Численное интегрирование функций Содержание численное интегрирование формула программирование Введение 1. Методы численного интегрирования 2. Квадратурные формулы 3. Автоматический выбор шага интегрирования Заключение Библиографический список Введение Цель а состоит в изучение и сравнительный анализ методов численного интегрирования функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач численного интегрирования на ЭВМ. При решении инженерных задач часто возникает необходимость в вычислениях значений определенного интеграла вида . (1) Если функция непрерывна на отрезке [a , b ] и ее первообразная может быть определена через известную функцию, то вычисление такого интеграла производится по формуле Ньютона – Лейбница: . В инженерных задачах получить значение интеграла в аналитическом виде удается редко. Кроме того, функция f (x ) может быть задана, например, таблицей экспериментальных данных. Поэтому на практике для вычисления определенного интеграла используют специальные методы, в основе которых лежит аппарат интерполирования. Идея таких методов заключается в следующем. Вместо того, чтобы вычислять интеграл по формуле (1), сначала вычисляют значения функции f (xi ) = yi в некоторых узлах xi Î[a , b ]. Затем выбирается интерполяционный многочлен P (x ), проходящий через полученные точки (xi , yi ), который используется при вычислении приближенного значения интеграла (1): . При реализации такого подхода формулы численного интегрирования принимают следующий общий вид: , (2) где - узлы интерполирования, Ai – некоторые коэффициенты, R – остаточный член, характеризующий погрешность формулы. Заметим, что формулы вида (2) называют квадратурными формулами. Геометрический смысл численного интегрирования состоит в вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f (х ),осью абсцисс и двумя прямыми х = а и х = b. Приближенное вычисление площади приводит к отбрасыванию в квадратурных формулах остаточного члена R , характеризующего погрешность метода, на которую дополнительно накладывается вычислительная погрешность. 1. Методы численного интегрирования В прикладных исследованиях часто возникает необходимость вычисления значения определённого интеграла Как известно из курса математики, аналитически вычисление интеграла можно провести не во всех случаях. И даже в том случае, когда удаётся найти аналитический вид этого интеграла, процедура вычисления даёт приближённый результат, поэтому возникает задача приближенного значения этого интеграла. Суть приближенного вычисления заключается в двух операциях: 1. в выборе конечного числа вместо n; 2. в выборе точки в соответствующем отрезке. В зависимости от выбора мы получаем различные формулы для вычисления интеграла: Формулы левых и правых прямоугольников (5), (6) (5) (6) Формула трапеции: Формула Симпсона где m=n/2 h=b-a/n b, a - концы рассматриваемого отрезка. Для сравнения результатов вычисления вышеизложенными формулами численного интегрирования вычислим 3-мя способами следующий интеграл, разделив отрезок [0, ] на 6 равных отрезков: h= По формуле левых прямоугольников: По формуле трапеции: По формуле Симпсона: А результат полученный аналитически равен =1 Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симпсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков. 2. Квадратурные формулы Формулы прямоугольников являются наиболее простыми квадратурными формулами. Разобьем отрезок интегрирования [a, b ] на п равных частей длиной . Заметим, что величину h называют шагом интегрирования. В точках разбиения х 0 = а , х 1 = a + h , ..., xn = b отметим ординаты y 0 , y 1 ,…, yn кривой f (x ), т.е. вычислим уi = f (xi ), xi = a+ ih = xi -1 + h (i = ). На каждом отрезке длиной h построим прямоугольник со сторонами h и yi , где i = , т.е. по значениям ординат, вычисленных в левых концах отрезков. Тогда площадь криволинейной трапеции, определяющую величину интеграла (1), приближенно можно представить в виде суммы площадей прямоугольников (рис. 1). Отсюда получим формулу прямоугольников: . (3) Если при вычислении интегральной суммы брать значения функции f (x ) не в левых, а в правых концах отрезков длиной h , что показано на рис. 1 пунктирной линией, то получим второй вариант формулы прямоугольников: . (4) Третий вариант формулы прямоугольников можно получить при использовании значений функции f (x ), вычисленных в средней точке каждого отрезка длины h (рис. 2): . (5) Формулы (3), (4) и (4) называют формулами левых, правых и центральных прямоугольников соответственно. Рис. 1 Рис. 2 Формула трапеций. Здесь на каждом элементарном интервале [xi -1 , xi ] длины h точки с координатами (xi -1 , yi -1 ) и (xi , yi ) соединяются отрезком (рис. 3). Тогда площадь трапеции, построенной на этом интервале, определяется произведением 0,5h (yi -1 + yi ). Суммируя площади элементарных трапеций для i = получим приближенное значение интеграла: . (6) Рис. 3. Формула Симпсона. Разобьем интервал интегрирования на 2n равных частей длиной . На каждом отрезке [xi , xi+2 ] подынтегральную функцию f (х ) заменим параболой, проходящей через точки (xi , yi ), (xi +1 , yi +1 ), (xi +2 , yi +2 ). Тогда приближенное значение интеграла определяется формулой Симпсона: . (7) При вычислениях на ЭВМ более удобна следующая формула: Метод Симпсона - один из наиболее широко известных и применяемых методов численного интегрирования, он дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до третьего порядка включительно. Формула Ньютона. Приближенное значение интеграла по формуле Ньютона вычисляется следующим образом: где число участков разбиения кратно трем, т.е. составляет 3n . При разработке программ для ЭВМ удобнее использовать эквивалентную формулу: Метод Ньютона дает точные значения интеграла при интегрировании многочленов до четвертого порядка включительно. 3. Автоматический выбор шага интегрирования В результате расчета по формулам (3) - (8) получают приближенное значение интеграла, которое может отличаться от точного на некоторую величину, называемую погрешностью интегрирования. Ошибка определяется формулой остаточного члена R , различной для каждого из методов интегрирования. Если требуется вычислить значение интеграла с погрешностью, не превышающей e, то необходимо выбрать такой шаг интегрирования h , чтобы выполнялось неравенство R (h ) £e. На практике используют автоматический выбор значения h , обеспечивающего достижение заданной погрешности. Сначала вычисляют значение интеграла I (n ), разбивая интервал интегрирования на п участков, затем число участков удваивают и вычисляют интеграл I (2n ). Процесс вычислений продолжают до тех пор, пока не станет справедливым условие: , где P – порядок точности квадратурной формулы. Для формул левых и правых прямоугольников P = 1, для формул центральных прямоугольников и трапеций P = 2, для формул Симпсона и Ньютона P = 4. В результате полагают, что I »I (2n ) с точностью e. Заключение В ходе выполнения курсовой работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как численное интегрирование. В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLABи т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач. Для более глубокого анализа численных методов мы использовали средства MathCAD, а также алгоритмические языки программирования. Б иблиографический список 1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1960. 659 с. 2. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 1994. 544 с. 3. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений с приложением программ для персональных компьютеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1998. 383 с. 4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. Размещено на http://www.