Задачи по Математике ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса. 9) Решение Задача № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса. 1-й способ (метод Крамера). По формулам Крамера, найдем решение: 2 способ (решение с помощью обратной матрицы). Перепишем систему уравнений в виде AX = B , где , , . Решение матричного уравнения имеет вид X = A -1 B . Найдем обратную матрицу A -1 . Имеем следующий главный определитель системы: Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы: , , , , , , , , . Тогда обратная матрица имеет вид: , следовательно, . Ответ: x = 2; y = -1;z = 3. 3 способ (метод Гаусса). . Из последнего уравнения имеем z = 3; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = -1 и тогда из первого уравнения находим x = 2. Задачи № 11 - 20. Найти производные функций: 15) а) ; б) . Решение Задачи № 21-30. Найти общее и частное частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, соответствующего начальным условиям: при , , . 21) ; Решение Составим характеристическое уравнение имеет вид: Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково: Так как n=1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в виде Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получим Итак, частное решение уравнения с правой частью есть Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид: Найдем частные решения: Задачи № 31-40 38) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 путевок. Найти вероятность того, что среди обладателей путевок окажутся две девушки. Решение Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей: Ответ: Задачи № 41-50 Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины , пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии. Номер задачи Условие задачи 4 1 xi 2 4 6 8 10 pi 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2 Решение Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин. Математическое ожидание: Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: Для вычисления характеристик случайной величины Y=3X+20 воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии: Ответ: Аудиторная по дисциплине «Математика» Вариант № 1 1. Решить систему уравнений: . Решение Ответ: х=1, у=-1. Найти производную: . Решение В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников. Решение Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей: Ответ: 4. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х: xi -4 6 10 pi 0,2 0,3 0,5 Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Решение Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин. Математическое ожидание: Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: Ответ: