Определение интегралов Задание. Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием. а) Используемый прием интегрирования называется подведением под знак дифференциала. Проверим результат дифференцированием. б) В этом интеграле также используется подведение под знак дифференциала Проверим результат дифференцированием. в) Для решения этого интеграла воспользуемся формулой интегрирования "по частям". Приведем формулу интегрирования по частям: В этом интеграле распишем составляющие следующим образом: Продифференцируем u и проинтегрируем dv чтобы мы могли применить формулу интегрирования по частям: Подинтегральное выражение есть неправильная рациональная дробь. Необходимо привести ее к сумме правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель. Вернемся к исходному интегралу: Проверим результат дифференцированием: г) интеграл дифференцирование уравнение парабола Подинтегральное выражение является неправильной рациональной дробью. Необходимо преобразовать ее в сумму правильных рациональных дробей, выполнив деление углом числитель на знаменатель: Подинтегральное выражение представляет собой правильную рациональную дробь. Чтобы проинтегрировать её необходимо её представить в виде суммы простейших дробей. Найдем корни знаменателя по теореме Виета Разложим правильную рациональную дробь в сумму простейших методом неопределенных коэффициентов: Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов А и В: Решая СЛАУ находим значения коэффициентов: Возвратимся к исходному интегралу: Результат проверим дифференцированием: Задание. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл. Перейдем к замене переменных в определенном интеграле: Задание. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой . Сделать чертеж. Решение. Площадь области S, ограниченной снизу функцией g(x), сверху- функцией f(x), слева - вертикальной прямой , справа - вертикальной прямой равна равна определенному интегралу: Так как мы пока не знаем, какая же из функций является большей на отрезке , построим чертеж. Точки , являются абсциссами точек пересечения графиков этих двух функций. Как видно из построения парабола лежит выше прямой на отрезке, поэтому: Абсциссы точек пересечения суть соответственно -6 и -1. Эти значения мы также можем получить решив в системе уравнения двух кривых по теореме Виета имеем: , . Теперь осталось только применить формулу вычисления площади криволинейной области: -6 -1 Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при Решение: имеем линейное уравнение первого порядка. будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций от х: Запишем исходное выражение в виде: Выберем функцию такой чтобы выражение в скобках равнялось нулю: Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v, находим: Так как выражение в скобках подобрано так, чтобы оно равнялось нулю, подставим найденное значение в уравнение для определения u. Таким образом находим общее решение системы Подберем переменную С так чтобы выполнились начальные условия , что будет являться частным решением дифференциального уравнения: Полученное частное решение дифференциального уравнения, соответствующее поставленным начальным условиям. Задание. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям , при . ( ,) Решение: Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка: Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой: Теорема: Общее решение неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения y* и общего уравнения y соответствующего однородного уравнения: Чтобы найти общее решение соответствующего однородного уравнения (то есть такого, в котором правая часть равна нулю) необходимо найти корни характеристического уравнения и по ним определить вид решения. Характеристическое уравнение в нашем случае есть: имеет действительные и различные корни: , . Общий интеграл есть: Правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид: , где - многочлен 0-й степени, =2 (не является корнем характеристического многочлена). поэтому частное решение следует искать в виде: где - постоянный коэффициент, подлежащий определению. Подставляя y* в заданное уравнение, будем иметь: Имеем решение . Итак, частное решение нашли в виде: Таким образом, общий интеграл данного уравнения имеет вид: Для определения коэффициентов С1 и С2 используем начальные условия: При х=0 функция равна 2 При х=0 первая производная функции равна -1: Составим систему из этих двух уравнений и решим её относительно неизвестных С1 и С2 Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения запишется в виде: