Математические методы и модели Контрольная работа По дисциплине «Математические методы и модели» 1. Математическое моделирование задач коммерческой деятельности Провести моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести сравнение автомашин. Таблица 1 Модель автомобиля Снаряженная масса, кг Длина, мм Мощность двигателя, л.с. Максимальная скорость, км/ч Рабочий объем двигателя,см3 Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км Емкость топливного бака, л. Цена, $. HYUNDAI Accent 1 080 4 260 102 181 1 495 7,5 45 12 920 HYUNDAI Getz 1 108 3 825 106 180 1 599 6,0 45 15 990 HYUNDAI Elantra 1 340 4 520 105 182 1 599 7,4 55 18 690 HYUNDAI Sonata 1 590 4 747 133 200 1 997 9,0 65 26 650 HYUNDAI Matrix 1 223 4 025 103 170 1 599 8,0 55 19 190 HYUNDAI Trajet 1 731 4 695 140 179 1 975 9,1 65 25 690 Теперь необходимо сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существенные показатели ( табл. 2) Таблица 2 Показатели Обозначение Ед.измерения Снаряженная масса М кг Длина Дл мм Мощность двигателя МД л.с Максимальная скорость Vmax км/ч Раб.объем двигателя Ро см3 Расход топлива по смеш. циклу на 100 км РТ л Емкость топливного бака Еб л Цена Ц $ Сопоставим эти показатели с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент которой определяется таким образом: После заполнения матрицы элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю: где n – количество показателей, n=8 Правильность заполнения матрицы определяется равенством Затем определяем коэффициенты весомости по формуле Следует заметить, что Таблица 3 Показатель М Дл МД Vmax Pо РТ Еб Ц Сумма Мi Ri М 1 1 0 1 1 0 2 0 6 0,094 6 Дл 1 1 0 0 0 0 0 0 2 0,031 8 МД 2 2 1 1 2 0 1 0 9 0,141 3 Vmax 1 2 0 1 0 0 2 0 6 0,094 5 Ро 1 2 0 2 1 0 2 0 8 0,125 4 РТ 2 2 2 2 2 1 2 0 13 0,203 2 Еб 0 2 2 0 0 0 1 0 5 0,078 7 Ц 2 2 2 2 2 2 2 1 15 0,234 1 64 1 Распределим коэффициент показателей по рангу Ri . На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь вид: 1) Ц – цена, $; 2) Рт – расход топлива на 100 км 3) МД – мощность двигателя, л.с.; 4) Ро – рабочий объем двигателя, л.; 5) V мах – максимальная скорость, км/ч.; 6) М – снаряженная масса, кг 7) Еб – емкость топливного бака, л.; 8) Дл – длина, мм На основании полученных результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей. Таблица 4 Показатель 1 2 3 4 5 Mi Ц 26 650 25 690 19 190 18 690 15 990 0,234 Рт 9,1 9,0 8,0 7,4 6,0 0,203 МД 103 105 106 133 140 0,141 Ро 1 599 1 599 1 599 1 975 1 997 0,125 На основании данных табл. 4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам подходящих автомобилей: HYUNDAI Sonata и HYUNDAI Trajet F (HYUNDAI Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83 F (HYUNDAI Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88 Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet. Вывод: Сравнив множество показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet. 2. Методы и модели линейного программирования. Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка " Колокольчик" и "Буратино". Для производства 1 л. " Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для " Буратино" – 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л " Колокольчика" составляет 0,25 руб., а " Буратино" – 0,35 руб. Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи. Решение: 1) Составим математическую модель данной задачи: Пусть X1 – количество " Колокольчиков"; Х2 – количество " Буратино", тогда как необходимо определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи, то целевая функция: F(Х1 ,Х2 ) = 0,25Х1 + 0,35Х2 мах Система ограничений: xj 2) Графическое решение задачи: Представим каждое неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система ограничений запишется в виде: 1) 0,02х1 +0,04х2 =24 2) 0,01х1 +0,04х2 =16 3) х1 =0 4) х2 =0 Преобразуем систему неравенств ( выразим Х2 через Х1 ) Построим на плоскости ( х1 ,х2 ) область допустимых значений согласно системе неравенств x2 =24-0,5x1 х1 0 20 х2 24 14 х2 =16-4х1 х1 0 4 х2 16 0 Многоугольником допустимых решений является треугольник АВС. Построим вектор N = Перемещаем линию уровня перпендикулярно вектору N в направлении вектора N до опорного положения. Вершина в которой целевая функция принимает максимальное значение это вершина С (20;13). Следовательно, ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет: f(х1 ;х2 )= 0,25*20+0,35*13=9,55 3) Классификация математической модели: · По общему целевому назначению: прикладная модель; · По степени агрегирования объектов: микроэкономическая модель; · По конкретному предназначению: оптимизированная модель; · По типу информации: идентифицированная модель; · По учету фактора времени: статистическая модель; · По учету фактора неопределенности: детерминированная модель; · По типам математического аппарата: линейная модель; · По типу подхода к изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель. Вывод: Ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет 9,55 л. 3. Методы и модели теории игр Определите максимальные стратегии игроков и седловую точку игры Игрок В1 В2 В3 В4 В5 А1 5 8 7 6 3 А2 10 12 4 7 2 А3 15 10 8 7 4 А4 10 7 8 12 6 А5 7 10 11 3 5 А6 7 2 3 12 4 Решение: Строки матрицы соответствуют стратегиям Аi (i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы – стратегии Вi ,то есть стратегии, которые выбирает игрок В. · Игрок А выбирает такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш : , где а – нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А) · Игрок В выбирает такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш - минимизируется: , где - верхняя цена игры. Составим расчетную таблицу. коммерческий математический моделирование линейный программирование 1 2 В1 В2 В3 В4 В5 А1 5 8 7 6 3 3 А2 10 12 4 7 2 2 А3 15 10 8 7 4 4 А4 10 7 8 12 6 6 А5 7 10 11 3 5 3 А6 7 2 3 12 4 2 12 11 12 6 6 6 Этот выигрыш гарантирован игроку 1, как бы ни играл второй игрок. Нижняя цена игры составляет 6 Минимальный проигрыш второго игрока Получили, что первый игрок (А) должен выбрать пятую (А4 ) стратегию, а второй игрок (В) должен выбрать четвертую (В5 ) стратегию. Итак, нижняя цена игры, или максимальный выигрыш: , верхняя цена игры, или минимальный выигрыш: Нижняя и верхняя цена игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий (А4 ;В5 ). Следовательно, игра имеет седловую точку (А4 ;В5 ). Вывод: Игрок А должен выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А4 ;В5