 659 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 661 667 671 673 677 679 683 689 691 697 701 703 707 709 713 719 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 721 727 731 733 737 739 743 749 751 757 761 763 767 769 773 779 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 7х13 11х11 7х43 19х19 17х23 11х41 13х37 7х73 1 31 61 91 121 151 181 211 241 271 301 331 361 391 421 451 481 511 541 571 11х17 7х31 13х19 7х61 11х47 7 37 67 97 127 157 187 217 247 277 307 337 367 397 427 457 487 517 547 577 7х23 13х17 11х31 7х53 19х29 7х83 11 41 71 101 131 161 191 221 251 281 311 341 371 401 431 461 491 521 551 581 7х19 11х23 7х49 13х31 17х29 7х79 11х53 13 43 73 103 133 163 193 223 253 283 313 343 373 403 433 463 493 523 553 583 7х11 7х41 13х29 11х37 19х23 7х71 17х31 17 47 77 107 137 167 197 227 257 287 317 347 377 407 437 467 497 527 557 587 7х7 13х13 7х37 17х17 11х29 7х67 23х23 13х43 19х31 19 49 79 109 139 169 199 229 259 289 319 349 379 409 439 469 499 529 559 589