Аналітична геометрія на тему: Аналітична геометрія в просторі Аналітична геометрія в просторі Загальне рівняння площини в тривимірному просторі , яка проходить через точку (x 0 ;y 0 ;z 0 ) перпендикулярно до вектора має вигляд A (x -x 0 )+B (y -y 0 )+C (z -z 0 ) (2.7) або Ax +By +Cz =0 (2.8) Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z =0), OXZ (рівняння y =0) та OYZ (рівняння x =0). Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x 0 ;y 0 ;z 0 ), (x 1 ;y 1 ;z 1 ), (x 2 ;y 2 ;z 2 ) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким: (2.9) Приклад . Записати рівняння площини, яка проходить через точки M 0 (1;2;3), M 1 (2;1;2) та M 3 (3;3;1). Маємо , звідки x +4y -4=0. Рівняння площини у відрізках є таким: . (2.10) Ця площина проходить через точки (a ;0;0), (o;b ;0) та (0;0;c ). Приклад . Ціни за одиницю кожного з трьох товарів становлять, відповідно, 2, 3 та 4 умовні одиниці. Бюджет споживача дорівнює 120 умовних одиниць. Зобразити графічно бюджетне обмеження цього споживача. Нехай споживач на всі гроші купив x одиниць першого товару, y одиниць другого та z одиниць третього. Тоді виконується рівність 2x +3y +4z =120. Ми отримали бюджетне обмеження споживача як загальне рівняння площини. Зручніше записати це обмеження у вигляді рівняння площини у відрізках (виконавши ділення на 120): . `Отже, споживач може купити або тільки 60 одиниць першого товару, або тільки 40 другого, або тільки 30 третього, а також може перебувати в довільній іншій точці площин за умов x ³0; y ³0; z ³0 (рис .2.10). z Бюджетне обмеження – частина площини в просторі 30 40 y 60 x Рис. 2.10. Якщо ж витрачають не всі гроші, то бюджетне обмеження буде тетраедром: . Розглянемо випадок, коли споживач зовсім не купує третього товару (z =0). Тоді бюджетне обмеження представлятиме собою відрізок прямої на площині , або множину точок всередині трикутника (рис. 2.11) . y Бюджетне обмеження - 40 відрізок прямої на площині 60 x Рис. 2.11. Рівняння прямої у тривимірному просторі також записується багатьма способами. Пряму як перетин двох площин задають системою лінійних рівнянь . (2.11) Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x 0 ;y 0 ;z 0 ) паралельно до напрямного вектора , має вигляд . (2.12) Параметричне рівняння прямої є таким: . (2.13) Рівняння прямої в просторі, яка проходить через дві точки (x 1 ;y 1 ;z 1 ) та (x 2 ;y 2 ;z 2 ) , є подібним до рівняння прямої на площині: . (2.14) Приклад . Пряма в просторі проходить через дві точки: M 1 (1;2;3) та M 2 (4;6;8) . Рівнянням цієї прямої згідно (2.14) є рівняння . Виконавши операції віднімання, отримуємо канонічне рівняння . Від останнього рівняння перейдемо до параметричного задання прямої (формула 2.13): . У тривимірному просторі справджуються такі формули для кутів: кут між двома прямими та обчислюється згідно з формулою ; кут між прямою та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою .